कक्षा 10 गणित अध्याय 3: दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म
इस ब्लॉग पोस्ट में, हम कक्षा 10 के गणित के अध्याय 3, "दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म" (Pair of Linear Equations in Two Variables) का विस्तृत अध्ययन करेंगे। यह नोट्स आपको इस अध्याय को स्वयं सीखने में मदद करेंगे, जिसमें सभी महत्वपूर्ण अवधारणाएं, विधियाँ, हल सहित उदाहरण और प्रश्नावली के समाधान शामिल हैं।
3.1 भूमिका (Introduction)
दैनिक जीवन में हमें अक्सर ऐसी स्थितियाँ मिलती हैं जहाँ दो अज्ञात राशियों (unknown quantities) को ज्ञात करना होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए आप मेले में जाते हैं और चरखी की सवारी करना और हूपला खेल खेलना चाहते हैं, लेकिन आपके पास सीमित पैसे हैं और आप सवारी और खेलों की संख्या के बीच एक निश्चित संबंध चाहते हैं।
- इन अज्ञात राशियों को ज्ञात करने के लिए, हम उन्हें चर (variables) जैसे $x$ और $y$ से निरूपित करते हैं।
- दी गई शर्तों के आधार पर, हम इन चरों में रैखिक समीकरण (linear equations) बनाते हैं।
- उदाहरण के लिए, यदि सवारी की संख्या $x$ हो और हूपला खेल की संख्या $y$ हो, तो स्थिति को दो समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, जैसे: $y = \frac{1}{2} x$ और $3x + 4y = 20$ (यदि प्रत्येक सवारी का खर्च ₹3, हूपला का ₹4 और कुल खर्च ₹20 है)।
- जब हम दो चरों $x$ और $y$ में दो रैखिक समीकरणों को एक साथ लेते हैं, तो इसे दो चरों में रैखिक समीकरणों का एक युग्म (a pair of linear equations in two variables) या रैखिक समीकरण युग्म (pair of linear equations) कहते हैं।
3.2 दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)
कक्षा IX में हमने पढ़ा कि दो चरों $x$ और $y$ में रैखिक समीकरण का व्यापक रूप $ax + by + c = 0$ होता है, जहाँ $a$, $b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ और $b$ दोनों शून्य नहीं हैं (अर्थात $a^2 + b^2 \neq 0$)।
दो चरों $x$ और $y$ में एक रैखिक समीकरण युग्म का व्यापक रूप (general form) निम्नलिखित है:
$a_2x + b_2y + c_2 = 0$
जहाँ $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ सभी वास्तविक संख्याएँ हैं और $a_1^2 + b_1^2 \neq 0$, $a_2^2 + b_2^2 \neq 0$ है।
उदाहरण: $2x + 3y – 7 = 0$ और $9x – 2y + 8 = 0$ एक रैखिक समीकरण युग्म है।
ऐसे समीकरण का हल (solution) चर $x$ और $y$ के मानों का एक युग्म होता है, जो समीकरण के दोनों पक्षों को बराबर कर देता है।
उदाहरण: समीकरण $2x + 3y = 5$ में, $x = 1$ और $y = 1$ रखने पर, बायाँ पक्ष $2(1) + 3(1) = 5$ आता है, जो दाएँ पक्ष के बराबर है। अतः, $(x=1, y=1)$ समीकरण का एक हल है। लेकिन $(x=1, y=7)$ हल नहीं है, क्योंकि $2(1) + 3(7) = 23 \neq 5$।
3.3 रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफ़ीय विधि से हल (Graphical Method of Solution)
कक्षा IX में हमने सीखा कि दो चरों में एक रैखिक समीकरण का ज्यामितीय (ग्राफ़ीय) निरूपण एक सरल रेखा (straight line) होता है।
अतः, दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म ज्यामितीय रूप से दो सरल रेखाएँ (two straight lines) दिखाता है।
एक तल में दो रेखाओं के लिए केवल तीन ही संभावनाएँ हो सकती हैं:
- दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद (intersect at a point) करती हैं।
- दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, अर्थात वे समांतर (parallel) हैं।
- दोनों रेखाएँ संपाती (coincident) हैं (एक दूसरे के ऊपर हैं)।
ज्यामितीय दृष्टि से हल का अर्थ:
- समीकरण का प्रत्येक हल उसको निरूपित करने वाली रेखा पर स्थित एक बिंदु होता है।
- रैखिक समीकरण युग्म का हल वह साझा बिंदु (common point) होता है जो दोनों रेखाओं पर स्थित हो।
रेखाओं के व्यवहार और हलों की संख्या:
- प्रतिच्छेद करती रेखाएँ:
- युग्म का एक अद्वितीय हल (unique solution) होता है।
- यह साझा बिंदु (intersection point) ही युग्म का हल होता है।
- ऐसे युग्म को संगत (consistent) युग्म कहते हैं।
- (उदाहरण 1 में, हल $x = 4, y = 2$ है)।
- समांतर रेखाएँ:
- रेखाएँ कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करतीं, कोई साझा बिंदु नहीं होता।
- युग्म का कोई हल नहीं (no solution) होता है।
- ऐसे युग्म को असंगत (inconsistent) युग्म कहते हैं।
- (उदाहरण 3 में, रेल की पटरियाँ समांतर हैं, कोई हल नहीं)।
- संपाती रेखाएँ:
- दोनों रेखाएँ एक ही होती हैं। रेखा का प्रत्येक बिंदु दोनों समीकरणों का हल होता है।
- युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल (infinitely many solutions) होते हैं।
- ऐसे युग्म को आश्रित (dependent) युग्म कहते हैं।
- आश्रित युग्म हमेशा संगत होता है।
- (उदाहरण 2 में, $2x + 3y = 9$ और $4x + 6y = 18$ संपाती हैं, अनेक हल हैं)।
गुणांकों के अनुपातों से हलों की प्रकृति ज्ञात करना:
माना रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ है।
| अनुपात की तुलना | ग्राफ़ीय निरूपण | बीजगणितीय निर्वचन | युग्म का प्रकार |
|---|---|---|---|
| $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ | प्रतिच्छेद करती रेखाएँ | अद्वितीय हल (केवल एक हल) | संगत (Consistent) |
| $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ | समांतर रेखाएँ | कोई हल नहीं | असंगत (Inconsistent) |
| $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ | संपाती रेखाएँ | अपरिमित रूप से अनेक हल | आश्रित (संगत) (Dependent/Consistent) |
3.4 एक रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधियाँ (Algebraic Methods)
ग्राफ़ीय विधि हमेशा सटीक हल नहीं देती, खासकर जब हल के निर्देशांक पूर्णांक न हों। इसलिए, हम बीजगणितीय विधियों का उपयोग करते हैं।
3.4.1 प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)
इस विधि में, हम एक समीकरण से एक चर का मान दूसरे चर के पदों में व्यक्त करते हैं और इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
चरण (Steps):
- किसी एक समीकरण से एक चर (माना $y$) का मान दूसरे चर (माना $x$) के पदों में ज्ञात करें।
- $y$ के इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। इससे एक चर $x$ में समीकरण मिलेगा, जिसे हल करें।
- यदि चरण 2 में चर रहित एक सत्य कथन (जैसे $18 = 18$) मिले, तो युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं (संपाती रेखाएँ)।
- यदि चरण 2 में चर रहित एक असत्य कथन (जैसे $-4 = 0$) मिले, तो युग्म का कोई हल नहीं है (समांतर रेखाएँ, असंगत)।
- चरण 2 से प्राप्त $x$ (या $y$) का मान चरण 1 वाले समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात करें।
उदाहरण 7: प्रतिस्थापन विधि से हल
समीकरण युग्म: $7x – 15y = 2$ (1), $x + 2y = 3$ (2)
चरण 1: समीकरण (2) से, $x = 3 – 2y$ (3)
चरण 2: $x$ का मान (1) में रखने पर: $7(3 – 2y) – 15y = 2$
$21 – 14y – 15y = 2 \implies 21 – 29y = 2 \implies -29y = -19 \implies y = \frac{19}{29}$
चरण 3: $y$ का मान (3) में रखने पर: $x = 3 – 2(\frac{19}{29}) = 3 - \frac{38}{29} = \frac{87 - 38}{29} = \frac{49}{29}$
अतः, हल है: $x = \frac{49}{29}, y = \frac{19}{29}$।
3.4.2 विलोपन विधि (Elimination Method)
इस विधि में, हम एक चर के गुणांकों को समान करके और फिर समीकरणों को जोड़कर या घटाकर उस चर को विलुप्त (eliminate) करते हैं।
चरण (Steps):
- दोनों समीकरणों को उपयुक्त शून्येतर अचरों से गुणा करें, जिससे किसी एक चर ($x$ या $y$) के गुणांक संख्यात्मक रूप से समान हो जाएँ।
- एक समीकरण को दूसरे में जोड़ें या उसमें से घटाएँ, जिससे एक चर विलोप्त हो जाए।
- यदि चर रहित सत्य कथन मिले, तो अपरिमित हल हैं।
- यदि चर रहित असत्य कथन मिले, तो कोई हल नहीं है (असंगत)।
- इस प्रकार प्राप्त एक चर वाले समीकरण को हल करें।
- प्राप्त चर का मान मूल समीकरणों में से किसी एक में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात करें।
उदाहरण 11: विलोपन विधि से हल
आय-व्यय समस्या: आय का अनुपात 9:7, व्यय का अनुपात 4:3, प्रत्येक की बचत ₹2000।
माना आय $9x, 7x$ और व्यय $4y, 3y$ है।
समीकरण: $9x – 4y = 2000$ (1), $7x – 3y = 2000$ (2)
चरण 1: (1) को 3 से गुणा: $27x – 12y = 6000$ (3)
चरण 1: (2) को 4 से गुणा: $28x – 12y = 8000$ (4)
चरण 2: (4) में से (3) घटाने पर: $(28x – 12y) - (27x – 12y) = 8000 - 6000$
$x = 2000$
चरण 4: $x=2000$ को (1) में रखने पर: $9(2000) – 4y = 2000 \implies 18000 - 4y = 2000 \implies -4y = -16000 \implies y = 4000$
मासिक आय हैं: $9x = 9(2000) = \text{₹}18000$ और $7x = 7(2000) = \text{₹}14000$।
3.4.3 वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method)
यह विधि रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ को हल करने का एक सूत्र प्रदान करती है।
सूत्र (यदि $a_1b_2 – a_2b_1 \neq 0$):
यह सूत्र तभी लागू होता है जब $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ हो (अद्वितीय हल की स्थिति)।
इसे याद रखने के लिए वज्र-गुणन पैटर्न (तीरों वाला चित्र) का उपयोग किया जाता है:
x y 1
/ \ / \ / \
b₁ c₁ a₁ b₁
\ / \ / \ /
b₂ c₂ a₂ b₂
$x$ के नीचे: $(b_1)(c_2) - (b_2)(c_1)$ $y$ के नीचे: $(c_1)(a_2) - (c_2)(a_1)$
$1$ के नीचे: $(a_1)(b_2) - (a_2)(b_1)$
चरण (Steps):
- समीकरणों को मानक रूप $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ में लिखें।
- गुणांकों $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ की पहचान करें।
- वज्र-गुणन सूत्र लिखें।
- गुणांकों के मान रखकर $x$ और $y$ ज्ञात करें (यदि $a_1b_2 – a_2b_1 \neq 0$)।
उदाहरण 14: वज्र-गुणन विधि से हल
बस किराया समस्या: 2 टिकट मल्लेशवरम ($x$) + 3 टिकट यशवंतपुर ($y$) = ₹46; 3 टिकट मल्लेशवरम ($x$) + 5 टिकट यशवंतपुर ($y$) = ₹74।
समीकरण: $2x + 3y - 46 = 0$ (1), $3x + 5y - 74 = 0$ (2)
$a_1=2, b_1=3, c_1=-46$; $a_2=3, b_2=5, c_2=-74$
$\frac{x}{(3)(-74) - (5)(-46)} = \frac{y}{(-46)(3) - (-74)(2)} = \frac{1}{(2)(5) - (3)(3)}$
$\frac{x}{-222 - (-230)} = \frac{y}{-138 - (-148)} = \frac{1}{10 - 9}$
$\frac{x}{-222 + 230} = \frac{y}{-138 + 148} = \frac{1}{1}$
$\frac{x}{8} = \frac{y}{10} = \frac{1}{1}$
$x = 8 \times 1 = 8$
$y = 10 \times 1 = 10$
अतः, मल्लेशवरम का किराया ₹8 और यशवंतपुर का किराया ₹10 है।
3.5 दो चरों के रैखिक समीकरणों के युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equations Reducible to Linear Form)
कुछ समीकरण युग्म सीधे रैखिक नहीं होते हैं, लेकिन उन्हें उपयुक्त प्रतिस्थापनों (substitutions) द्वारा रैखिक समीकरण युग्म में बदला जा सकता है।
प्रक्रिया:
- समीकरणों में कुछ व्यंजकों को नए चरों (जैसे $p, q$ या $u, v$) से प्रतिस्थापित करें, जिससे समीकरण रैखिक बन जाएँ।
- नए रैखिक समीकरण युग्म को किसी भी बीजगणितीय विधि से हल करें।
- नए चरों के मानों का उपयोग करके मूल चरों ($x, y$) के मान ज्ञात करें।
उदाहरण 17: समीकरणों को रैखिक रूप में बदलना
समीकरण युग्म: $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 13$ (1), $\frac{5}{x} – \frac{4}{y} = –2$ (2)
माना $\frac{1}{x} = p$ और $\frac{1}{y} = q$.
समीकरण बन जाते हैं:
$2p + 3q = 13$ (3)
$5p – 4q = –2$ (4)
इन रैखिक समीकरणों (3) और (4) को हल करने पर (विलोपन या किसी अन्य विधि से), हमें $p = 2$ और $q = 3$ मिलता है।
अब मान वापस रखें:
$\frac{1}{x} = p = 2 \implies x = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{y} = q = 3 \implies y = \frac{1}{3}$
अतः, हल है: $x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{3}$।
उदाहरण 19: नाव और धारा समस्या
एक नाव 10 घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 km तथा धारा के अनुकूल 44 km जाती है। 13 घंटे में वह 40 km धारा के प्रतिकूल एवं 55 km धारा के अनुकूल जाती है। धारा की चाल तथा नाव की स्थिर पानी में चाल ज्ञात कीजिए।
माना नाव की स्थिर जल में चाल $x$ km/h और धारा की चाल $y$ km/h है।
अनुकूल चाल = $x+y$, प्रतिकूल चाल = $x-y$. समय = दूरी/चाल।
समीकरण:
$\frac{30}{x-y} + \frac{44}{x+y} = 10$ (1)
$\frac{40}{x-y} + \frac{55}{x+y} = 13$ (2)
माना $\frac{1}{x-y} = u$ और $\frac{1}{x+y} = v$.
नए समीकरण:
$30u + 44v = 10$ (3)
$40u + 55v = 13$ (4)
समीकरण (3) और (4) को हल करने पर, $u = \frac{1}{5}$ और $v = \frac{1}{11}$ प्राप्त होता है।
मान वापस रखें:
$\frac{1}{x-y} = \frac{1}{5} \implies x - y = 5$ (5)
$\frac{1}{x+y} = \frac{1}{11} \implies x + y = 11$ (6)
समीकरण (5) और (6) को हल करने पर:
$(x-y) + (x+y) = 5+11 \implies 2x = 16 \implies x = 8$
$(x+y) - (x-y) = 11-5 \implies 2y = 6 \implies y = 3$
अतः, नाव की स्थिर जल में चाल 8 km/h और धारा की चाल 3 km/h है।
सारांश (Summary)
- दो चरों में दो रैखिक समीकरणों को एक रैखिक समीकरण युग्म कहते हैं। व्यापक रूप: $a_1x + b_1y + c_1 = 0, a_2x + b_2y + c_2 = 0$.
- इसे ग्राफ़ीय विधि या बीजगणितीय विधि (प्रतिस्थापन, विलोपन, वज्र-गुणन) से हल किया जा सकता है।
- ग्राफ़ीय रूप से, युग्म दो रेखाएँ दिखाता है, जो प्रतिच्छेद करती (अद्वितीय हल, संगत), समांतर (कोई हल नहीं, असंगत), या संपाती (अपरिमित हल, आश्रित/संगत) हो सकती हैं।
- हलों की प्रकृति गुणांकों के अनुपात से निर्धारित होती है:
- $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$: प्रतिच्छेदी, अद्वितीय हल, संगत।
- $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$: समांतर, कोई हल नहीं, असंगत।
- $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$: संपाती, अपरिमित हल, आश्रित (संगत)।
- बीजगणितीय विधियाँ सटीक हल प्रदान करती हैं: प्रतिस्थापन (मान रखना), विलोपन (गुणांक समान करके काटना), वज्र-गुणन (सूत्र का उपयोग)।
- कुछ अरैखिक समीकरणों को उपयुक्त प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरण युग्म में बदला जा सकता है।
प्रश्नावली 3.1 के हल
(बीजगणितीय एवं ग्राफिकल निरूपण)
1. आफताब और पुत्री की आयु:
माना आफताब की वर्तमान आयु $s$ वर्ष और पुत्री की वर्तमान आयु $t$ वर्ष है।
बीजगणितीय निरूपण:
सात वर्ष पूर्व: $s - 7 = 7(t - 7) \implies s - 7t + 42 = 0$ (1)
तीन वर्ष बाद: $s + 3 = 3(t + 3) \implies s - 3t - 6 = 0$ (2)
ग्राफिकल निरूपण: समीकरण (1) और (2) के लिए बिंदु ज्ञात कर ग्राफ बनाएं। उदाहरण के लिए:
(1) के लिए बिंदु: $(0, 6), (7, 7), (-7, 5)$
(2) के लिए बिंदु: $(6, 0), (0, -2), (9, 1)$
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित कर रेखाएं खींचे।
2. बल्ले और गेंद की कीमत:
माना 1 बल्ले का मूल्य ₹$x$ और 1 गेंद का मूल्य ₹$y$ है।
बीजगणितीय निरूपण:
3 बल्ले + 6 गेंदें = ₹3900 $\implies 3x + 6y = 3900 \implies x + 2y = 1300$ (1)
1 बल्ला + 3 गेंदें = ₹1300 $\implies x + 3y = 1300$ (2)
ग्राफिकल निरूपण: समीकरण (1) और (2) के लिए बिंदु ज्ञात कर ग्राफ बनाएं। उदाहरण के लिए:
(1) के लिए बिंदु: $(1300, 0), (300, 500), (100, 600)$
(2) के लिए बिंदु: $(1300, 0), (100, 400), (400, 300)$
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित कर रेखाएं खींचे।
3. सेब और अंगूर का मूल्य:
माना 1 kg सेब का मूल्य ₹$x$ और 1 kg अंगूर का मूल्य ₹$y$ है।
बीजगणितीय निरूपण:
2 kg सेब + 1 kg अंगूर = ₹160 $\implies 2x + y = 160$ (1)
4 kg सेब + 2 kg अंगूर = ₹300 $\implies 4x + 2y = 300 \implies 2x + y = 150$ (2)
ग्राफिकल निरूपण: समीकरण (1) और (2) के लिए बिंदु ज्ञात कर ग्राफ बनाएं। उदाहरण के लिए:
(1) के लिए बिंदु: $(50, 60), (80, 0)$
(2) के लिए बिंदु: $(50, 50), (75, 0)$
इन बिंदुओं को ग्राफ पर आलेखित कर रेखाएं खींचे। (ये रेखाएं समांतर होंगी)।
प्रश्नावली 3.2 के हल
(ग्राफिकल विधि से हल और संगतता)
1. रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और ग्राफिकल विधि से हल कीजिए:
(i) कक्षा X के विद्यार्थी:
माना लड़कों की संख्या $x$, लड़कियों की संख्या $y$।
समीकरण: $x + y = 10$ (1), $y = x + 4$ या $-x + y = 4$ (2)
ग्राफ बनाने पर रेखाएं बिंदु $(3, 7)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हल: लड़के = 3, लड़कियाँ = 7।
(ii) पेंसिल और कलम का मूल्य:
माना पेंसिल का मूल्य ₹$x$, कलम का मूल्य ₹$y$।
समीकरण: $5x + 7y = 50$ (1), $7x + 5y = 46$ (2)
ग्राफ बनाने पर रेखाएं बिंदु $(3, 5)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हल: पेंसिल का मूल्य = ₹3, कलम का मूल्य = ₹5।
2. अनुपातों की तुलना कर रेखाओं की प्रकृति बताइए:
(i) $5x – 4y + 8 = 0; 7x + 6y – 9 = 0$
$\frac{5}{7} \neq \frac{-4}{6}$. रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
(ii) $9x + 3y + 12 = 0; 18x + 6y + 24 = 0$
$\frac{9}{18} = \frac{3}{6} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$. रेखाएँ संपाती हैं।
(iii) $6x – 3y + 10 = 0; 2x – y + 9 = 0$
$\frac{6}{2} = \frac{-3}{-1} = 3 \neq \frac{10}{9}$. रेखाएँ समांतर हैं।
3. अनुपातों की तुलना कर संगत/असंगत बताइए:
(i) $3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7$. $\frac{3}{2} \neq \frac{2}{-3}$. संगत।
(ii) $2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9$. $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} \neq \frac{-8}{-9}$. असंगत।
(iii) $\frac{3}{2} x + \frac{5}{3} y = 7; 9x – 10y = 14$. $\frac{3/2}{9} = \frac{1}{6} \neq \frac{5/3}{-10} = -\frac{1}{6}$. संगत।
(iv) $5x – 3y = 11; – 10x + 6y = –22$. $\frac{5}{-10} = \frac{-3}{6} = \frac{-11}{22} = -\frac{1}{2}$. संगत (आश्रित)।
(v) $\frac{4}{3} x + 2y = 8; 2x + 3y = 12$. $\frac{4/3}{2} = \frac{2}{3} = \frac{-8}{-12} = \frac{2}{3}$. संगत (आश्रित)।
4. संगत/असंगत जाँचें और संगत हो तो ग्राफ से हल करें:
(i) $x + y = 5, 2x + 2y = 10$. $\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{-5}{-10}$. संगत (आश्रित)। हल: रेखा $x+y=5$ पर स्थित सभी बिंदु।
(ii) $x – y = 8, 3x – 3y = 16$. $\frac{1}{3} = \frac{-1}{-3} \neq \frac{-8}{-16}$. असंगत।
(iii) $2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0$. $\frac{2}{4} \neq \frac{1}{-2}$. संगत। ग्राफ बनाने पर प्रतिच्छेद बिंदु $(2, 2)$ मिलेगा। हल: $x=2, y=2$।
(iv) $2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0$. $\frac{2}{4} = \frac{-2}{-4} \neq \frac{-2}{-5}$. असंगत।
5. आयताकार बाग की विमाएँ:
माना लंबाई $y$, चौड़ाई $x$।
समीकरण: $y = x + 4$ (1), $x + y = 36$ (2) (अर्धपरिमाप)।
ग्राफ बनाने पर प्रतिच्छेद बिंदु $(16, 20)$ मिलेगा।
हल: चौड़ाई = 16 m, लंबाई = 20 m।
6. दी गई रेखा के सापेक्ष अन्य रेखाएं लिखना:
दी गई रेखा: $2x + 3y – 8 = 0$.
(i) प्रतिच्छेदी: कोई भी समीकरण जिसमें $\frac{a_2}{2} \neq \frac{b_2}{3}$ हो, जैसे $3x + 2y + 5 = 0$।
(ii) समांतर: कोई भी समीकरण जिसमें $\frac{a_2}{2} = \frac{b_2}{3} \neq \frac{c_2}{-8}$ हो, जैसे $4x + 6y + 10 = 0$।
(iii) संपाती: कोई भी समीकरण जिसमें $\frac{a_2}{2} = \frac{b_2}{3} = \frac{c_2}{-8}$ हो, जैसे $4x + 6y – 16 = 0$।
7. ग्राफ खींचकर त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करना:
समीकरण: $x – y + 1 = 0$ (1), $3x + 2y – 12 = 0$ (2)।
रेखा (1) x-अक्ष को $(-1, 0)$ पर काटती है।
रेखा (2) x-अक्ष को $(4, 0)$ पर काटती है।
दोनों रेखाएं $(2, 3)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्ष: $(-1, 0)$, $(4, 0)$, $(2, 3)$। ग्राफ पर त्रिभुज को छायांकित करें।
प्रश्नावली 3.3 के हल
(प्रतिस्थापन विधि)
1. प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
(i) $x + y = 14, x – y = 4$. हल: $x=9, y=5$.
(ii) $s – t = 3, s/3 + t/2 = 6$. हल: $s=9, t=6$.
(iii) $3x – y = 3, 9x – 3y = 9$. हल: अपरिमित हल (संपाती रेखाएं)।
(iv) $0.2x + 0.3y = 1.3, 0.4x + 0.5y = 2.3$. हल: $x=2, y=3$.
(v) $\sqrt{2}x + \sqrt{3}y = 0, \sqrt{3}x – \sqrt{8}y = 0$. हल: $x=0, y=0$.
(vi) $3x/2 – 5y/3 = –2, x/3 + y/2 = 13/6$. हल: $x=2, y=3$.
2. समीकरण हल कर 'm' का मान ज्ञात करें:
$2x + 3y = 11$ और $2x – 4y = –24$.
हल करने पर $x=-2, y=5$.
$y = mx + 3$ में मान रखने पर: $5 = m(-2) + 3 \implies 2 = -2m \implies m = -1$.
हल: $m = -1$.
3. समस्याओं को प्रतिस्थापन विधि से हल करें:
(i) दो संख्याओं का अंतर 26, एक संख्या दूसरी की तीन गुनी। समीकरण: $x-y=26, x=3y$. हल: संख्याएँ 39 और 13।
(ii) दो संपूरक कोण, बड़ा कोण छोटे से 18° अधिक। समीकरण: $x+y=180, x=y+18$. हल: कोण 99° और 81°।
(iii) 7 बल्ले, 6 गेंदें ₹3800; 3 बल्ले, 5 गेंदें ₹1750। समीकरण: $7x+6y=3800, 3x+5y=1750$. हल: बल्ला ₹500, गेंद ₹50।
(iv) टैक्सी भाड़ा: नियत + प्रति km. 10 km का ₹105, 15 km का ₹155। समीकरण: $x+10y=105, x+15y=155$. हल: नियत ₹5, प्रति km ₹10। 25 km का भाड़ा: $5 + 25(10) = $ ₹255।
(v) भिन्न: अंश, हर में 2 जोड़ने पर 9/11; 3 जोड़ने पर 5/6। समीकरण: $\frac{x+2}{y+2}=\frac{9}{11}, \frac{x+3}{y+3}=\frac{5}{6}$. हल: भिन्न 7/9।
(vi) जैकब की आयु: 5 वर्ष बाद पुत्र से 3 गुनी; 5 वर्ष पूर्व पुत्र से 7 गुनी। समीकरण: $x+5=3(y+5), x-5=7(y-5)$. हल: जैकब 40 वर्ष, पुत्र 10 वर्ष।
प्रश्नावली 3.4 के हल
(विलोपन विधि)
1. विलोपन और प्रतिस्थापन दोनों विधियों से हल करें:
(i) $x + y = 5, 2x – 3y = 4$. हल: $x=19/5, y=6/5$.
(ii) $3x + 4y = 10, 2x – 2y = 2$. हल: $x=2, y=1$.
(iii) $3x – 5y – 4 = 0, 9x = 2y + 7$. हल: $x=9/13, y=-5/13$.
(iv) $x/2 + 2y/3 = –1, x – y/3 = 3$. हल: $x=2, y=-3$.
(दोनों विधियों से समान उत्तर मिलेगा। उपयुक्तता व्यक्तिगत पसंद पर निर्भर करती है)।
2. समस्याओं को विलोपन विधि से हल करें (यदि अस्तित्व हो):
(i) भिन्न: अंश में 1 जोड़ने, हर में 1 घटाने पर 1; हर में 1 जोड़ने पर 1/2। समीकरण: $\frac{x+1}{y-1}=1, \frac{x}{y+1}=\frac{1}{2}$. हल: भिन्न 3/5।
(ii) नूरी और सोनू: 5 वर्ष पूर्व नूरी 3 गुनी; 10 वर्ष पश्चात नूरी 2 गुनी। समीकरण: $x-5=3(y-5), x+10=2(y+10)$. हल: नूरी 50 वर्ष, सोनू 20 वर्ष।
(iii) दो अंकों की संख्या: अंकों का योग 9; संख्या का 9 गुना = पलटने पर बनी संख्या का 2 गुना। समीकरण: $x+y=9, 9(10x+y)=2(10y+x)$. हल: संख्या 18।
(iv) मीना बैंक से ₹2000 निकाले (₹50, ₹100 के नोट), कुल 25 नोट। समीकरण: $x+y=25, 50x+100y=2000$. हल: ₹50 के 10 नोट, ₹100 के 15 नोट।
(v) पुस्तकालय किराया: प्रथम 3 दिन नियत, फिर प्रतिदिन। सरिता 7 दिन के ₹27, सूसी 5 दिन के ₹21। समीकरण: $x+4y=27, x+2y=21$. हल: नियत ₹15, प्रतिदिन ₹3।
प्रश्नावली 3.5 के हल
(वज्र-गुणन विधि और हल की प्रकृति)
1. हल की प्रकृति बताएँ और अद्वितीय हल हो तो वज्र-गुणन से ज्ञात करें:
(i) $x – 3y – 3 = 0, 3x – 9y – 2 = 0$. $\frac{1}{3} = \frac{-3}{-9} \neq \frac{-3}{-2}$. कोई हल नहीं।
(ii) $2x + y = 5, 3x + 2y = 8$. $\frac{2}{3} \neq \frac{1}{2}$. अद्वितीय हल। वज्र-गुणन से: $x=2, y=1$.
(iii) $3x – 5y = 20, 6x – 10y = 40$. $\frac{3}{6} = \frac{-5}{-10} = \frac{-20}{-40}$. अपरिमित हल।
(iv) $x – 3y – 7 = 0, 3x – 3y – 15 = 0$. $\frac{1}{3} \neq \frac{-3}{-3}$. अद्वितीय हल। वज्र-गुणन से: $x=4, y=-1$.
2. a, b, k के मान ज्ञात करें:
(i) अपरिमित हल के लिए: $2x+3y=7, (a-b)x+(a+b)y=3a+b-2$. हल की शर्तों $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ का प्रयोग करने पर। हल: a=5, b=1।
(ii) कोई हल नहीं के लिए: $3x+y=1, (2k-1)x+(k-1)y=2k+1$. हल की शर्तों $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}$ का प्रयोग करने पर। हल: k=2।
3. प्रतिस्थापन और वज्र-गुणन दोनों से हल करें:
$8x + 5y = 9, 3x + 2y = 4$.
दोनों विधियों से हल: $x = -2, y = 5$। (उपयुक्तता व्यक्तिगत पसंद है)।
4. समस्याओं को किसी बीजगणितीय विधि से हल करें:
(i) छात्रावास व्यय: नियत + प्रतिदिन भोजन। A (20 दिन) ₹1000, B (26 दिन) ₹1180। समीकरण: $x+20y=1000, x+26y=1180$. हल: नियत ₹400, प्रतिदिन ₹30।
(ii) भिन्न: अंश से 1 घटाने पर 1/3; हर में 8 जोड़ने पर 1/4। समीकरण: $\frac{x-1}{y}=\frac{1}{3}, \frac{x}{y+8}=\frac{1}{4}$. हल: भिन्न 5/12।
(iii) यश का टेस्ट: सही पर +3, गलत पर -1, अंक 40; सही पर +4, गलत पर -2, अंक 50। समीकरण: $3x-y=40, 4x-2y=50$. हल: कुल प्रश्न (x+y) = 20 (15 सही, 5 गलत)।
(iv) राजमार्ग पर कारें A, B (दूरी 100 km): एक दिशा में 5 घंटे में मिलें; विपरीत दिशा में 1 घंटे में। समीकरण: $5x-5y=100, x+y=100$. हल: चालें 60 km/h, 40 km/h।
(v) आयत का क्षेत्रफल: (लंबाई-5, चौड़ाई+3) तो क्षेत्रफल-9; (लंबाई+3, चौड़ाई+2) तो क्षेत्रफल+67। समीकरण: $(x-5)(y+3)=xy-9, (x+3)(y+2)=xy+67$. हल: लंबाई 17 इकाई, चौड़ाई 9 इकाई।
प्रश्नावली 3.6 के हल
(रैखिक समीकरणों में बदलने योग्य समीकरण)
1. रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल कर हल कीजिए:
(i) $\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} = 2, \frac{1}{3x} + \frac{1}{2y} = \frac{13}{6}$. (माना $1/x=p, 1/y=q$). हल: $x=1/2, y=1/3$.
(ii) $\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{3}{\sqrt{y}} = 2, \frac{4}{\sqrt{x}} – \frac{9}{\sqrt{y}} = –1$. (माना $1/\sqrt{x}=p, 1/\sqrt{y}=q$). हल: $x=4, y=9$.
(iii) $4x + 3y = 14, 3x – 4y = 23$. (यह पहले से रैखिक है). हल: $x=5, y=-2$.
(iv) $\frac{5}{x – 1} + \frac{1}{y – 2} = 2, \frac{6}{x – 1} – \frac{3}{y – 2} = 1$. (माना $1/(x-1)=p, 1/(y-2)=q$). हल: $x=4, y=5$.
(v) $\frac{7x – 2y}{xy} = 5, \frac{8x + 7y}{xy} = 15$. (बदलने पर $\frac{7}{y}-\frac{2}{x}=5, \frac{8}{y}+\frac{7}{x}=15$). हल: $x=1, y=1$.
(vi) $6x + 3y = 6xy, 2x + 4y = 5xy$. ($xy$ से भाग देने पर $\frac{6}{y}+\frac{3}{x}=6, \frac{2}{y}+\frac{4}{x}=5$). हल: $x=1, y=2$.
(vii) $\frac{10}{x + y} + \frac{2}{x – y} = 4, \frac{15}{x + y} – \frac{5}{x – y} = –2$. (माना $1/(x+y)=p, 1/(x-y)=q$). हल: $x=3, y=2$.
(viii) $\frac{1}{3x + y} + \frac{1}{3x – y} = \frac{3}{4}, \frac{1}{2(3x + y)} – \frac{1}{2(3x – y)} = –\frac{1}{8}$. (माना $1/(3x+y)=p, 1/(3x-y)=q$). हल: $x=1, y=1$.
2. समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म में बदल कर हल कीजिए:
(i) रितु की तैराकी: अनुकूल 2 घंटे में 20 km, प्रतिकूल 2 घंटे में 4 km। समीकरण: $x+y=20/2=10, x-y=4/2=2$. हल: स्थिर जल में चाल 6 km/h, धारा की चाल 4 km/h।
(ii) कसीदे का काम: 2 महिला+5 पुरुष 4 दिन में; 3 महिला+6 पुरुष 3 दिन में। समीकरण: $\frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}, \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}$. हल: अकेली महिला 18 दिन, अकेला पुरुष 36 दिन।
(iii) रूही की यात्रा (300 km): 60 km रेल+240 km बस=4 घंटे; 100 km रेल+200 km बस=4 घंटे 10 मिनट (25/6 घंटे)। समीकरण: $\frac{60}{x}+\frac{240}{y}=4, \frac{100}{x}+\frac{200}{y}=\frac{25}{6}$. हल: रेल की चाल 60 km/h, बस की चाल 80 km/h।
प्रश्नावली 3.7 (ऐच्छिक) के हल
(यह प्रश्नावली परीक्षा की दृष्टि से नहीं है)
1. अनी और बीजू की आयु: दो संभावित उत्तर हैं:
- अनी 19 वर्ष, बीजू 16 वर्ष
- अनी 21 वर्ष, बीजू 24 वर्ष
2. मित्रों की संपत्ति: समीकरण: $x+100=2(y-100), y+10=6(x-10)$. हल: पहले मित्र की संपत्ति ₹40, दूसरे की ₹170।
3. रेलगाड़ी द्वारा तय दूरी: समीकरण: $(x+10)(t-2)=xt, (x-10)(t+3)=xt$. हल: दूरी = 600 km।
4. कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या: समीकरण: $(x+3)(y-1)=xy, (x-3)(y+2)=xy$. हल: विद्यार्थी = 36।
5. त्रिभुज के कोण: ∠C = 3∠B, 3∠B = 2(∠A+∠B), A+B+C=180°. हल: ∠A = 20°, ∠B = 40°, ∠C = 120°।
6. ग्राफ और त्रिभुज का क्षेत्रफल: रेखाएं $5x–y=5, 3x–y=3$. शीर्ष: $(0, -5), (0, -3), (1, 0)$. क्षेत्रफल = 1 वर्ग इकाई।
7. रैखिक समीकरण युग्म हल करें:
- (i) $px+qy=p-q, qx-py=p+q$. हल: $x=1, y=-1$.
- (ii) $ax+by=c, bx+ay=1+c$. हल: $x = \frac{c(a - b) - b}{a^2 - b^2}, y = \frac{a + c(a - b)}{a^2 - b^2}$ (यदि $a^2 \neq b^2$)।
- (iii) $x/a – y/b = 0, ax + by = a² + b²$. हल: $x=a, y=b$.
- (iv) $(a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b², (a + b) (x + y) = a² + b²$. हल: $x = a + b, y = \frac{-2ab}{a + b}$ (यदि $b \neq 0, a+b \neq 0$)।
- (v) $152x – 378y = – 74, –378x + 152y = –604$. हल: $x=2, y=1$.
8. चक्रीय चतुर्भुज के कोण: सम्मुख कोणों का योग 180° का प्रयोग करें। ∠A = $4y+20$, ∠B = $3y-5$, ∠C = $-4x$, ∠D = $-7x+5$. हल: ∠A = 120°, ∠B = 70°, ∠C = 60°, ∠D = 110°।
आशा है कि ये नोट्स आपको अध्याय 3 को समझने और अभ्यास करने में सहायक होंगे। गणित में सफलता के लिए नियमित अभ्यास अत्यंत महत्वपूर्ण है!
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