कक्षा 10 गणित - अध्याय 2: बहुपद
इस ब्लॉग पोस्ट में, हम कक्षा 10 गणित के दूसरे अध्याय 'बहुपद' (Polynomials) का विस्तृत अध्ययन करेंगे। यह नोट्स आपको स्व-अध्ययन में मदद करने के लिए संपूर्ण सिद्धांत, परिभाषाएं, उदाहरण और अभ्यास प्रदान करता है।
2.1 भूमिका (Introduction)
कक्षा IX में, आपने एक चर वाले बहुपदों और उनकी घातों (degree) के बारे में अध्ययन किया है। आइए कुछ महत्वपूर्ण परिभाषाओं को दोहराते हैं:
बहुपद की घात (Degree of a Polynomial)
चर $x$ में बहुपद $p(x)$ में $x$ की उच्चतम घात (highest power) बहुपद की घात कहलाती है।
उदाहरण:
- $4x + 2$ चर $x$ में घात 1 का बहुपद है।
- $2y^2 – 3y + 4$ चर $y$ में घात 2 का बहुपद है।
- $5x^3 – 4x^2 + x – 2$ चर $x$ में घात 3 का बहुपद है।
- $7u^6 – \frac{4}{3} u^4 + 8u^3 – 2 u + 4$ चर $u$ में घात 6 का बहुपद है।
नोट: व्यंजक जैसे $\frac{1}{x-1}$, $\sqrt{x} + 2$, $\frac{1}{x^2 + 2x + 3}$ इत्यादि बहुपद नहीं हैं, क्योंकि इनमें चर की घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक है।
घातों के आधार पर बहुपदों के प्रकार:
रैखिक बहुपद (Linear Polynomial)
घात 1 के बहुपद को रैखिक बहुपद कहते हैं।
उदाहरण: $2x – 3$, $\sqrt{3} x + 5$, $y + \sqrt{2}$, $\frac{2}{3} u + 1$
व्यापक रूप: $ax + b$, जहाँ $a, b$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$.
द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial)
घात 2 के बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं। ('quadratic' शब्द 'quadrate' से बना है, जिसका अर्थ है 'वर्ग' (square))।
उदाहरण: $x^2 – 2x + 5$, $y^2 – 2$, $2x^2 – 3x + \frac{1}{2}$, $\sqrt{5} v^2 – \frac{1}{3} v$
व्यापक रूप: $ax^2 + bx + c$, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$.
त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial)
घात 3 के बहुपद को त्रिघात बहुपद कहते हैं।
उदाहरण: $2 – x^3$, $x^3$, $\sqrt{3} x^3$, $3 – x^2 + x^3$, $3x^3 – 2x^2 + x – 1$
व्यापक रूप: $ax^3 + bx^2 + cx + d$, जहाँ $a, b, c, d$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$.
बहुपद का मान (Value of a Polynomial)
यदि $p(x)$ चर $x$ में कोई बहुपद है और $k$ कोई वास्तविक संख्या है, तो $p(x)$ में $x$ को $k$ से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त वास्तविक संख्या $p(x)$ का $x = k$ पर मान कहलाती है और इसे $p(k)$ से निरूपित करते हैं।
उदाहरण:
बहुपद $p(x) = x^2 – 3x – 4$ पर विचार कीजिए।
- $x = 2$ रखने पर: $p(2) = (2)^2 – 3(2) – 4 = 4 – 6 – 4 = -6$.
- $x = 0$ रखने पर: $p(0) = (0)^2 – 3(0) – 4 = -4$.
- $x = -1$ रखने पर: $p(-1) = (-1)^2 – 3(-1) – 4 = 1 + 3 – 4 = 0$.
- $x = 4$ रखने पर: $p(4) = (4)^2 – 3(4) – 4 = 16 – 12 – 4 = 0$.
बहुपद के शून्यक (Zeroes of a Polynomial)
एक वास्तविक संख्या $k$ बहुपद $p(x)$ का शून्यक (zero) कहलाती है, यदि $p(k) = 0$ हो।
उदाहरण:
उपर्युक्त उदाहरण में, क्योंकि $p(–1) = 0$ और $p(4) = 0$ है, इसलिए $–1$ और $4$ द्विघात बहुपद $x^2 – 3x – 4$ के शून्यक कहलाते हैं।
रैखिक बहुपद के शून्यक (Zeroes of a Linear Polynomial)
रैखिक बहुपद $ax + b$ का शून्यक ज्ञात करने के लिए, हम $p(x) = ax + b = 0$ रखते हैं।
इससे $ax = -b$ प्राप्त होता है, अर्थात् $x = -\frac{b}{a}$.
अतः, रैखिक बहुपद का केवल एक शून्यक होता है और यह उसके गुणांकों से संबंधित होता है।
2.2 बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ (Geometric Meaning of Zeroes)
जैसा कि हमने देखा, एक वास्तविक संख्या $k$ बहुपद $p(x)$ का शून्यक है यदि $p(k) = 0$ है। ज्यामितीय रूप से, बहुपद के शून्यक उन बिंदुओं के $x$-निर्देशांक होते हैं जहाँ $y = p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
रैखिक बहुपद का ज्यामितीय अर्थ
एक रैखिक बहुपद $ax + b$, $a \neq 0$ के लिए, $y = ax + b$ का ग्राफ एक सरल रेखा होता है।
यह रेखा $x$-अक्ष को ठीक एक बिंदु $(-\frac{b}{a}, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती है।
द्विघात बहुपद का ज्यामितीय अर्थ
द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$ के लिए संगत समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ के ग्राफ का आकार एक परवलय (parabola) होता है।
- यदि $a > 0$ है, तो परवलय ऊपर की ओर खुला ($\cup$) होता है।
- यदि $a < 0$ है, तो परवलय नीचे की ओर खुला ($\cap$) होता है।
उदाहरण: $y = x^2 – 3x – 4$
इसके शून्यक -1 और 4 हैं। इसका ग्राफ $x$-अक्ष को $(-1, 0)$ और $(4, 0)$ पर काटता है।
ग्राफ से शून्यकों की संख्या ज्ञात करना (द्विघात बहुपद):
किसी द्विघात बहुपद के लिए $y = ax^2 + bx + c$ का ग्राफ $x$-अक्ष के सापेक्ष तीन स्थितियों में हो सकता है:
- स्थिति (i): ग्राफ $x$-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं पर काटता है। इस स्थिति में, द्विघात बहुपद के दो भिन्न शून्यक होते हैं।
आकृति 2.3: दो भिन्न शून्यक (यहाँ ग्राफ दर्शाया जा सकता है)
- स्थिति (ii): ग्राफ $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है (दो संपाती बिंदु)। इस स्थिति में, द्विघात बहुपद का केवल एक शून्यक (या दो बराबर शून्यक) होता है।
आकृति 2.4: एक शून्यक (बराबर शून्यक) (यहाँ ग्राफ दर्शाया जा सकता है)
- स्थिति (iii): ग्राफ $x$-अक्ष को कहीं नहीं काटता (या तो पूर्णतः ऊपर या पूर्णतः नीचे)। इस स्थिति में, द्विघात बहुपद का कोई वास्तविक शून्यक नहीं होता है।
आकृति 2.5: कोई शून्यक नहीं (यहाँ ग्राफ दर्शाया जा सकता है)
त्रिघात बहुपद का ज्यामितीय अर्थ
त्रिघात बहुपद $ax^3 + bx^2 + cx + d$ का ग्राफ $x$-अक्ष को अधिकतम तीन बिंदुओं पर काट सकता है।
उदाहरण: $y = x^3 – 4x$
इसके शून्यक – 2, 0 और 2 हैं। ग्राफ $x$-अक्ष को $(-2, 0)$, $(0, 0)$ और $(2, 0)$ पर काटता है।
उदाहरण: $y = x^3$
इसका केवल एक शून्यक 0 है। ग्राफ $x$-अक्ष को $(0, 0)$ पर काटता है।
उदाहरण: $y = x^3 – x^2$
इसके शून्यक 0 और 1 हैं। ग्राफ $x$-अक्ष को $(0, 0)$ और $(1, 0)$ पर काटता है।
उदाहरण 1 (ग्राफ देखकर शून्यक बताना)
किसी बहुपद $p(x)$ के लिए $y=p(x)$ का ग्राफ दिया गया है। शून्यकों की संख्या ग्राफ के $x$-अक्ष को काटने वाले बिंदुओं की संख्या के बराबर होती है।
उदाहरण के लिए, यदि ग्राफ $x$-अक्ष को 3 बिंदुओं पर काटता है, तो शून्यकों की संख्या 3 होगी। यदि ग्राफ $x$-अक्ष को स्पर्श करता है, तो उसे एक शून्यक गिना जाएगा। यदि ग्राफ $x$-अक्ष को नहीं काटता है, तो शून्यकों की संख्या 0 होगी।
प्रश्नावली 2.1
प्रश्न 1: किसी बहुपद $p(x)$ के लिए, $y = p(x)$ का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया है। प्रत्येक स्थिति में, $p(x)$ के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(छात्रों को दिए गए प्रत्येक ग्राफ के लिए शून्यकों की संख्या गिननी होगी।)
संकेत: देखें कि ग्राफ $x$-अक्ष को कितनी बार काटता या स्पर्श करता है।
2.3 किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध (Relationship between Zeroes and Coefficients)
हमने देखा कि रैखिक बहुपद $ax+b$ का शून्यक $-\frac{b}{a}$ होता है, जो गुणांकों से संबंधित है। अब हम द्विघात और त्रिघात बहुपदों के लिए इस संबंध का अध्ययन करेंगे।
द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध
मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$ के शून्यक हैं।
तब, $x - \alpha$ और $x - \beta$ बहुपद $p(x)$ के गुणनखंड होते हैं।
अतः, हम लिख सकते हैं: $ax^2 + bx + c = k(x - \alpha)(x - \beta)$, जहाँ $k$ एक अचर है।
$= k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta]$
$= kx^2 - k(\alpha + \beta)x + k\alpha\beta$
दोनों पक्षों पर $x^2$, $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$a = k$, $b = -k(\alpha + \beta)$, $c = k\alpha\beta$
इनसे हमें मिलता है:
शून्यकों का योग (Sum of Zeroes): $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{\text{(x का गुणांक)}}{\text{(x² का गुणांक)}}$
शून्यकों का गुणनफल (Product of Zeroes): $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{\text{(अचर पद)}}{\text{(x² का गुणांक)}}$
उदाहरण 2: $p(x) = x^2 + 7x + 10$
हल: गुणनखंड करने पर, $x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)$.
$p(x) = 0$ जब $x + 2 = 0$ या $x + 5 = 0$, अर्थात् $x = -2$ या $x = -5$.
शून्यक $\alpha = -2$ और $\beta = -5$ हैं।
संबंध की जाँच:
- शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = (-2) + (-5) = -7$. सूत्र से: $-\frac{b}{a} = -\frac{7}{1} = -7$. (सत्य)
- शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta = (-2) \times (-5) = 10$. सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{10}{1} = 10$. (सत्य)
उदाहरण 3: $p(x) = x^2 – 3$
हल: $x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$ (सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का प्रयोग करके)।
$p(x) = 0$ जब $x = \sqrt{3}$ या $x = -\sqrt{3}$.
शून्यक $\alpha = \sqrt{3}$ और $\beta = -\sqrt{3}$ हैं। (यहाँ $a=1, b=0, c=-3$)
संबंध की जाँच:
- शून्यकों का योग: $\alpha + \beta = \sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0$. सूत्र से: $-\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0$. (सत्य)
- शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta = (\sqrt{3}) \times (-\sqrt{3}) = -3$. सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3$. (सत्य)
उदाहरण 4: द्विघात बहुपद ज्ञात करना
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः $-3$ और $2$ हैं।
हल: माना शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं। दिया है: $\alpha + \beta = -3$ और $\alpha\beta = 2$.
द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ होता है।
हम जानते हैं $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
$\implies -\frac{b}{a} = -3$ और $\frac{c}{a} = 2$.
यदि हम $a=1$ लें, तो $b = 3$ और $c = 2$.
अतः, एक संभव बहुपद $x^2 + 3x + 2$ है।
वैकल्पिक विधि: बहुपद $k[x^2 - (\text{शून्यकों का योग})x + (\text{शून्यकों का गुणनफल})]$ होता है।
$\implies k[x^2 - (-3)x + 2] = k(x^2 + 3x + 2)$.
$k=1$ के लिए, बहुपद $x^2 + 3x + 2$ है।
त्रिघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध
मान लीजिए $\alpha, \beta, \gamma$ त्रिघात बहुपद $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, $a \neq 0$ के शून्यक हैं। तब:
शून्यकों का योग: $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
दो-दो शून्यकों के गुणनफलों का योग: $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
शून्यकों का गुणनफल: $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
उदाहरण 5 (परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण नहीं)
जाँच कीजिए कि त्रिघात बहुपद $p(x) = 3x^3 – 5x^2 – 11x – 3$ के शून्यक $3, –1$ और $–1/3$ हैं। इसके पश्चात् शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।
हल:
पहले शून्यक की जाँच करें:
- $p(3) = 3(3)^3 - 5(3)^2 - 11(3) - 3 = 3(27) - 5(9) - 33 - 3 = 81 - 45 - 33 - 3 = 81 - 81 = 0$. (हाँ)
- $p(-1) = 3(-1)^3 - 5(-1)^2 - 11(-1) - 3 = -3 - 5 + 11 - 3 = -11 + 11 = 0$. (हाँ)
- $p(-1/3) = 3(-1/3)^3 - 5(-1/3)^2 - 11(-1/3) - 3 = 3(-1/27) - 5(1/9) + 11/3 - 3 = -1/9 - 5/9 + 33/9 - 27/9 = (-1 - 5 + 33 - 27)/9 = 0/9 = 0$. (हाँ)
अतः $3, -1, -1/3$ शून्यक हैं। माना $\alpha=3, \beta=-1, \gamma=-1/3$.
गुणांक: $a=3, b=-5, c=-11, d=-3$.
संबंध की जाँच:
- $\alpha + \beta + \gamma = 3 + (-1) + (-1/3) = 2 - 1/3 = 5/3$. सूत्र से: $-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{3} = 5/3$. (सत्य)
- $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (3)(-1) + (-1)(-1/3) + (-1/3)(3) = -3 + 1/3 - 1 = -4 + 1/3 = -11/3$. सूत्र से: $\frac{c}{a} = \frac{-11}{3}$. (सत्य)
- $\alpha\beta\gamma = (3)(-1)(-1/3) = 1$. सूत्र से: $-\frac{d}{a} = -\frac{-3}{3} = 1$. (सत्य)
प्रश्नावली 2.2
प्रश्न 1: निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए:
- $x^2 – 2x – 8$
- $4s^2 – 4s + 1$
- $6x^2 – 3 – 7x$ (पहले मानक रूप में लिखें: $6x^2 - 7x - 3$)
- $4u^2 + 8u$
- $t^2 – 15$
- $3x^2 – x – 4$
(प्रत्येक के लिए, पहले मध्य पद विभक्तिकरण या सूत्र द्वारा शून्यक ज्ञात करें, फिर योग और गुणनफल के सूत्रों से संबंध सत्यापित करें।)
प्रश्न 2: एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं:
- $\frac{1}{4}, – 1$
- $\sqrt{2}, \frac{1}{3}$
- $0, \sqrt{5}$
- $1, 1$
- $– \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$
- $4, 1$
(सूत्र $k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta]$ का प्रयोग करें, जहाँ $\alpha+\beta$ योग और $\alpha\beta$ गुणनफल है। $k$ का सामान्य मान 1 ले सकते हैं या भिन्नों को हटाने के लिए उचित मान चुन सकते हैं।)
2.4 बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm for Polynomials)
जिस प्रकार संख्याओं के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका होती है, उसी प्रकार बहुपदों के लिए भी विभाजन एल्गोरिथ्म है। इसका उपयोग एक बहुपद को दूसरे (शून्यतर) बहुपद से भाग देने के लिए किया जाता है।
यदि किसी त्रिघात बहुपद का एक शून्यक ज्ञात हो, तो हम अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकते हैं। यदि $k$ बहुपद $p(x)$ का शून्यक है, तो $(x-k)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड होता है। हम $p(x)$ को $(x-k)$ से भाग देकर भागफल (quotient) प्राप्त कर सकते हैं, जो एक द्विघात बहुपद होगा। फिर इस द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात करके $p(x)$ के शेष शून्यक प्राप्त किए जा सकते हैं।
बहुपद का बहुपद से भाग
भाग देने की प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक शेषफल (remainder) शून्य न हो जाए या शेषफल की घात भाजक (divisor) की घात से कम न हो जाए।
उदाहरण 6: $2x^2 + 3x + 1$ को $x + 2$ से भाग दीजिए।
2x - 1 <-- भागफल (Quotient)
_________
x+2 | 2x² + 3x + 1 <-- भाज्य (Dividend)
|-(2x² + 4x)
|___________
| -x + 1
| -(-x - 2)
| _________
| 3 <-- शेषफल (Remainder)
यहाँ, भाज्य = $2x^2 + 3x + 1$, भाजक = $x + 2$, भागफल = $2x - 1$, शेषफल = $3$.
जाँच (विभाजन एल्गोरिथ्म): भाजक × भागफल + शेषफल
$(x + 2)(2x - 1) + 3 = (2x^2 - x + 4x - 2) + 3 = 2x^2 + 3x - 2 + 3 = 2x^2 + 3x + 1$ (यह भाज्य के बराबर है)।
उदाहरण 7: $3x^3 + x^2 + 2x + 5$ को $1 + 2x + x^2$ से भाग दीजिए।
पहले भाज्य और भाजक को मानक रूप (घातों के घटते क्रम) में लिखें:
भाज्य = $3x^3 + x^2 + 2x + 5$
भाजक = $x^2 + 2x + 1$
3x - 5 <-- भागफल
___________
x²+2x+1 | 3x³ + x² + 2x + 5 <-- भाज्य
|-(3x³ + 6x² + 3x)
|_________________
| -5x² - x + 5
| -(-5x² -10x - 5)
| ________________
| 9x + 10 <-- शेषफल
यहाँ, भागफल = $3x - 5$ और शेषफल = $9x + 10$.
शेषफल की घात (1) भाजक की घात (2) से कम है, इसलिए भाग समाप्त हो गया।
जाँच: $(x^2 + 2x + 1)(3x - 5) + (9x + 10) = (3x^3 - 5x^2 + 6x^2 - 10x + 3x - 5) + 9x + 10 = 3x^3 + x^2 - 7x - 5 + 9x + 10 = 3x^3 + x^2 + 2x + 5$. (सत्य)
विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm)
यदि $p(x)$ और $g(x)$ कोई दो बहुपद हैं जहाँ $g(x) \neq 0$ हो, तो हम बहुपद $q(x)$ (भागफल) और $r(x)$ (शेषफल) ऐसे प्राप्त कर सकते हैं कि:
जहाँ या तो $r(x) = 0$ है अथवा घात $r(x)$ < घात $g(x)$ है।
(अर्थात्, भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल)
उदाहरण 8: $3x^2 – x^3 – 3x + 5$ को $x – 1 – x^2$ से भाग दीजिए और विभाजन एल्गोरिथ्म की सत्यता की जाँच कीजिए।
मानक रूप में लिखने पर:
भाज्य $p(x) = -x^3 + 3x^2 - 3x + 5$
भाजक $g(x) = -x^2 + x - 1$
x - 2 <-- भागफल q(x)
_________
-x²+x-1 | -x³ + 3x² - 3x + 5 <-- भाज्य p(x)
| -(-x³ + x² - x)
| ________________
| 2x² - 2x + 5
| -(2x² - 2x + 2)
| _____________
| 3 <-- शेषफल r(x)
भागफल $q(x) = x - 2$ और शेषफल $r(x) = 3$।
जाँच: $g(x) q(x) + r(x) = (-x^2 + x - 1)(x - 2) + 3$
$= (-x^3 + 2x^2 + x^2 - 2x - x + 2) + 3$
$= -x^3 + 3x^2 - 3x + 2 + 3$
$= -x^3 + 3x^2 - 3x + 5 = p(x)$ (भाज्य)
अतः, विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित होता है।
उदाहरण 9: अन्य शून्यक ज्ञात करना
$2x^4 – 3x^3 – 3x^2 + 6x – 2$ के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि आपको इसके दो शून्यक $\sqrt{2}$ और $-\sqrt{2}$ ज्ञात हैं।
हल:
क्योंकि $\sqrt{2}$ और $-\sqrt{2}$ शून्यक हैं, तो $(x - \sqrt{2})$ और $(x + \sqrt{2})$ बहुपद के गुणनखंड हैं।
अतः, उनका गुणनफल $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) = x^2 - (\sqrt{2})^2 = x^2 - 2$ भी दिए गए बहुपद $p(x) = 2x^4 – 3x^3 – 3x^2 + 6x – 2$ का एक गुणनखंड होगा।
अब हम $p(x)$ को $g(x) = x^2 - 2$ से भाग देंगे:
2x² - 3x + 1 <-- भागफल q(x)
_____________
x²-2 | 2x⁴ - 3x³ - 3x² + 6x - 2
|-(2x⁴ - 4x²)
|_________________
| -3x³ + x² + 6x
| -(-3x³ + 6x)
| _________________
| x² - 2
| -(x² - 2)
| ___________
| 0 <-- शेषफल r(x)
विभाजन एल्गोरिथ्म से, $p(x) = (x^2 - 2)(2x^2 - 3x + 1)$.
अन्य शून्यक भागफल $q(x) = 2x^2 - 3x + 1$ के शून्यक होंगे।
अब $2x^2 - 3x + 1$ का गुणनखंड करते हैं:
$2x^2 - 3x + 1 = 2x^2 - 2x - x + 1 = 2x(x - 1) - 1(x - 1) = (2x - 1)(x - 1)$.
$q(x) = 0$ के लिए, $(2x - 1) = 0$ या $(x - 1) = 0$.
$\implies x = 1/2$ या $x = 1$.
अतः, दिए गए बहुपद के सभी शून्यक $\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 1/2,$ और $1$ हैं।
प्रश्नावली 2.3
प्रश्न 1: विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में $p(x)$ को $g(x)$ से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए:
- $p(x) = x^3 – 3x^2 + 5x – 3, \quad g(x) = x^2 – 2$
- $p(x) = x^4 – 3x^2 + 4x + 5, \quad g(x) = x^2 + 1 – x$ (पहले $g(x)$ को $x^2 - x + 1$ लिखें)
- $p(x) = x^4 – 5x + 6, \quad g(x) = 2 – x^2$ (पहले $g(x)$ को $-x^2 + 2$ लिखें)
(प्रत्येक भाग के लिए बहुपद विभाजन की प्रक्रिया करें।)
प्रश्न 2: पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके, जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखंड है:
- $t^2 – 3, \quad 2t^4 + 3t^3 – 2t^2 – 9t – 12$
- $x^2 + 3x + 1, \quad 3x^4 + 5x^3 – 7x^2 + 2x + 2$
- $x^3 – 3x + 1, \quad x^5 – 4x^3 + x^2 + 3x + 1$
(यदि भाग देने पर शेषफल शून्य आता है, तो पहला बहुपद दूसरे का गुणनखंड होता है।)
प्रश्न 3: $3x^4 + 6x^3 – 2x^2 – 10x – 5$ के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक $\sqrt{\frac{5}{3}}$ और $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ हैं।
(संकेत: $(x - \sqrt{5/3})(x + \sqrt{5/3}) = x^2 - 5/3$ एक गुणनखंड होगा। दिए गए बहुपद को $x^2 - 5/3$ से भाग दें [या $(3x^2 - 5)$ से भाग देना आसान हो सकता है] और प्राप्त भागफल के शून्यक ज्ञात करें।)
प्रश्न 4: यदि $x^3 – 3x^2 + x + 2$ को एक बहुपद $g(x)$ से भाग देने पर, भागफल और शेषफल क्रमशः $x – 2$ और $–2x + 4$ हैं तो $g(x)$ ज्ञात कीजिए।
(संकेत: विभाजन एल्गोरिथ्म $p(x) = g(x)q(x) + r(x)$ का प्रयोग करें। यहाँ $p(x) = x^3 – 3x^2 + x + 2$, $q(x) = x-2$, $r(x) = -2x+4$. पहले $p(x) - r(x)$ ज्ञात करें, फिर परिणाम को $q(x)$ से भाग दें।)
$g(x) = \frac{p(x) - r(x)}{q(x)} = \frac{(x^3 – 3x^2 + x + 2) - (-2x + 4)}{x - 2} = \frac{x^3 – 3x^2 + 3x - 2}{x - 2}$. अब भाग करें।
प्रश्न 5: बहुपदों $p(x), g(x), q(x)$ और $r(x)$ के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को संतुष्ट करते हों तथा:
- घात $p(x)$ = घात $q(x)$
- घात $q(x)$ = घात $r(x)$
- घात $r(x)$ = 0
(अपने मन से उपयुक्त बहुपद चुनें जो दी गई शर्तों को पूरा करें।)
प्रश्नावली 2.4 (ऐच्छिक - परीक्षा की दृष्टि से नहीं)
प्रश्न 1: सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध को भी सत्यापित कीजिए:
- $2x^3 + x^2 – 5x + 2; \quad \frac{1}{2}, 1, – 2$
- $x^3 – 4x^2 + 5x – 2; \quad 2, 1, 1$
(प्रत्येक संख्या को बहुपद में रखकर देखें कि मान 0 आता है या नहीं। फिर त्रिघात बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के संबंधों ($\alpha+\beta+\gamma = -b/a$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = c/a$, $\alpha\beta\gamma = -d/a$) को सत्यापित करें।)
प्रश्न 2: एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लेकर उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः $2, –7, –14$ हों।
(संकेत: त्रिघात बहुपद $k[x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x - (\alpha\beta\gamma)]$ होता है। दिए गए मानों को रखें और $k=1$ लें।)
प्रश्न 3: यदि बहुपद $x^3 – 3x^2 + x + 1$ के शून्यक $a – b, a, a + b$ हों, तो $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए।
(संकेत: शून्यकों के योग वाले संबंध का प्रयोग करें: $(a-b) + a + (a+b) = -(-3)/1$. इससे $a$ का मान मिलेगा। फिर शून्यकों के गुणनफल वाले संबंध $(a-b)(a)(a+b) = -(1)/1$ का प्रयोग करके $b$ ज्ञात करें।)
प्रश्न 4: यदि बहुपद $x^4 – 6x^3 – 26x^2 + 138x – 35$ के दो शून्यक $2 \pm \sqrt{3}$ हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
(संकेत: यदि $2+\sqrt{3}$ और $2-\sqrt{3}$ शून्यक हैं, तो $[x-(2+\sqrt{3})][x-(2-\sqrt{3})] = [(x-2)-\sqrt{3}][(x-2)+\sqrt{3}] = (x-2)^2 - (\sqrt{3})^2 = x^2 - 4x + 4 - 3 = x^2 - 4x + 1$ दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड होगा। दिए गए बहुपद को इससे भाग दें और भागफल के शून्यक ज्ञात करें।)
प्रश्न 5: यदि बहुपद $x^4 – 6x^3 + 16x^2 – 25x + 10$ को एक अन्य बहुपद $x^2 – 2x + k$ से भाग दिया जाए और शेषफल $x + a$ आता हो, तो $k$ तथा $a$ ज्ञात कीजिए।
(संकेत: लंबा भाग करें। भाग के अंत में प्राप्त शेषफल को दिए गए शेषफल $x+a$ के बराबर रखें। $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करके $k$ और $a$ के मान ज्ञात करें।)
2.5 सारांश (Summary)
इस अध्याय में, हमने निम्नलिखित मुख्य बिंदुओं का अध्ययन किया:
- घातों 1, 2 और 3 के बहुपद क्रमशः रैखिक बहुपद, द्विघात बहुपद एवं त्रिघात बहुपद कहलाते हैं।
- एक द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$, ($a \neq 0$) के रूप का होता है। एक त्रिघात बहुपद $ax^3 + bx^2 + cx + d$, ($a \neq 0$) के रूप का होता है।
- किसी बहुपद $p(x)$ के शून्यक उन बिंदुओं के $x$-निर्देशांक होते हैं जहाँ $y = p(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।
- एक द्विघात बहुपद के अधिकतम दो शून्यक हो सकते हैं और एक त्रिघात बहुपद के अधिकतम तीन शून्यक हो सकते हैं। घात $n$ के बहुपद के अधिकतम $n$ शून्यक हो सकते हैं।
- यदि द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हों, तो:
- $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
- $\alpha\beta = \frac{c}{a}$
- यदि त्रिघात बहुपद $ax^3 + bx^2 + cx + d$ के शून्यक $\alpha, \beta, \gamma$ हों, तो:
- $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
- $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
- $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$
- विभाजन एल्गोरिथ्म: दिए गए बहुपद $p(x)$ और शून्यतर बहुपद $g(x)$ के लिए दो ऐसे बहुपदों $q(x)$ (भागफल) तथा $r(x)$ (शेषफल) का अस्तित्व है कि $p(x) = g(x) q(x) + r(x)$, जहाँ $r(x) = 0$ है या घात $r(x)$ < घात $g(x)$ है।
आशा है कि यह नोट्स आपको बहुपद अध्याय को समझने और अभ्यास करने में सहायक होगा!
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