कक्षा 10 गणित अध्याय 4: द्विघात समीकरण - संपूर्ण नोट्स, हल, और उदाहरण

कक्षा 10 गणित: अध्याय 4 - द्विघात समीकरण (संपूर्ण नोट्स)

नमस्ते! यह ब्लॉग पोस्ट कक्षा 10 गणित के अध्याय 4, द्विघात समीकरण, पर एक संपूर्ण स्व-अध्ययन गाइड है। इसमें आपको अध्याय की सभी महत्वपूर्ण अवधारणाएँ, हल किए गए उदाहरण, और प्रश्नावली के सभी प्रश्नों के विस्तृत हल मिलेंगे। इस पोस्ट की मदद से आप द्विघात समीकरणों को आसानी से समझ सकते हैं और स्वयं अभ्यास कर सकते हैं।

4.1 भूमिका (Introduction)

आपने पिछले अध्याय में विभिन्न प्रकार के बहुपदों का अध्ययन किया है। $ax^2 + bx + c$, जहाँ $a \neq 0$, एक प्रकार का द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial) था। जब हम इस बहुपद को शून्य के बराबर कर देते हैं, तो हमें एक द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) प्राप्त होती है। यानी, $ax^2 + bx + c = 0$ एक द्विघात समीकरण है। वास्तविक जीवन की कई समस्याओं को हल करने में हम द्विघात समीकरणों का उपयोग करते हैं।

उदाहरण: प्रार्थना कक्ष की समस्या

कल्पना कीजिए कि एक चैरिटेबल ट्रस्ट 300 वर्ग मीटर क्षेत्रफल का प्रार्थना कक्ष बनाना चाहता है। इस कक्ष की लंबाई उसकी चौड़ाई के दोगुने से एक मीटर अधिक है। हमें कक्ष की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।

माना कक्ष की चौड़ाई $x$ मीटर है।
तब, इसकी लंबाई $(2x + 1)$ मीटर होनी चाहिए।
कक्ष का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = $(2x + 1) \times x$ वर्ग मीटर = $(2x^2 + x)$ वर्ग मीटर।
दिया गया है कि क्षेत्रफल 300 वर्ग मीटर है।
इसलिए, $2x^2 + x = 300$ ।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें मिलता है: $2x^2 + x – 300 = 0$।
यह एक द्विघात समीकरण है। कक्ष की चौड़ाई इस समीकरण को संतुष्ट करनी चाहिए।

द्विघात समीकरणों का इतिहास (History of Quadratic Equations)

अधिकतर लोग मानते हैं कि बेबीलोनवासियों ने सबसे पहले द्विघात समीकरणों को हल किया था। वे जानते थे कि दो संख्याओं को कैसे ज्ञात किया जाए जिनका योग और गुणनफल दिया हो। यह समस्या $x^2 – px + q = 0$ जैसे समीकरण को हल करने के बराबर है।
यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड ने लंबाइयों को ज्ञात करने की एक ज्यामितीय विधि विकसित की, जिसे हम वर्तमान शब्दावली में द्विघात समीकरण के हल कहते हैं।
व्यापक रूप से, द्विघात समीकरणों को हल करने का श्रेय अक्सर प्राचीन भारतीय गणितज्ञों को जाता है।
ब्रह्मगुप्त (लगभग 598-665 ईस्वी) ने $ax^2 + bx = c$ के रूप की द्विघात समीकरण को हल करने का एक स्पष्ट सूत्र दिया था।
बाद में, श्रीधराचार्य (लगभग 1025 ईस्वी) ने एक सूत्र प्रतिपादित किया, जिसे अब द्विघाती सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह सूत्र पूर्ण वर्ग विधि से द्विघात समीकरण को हल करने पर प्राप्त हुआ (जैसा कि भास्कर II ने लिखा)।
एक अरब गणितज्ञ अल-ख्वारिज्मी (लगभग 800 ईस्वी) ने भी विभिन्न प्रकार की द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया था।
अब्राहम बार हिया हा-नासी ने 1145 ईस्वी में अपनी पुस्तक 'लिबर एम्बेडोरम' में विभिन्न द्विघात समीकरणों के पूर्ण हल दिए।

इस अध्याय में, आप द्विघात समीकरणों और उनके हल ज्ञात करने की विभिन्न विधियों का अध्ययन करेंगे। दैनिक जीवन की कई स्थितियों में भी आप द्विघात समीकरणों के कुछ उपयोग देखेंगे।

4.2 द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)

चर $x$ में एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के प्रकार की होती है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा $a \neq 0$ है।

उदाहरण:

$2x^2 + x – 300 = 0$ (यहाँ $a=2, b=1, c=-300$)
$2x^2 – 3x + 1 = 0$ (यहाँ $a=2, b=-3, c=1$)
$4x – 3x^2 + 2 = 0$ (इसे मानक रूप में लिखें: $-3x^2 + 4x + 2 = 0$; यहाँ $a=-3, b=4, c=2$)
$1 – x^2 + 300 = 0$ (इसे मानक रूप में लिखें: $-x^2 + 0x + 301 = 0$; यहाँ $a=-1, b=0, c=301$)

वास्तव में, कोई भी समीकरण $p(x) = 0$, जहाँ $p(x)$, घात 2 का एक बहुपद है, एक द्विघात समीकरण कहलाती है। परन्तु जब हम $p(x)$ के पदों को घातों के घटते क्रम में लिखते हैं, तो हमें समीकरण का मानक रूप (Standard Form) प्राप्त होता है। अर्थात् $ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0$, द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है।

द्विघात समीकरण हमारे आसपास के परिवेश की अनेक स्थितियों एवं गणित के विभिन्न क्षेत्रों में प्रयुक्त होते हैं।

उदाहरण 1 (Example 1)

निम्नलिखित स्थितियों को गणितीय रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) जॉन और जीवंती कंचों की समस्या

जॉन और जीवंती दोनों के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच-पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने-कितने कंचे थे।

हल:

माना कि जॉन के पास कंचों की संख्या $x$ थी।
तब जीवंती के पास कंचों की संख्या = $45 – x$ (क्योंकि कुल 45 थे)।
जॉन के पास, 5 कंचे खो देने के बाद, बचे कंचों की संख्या = $x – 5$।
जीवंती के पास, 5 कंचे खोने के बाद, बचे कंचों की संख्या = $(45 – x) – 5 = 40 – x$।
अब, उनके पास बचे कंचों की संख्या का गुणनफल = $(x – 5)(40 – x)$।
$(x – 5)(40 – x) = 40x – x^2 – 200 + 5x = – x^2 + 45x – 200$।
दिया गया है कि गुणनफल 124 है।
अतः, $– x^2 + 45x – 200 = 124$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $– x^2 + 45x – 200 – 124 = 0 \implies – x^2 + 45x – 324 = 0$।
इस समीकरण को -1 से गुणा करने पर: $x^2 – 45x + 324 = 0$।
यह एक द्विघात समीकरण है। जॉन के पास जितने कंचे थे, वह इस समीकरण $x^2 – 45x + 324 = 0$ को संतुष्ट करते हैं।

(ii) कुटीर उद्योग खिलौना समस्या

एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ खिलौने निर्मित करता है। प्रत्येक खिलौने का मूल्य (` में) 55 में से एक दिन में निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या को घटाने से प्राप्त संख्या के बराबर है। किसी एक दिन, कुल निर्माण लागत ` 750 थी। हम उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या ज्ञात करना चाहेंगे।

हल:

माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या $x$ है।
इसलिए, उस दिन प्रत्येक खिलौने की निर्माण लागत (` में) = $55 – x$।
कुल निर्माण लागत = (निर्मित खिलौनों की संख्या) × (प्रत्येक खिलौने की लागत)।
अतः, कुल निर्माण लागत = $x (55 – x)$।
दिया गया है कि कुल निर्माण लागत ` 750 थी।
इसलिए, $x (55 – x) = 750$।
$55x – x^2 = 750$।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $– x^2 + 55x – 750 = 0$।
इस समीकरण को -1 से गुणा करने पर: $x^2 – 55x + 750 = 0$।
यह एक द्विघात समीकरण है। उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या इस समीकरण $x^2 – 55x + 750 = 0$ को संतुष्ट करती है।

उदाहरण 2 (Example 2)

जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित द्विघात समीकरण हैं या नहीं:

(i) $(x – 2)^2 + 1 = 2x – 3$

हल:

बायाँ पक्ष (LHS) = $(x – 2)^2 + 1 = (x^2 – 4x + 4) + 1 = x^2 – 4x + 5$।
समीकरण है: $x^2 – 4x + 5 = 2x – 3$।
पदों को एक तरफ ले जाने पर: $x^2 – 4x + 5 – 2x + 3 = 0 \implies \mathbf{x^2 – 6x + 8 = 0}$।
यह $ax^2 + bx + c = 0$ के प्रकार का है (यहाँ $a=1, b=-6, c=8$)।
अतः, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(ii) $x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x – 2)$

हल:

बायाँ पक्ष (LHS) = $x(x + 1) + 8 = x^2 + x + 8$।
दायाँ पक्ष (RHS) = $(x + 2)(x – 2) = x^2 – 2^2 = x^2 – 4$।
समीकरण है: $x^2 + x + 8 = x^2 – 4$।
दोनों तरफ से $x^2$ रद्द करने पर: $x + 8 = – 4$।
$x + 12 = 0$।
यह $ax^2 + bx + c = 0$ के प्रकार का समीकरण नहीं है क्योंकि इसमें $x^2$ का पद नहीं है (या $a = 0$ है)।
इसलिए, दिया हुआ समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।
टिप्पणी: देखने में यह द्विघात समीकरण जैसा लग सकता था, लेकिन सरलीकरण के बाद यह नहीं रहा।

(iii) $x (2x + 3) = x^2 + 1$

हल:

बायाँ पक्ष (LHS) = $x (2x + 3) = 2x^2 + 3x$।
समीकरण है: $2x^2 + 3x = x^2 + 1$।
पदों को एक तरफ ले जाने पर: $2x^2 + 3x – x^2 – 1 = 0 \implies \mathbf{x^2 + 3x – 1 = 0}$।
यह $ax^2 + bx + c = 0$ के प्रकार का समीकरण है (यहाँ $a=1, b=3, c=-1$)।
अतः, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(iv) $(x + 2)^3 = x^3 – 4$

हल:

बायाँ पक्ष (LHS) = $(x + 2)^3 = x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) + 2^3$ (सर्वसमिका $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ का उपयोग करके)।
$(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$।
समीकरण है: $x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = x^3 – 4$।
दोनों तरफ से $x^3$ रद्द करने पर: $6x^2 + 12x + 8 = – 4$।
पदों को एक तरफ ले जाने पर: $6x^2 + 12x + 8 + 4 = 0 \implies \mathbf{6x^2 + 12x + 12 = 0}$।
इस समीकरण को 6 से भाग देने पर: $\mathbf{x^2 + 2x + 2 = 0}$।
यह $ax^2 + bx + c = 0$ के प्रकार का समीकरण है (यहाँ $a=1, b=2, c=2$)।
अतः, दिया गया समीकरण एक द्विघात समीकरण है।
टिप्पणी: देखने में यह त्रिघात (घात 3) समीकरण जैसा लग सकता था, लेकिन सरलीकरण के बाद यह एक द्विघात समीकरण निकला।

यह तय करने के लिए कि कोई समीकरण द्विघात है या नहीं, हमें उसका सरलीकरण करना आवश्यक है।

4.3 गुणनखंडों द्वारा द्विघात समीकरण का हल (Solution of a Quadratic Equation by Factorisation)

द्विघात समीकरण $2x^2 – 3x + 1 = 0$ पर विचार कीजिए। यदि हम इस समीकरण के बाएँ पक्ष में $x$ को 1 से प्रतिस्थापित करें, तो हमें प्राप्त होता है: $(2 \times 1^2) – (3 \times 1) + 1 = 2 – 3 + 1 = 0$। यह समीकरण के दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर है। हम कहते हैं कि 1 द्विघात समीकरण $2x^2 – 3x + 1 = 0$ का एक मूल (Root) है। इसका यह भी अर्थ है कि 1 द्विघात बहुपद $2x^2 – 3x + 1$ का एक शून्यक (Zero) है।

व्यापक रूप में, एक वास्तविक संख्या $\alpha$ (अल्फा) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0$ का एक मूल कहलाती है, यदि $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ हो। हम यह भी कहते हैं कि $x = \alpha$ द्विघात समीकरण का एक हल है अथवा $\alpha$ द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता है।

ध्यान दीजिए कि द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यक और द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल एक ही हैं।

आपने अध्याय 2 में देखा है कि एक द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक हो सकते हैं। अतः, किसी द्विघात समीकरण के अधिक से अधिक दो मूल हो सकते हैं।

आपने कक्षा IX में सीखा है कि कैसे मध्य पद को विभक्त करके एक द्विघात बहुपद के गुणनखंड किए जा सकते हैं। हम इस ज्ञान का प्रयोग द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने में करेंगे।

उदाहरण 3 (Example 3)

गुणनखंडन द्वारा समीकरण $2x^2 – 5x + 3 = 0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

हल:

सबसे पहले, हम मध्य पद $– 5x$ को $–2x – 3x$ के रूप में विभक्त करते हैं। (ऐसा इसलिए करते हैं क्योंकि $(–2x) \times (–3x) = 6x^2$ और $(2x^2) \times 3 = 6x^2$)।
$2x^2 – 5x + 3 = 2x^2 – 2x – 3x + 3$।
पदों को समूहित करके गुणनखंडन करें: $(2x^2 – 2x) + (– 3x + 3) = 2x(x – 1) – 3(x – 1)$।
यहाँ $(x – 1)$ उभयनिष्ठ है: $(2x – 3)(x – 1)$।
इसलिए, समीकरण $2x^2 – 5x + 3 = 0$ को $(2x – 3)(x – 1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के वे मान जिनके लिए $2x^2 – 5x + 3 = 0$ है, वही हैं जो $(2x – 3)(x – 1) = 0$ से प्राप्त होते हैं। इसका मतलब है कि या तो $(2x – 3) = 0$ या $(x – 1) = 0$ होना चाहिए।
यदि $2x – 3 = 0$, तो $2x = 3 \implies \mathbf{x = 3/2}$।
यदि $x – 1 = 0$, तो $\mathbf{x = 1}$।
अतः, दिए गए समीकरण के हल $\mathbf{x = 3/2}$ और $\mathbf{x = 1}$ हैं।
दूसरे शब्दों में, 1 और 3/2 समीकरण $2x^2 – 5x + 3 = 0$ के मूल हैं।
आप जाँच कर सकते हैं कि ये मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

उदाहरण 4 (Example 4)

द्विघात समीकरण $6x^2 – x – 2 = 0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

हल:

समीकरण है: $6x^2 – x – 2 = 0$।
मध्य पद $–x$ को विभक्त करें। हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $6 \times (–2) = –12$ हो और योग $–1$ हो। ये संख्याएँ $3$ और $–4$ हैं।
$6x^2 – x – 2 = 6x^2 + 3x – 4x – 2$।
पदों को समूहित करें: $(6x^2 + 3x) + (– 4x – 2) = 3x(2x + 1) – 2(2x + 1)$।
यहाँ $(2x + 1)$ उभयनिष्ठ है: $(3x – 2)(2x + 1)$।
समीकरण $6x^2 – x – 2 = 0$ के मूल $x$ के वे मान हैं जिनके लिए $(3x – 2)(2x + 1) = 0$ हो।
इसलिए, $3x – 2 = 0$ या $2x + 1 = 0$।
यदि $3x – 2 = 0$, तो $3x = 2 \implies \mathbf{x = 2/3}$।
यदि $2x + 1 = 0$, तो $2x = –1 \implies \mathbf{x = –1/2}$।
अतः, $6x^2 – x – 2 = 0$ के मूल 2/3 और –1/2 हैं।
आप मूलों के सत्यापन के लिए जाँच कर सकते हैं कि 2/3 और –1/2 समीकरण $6x^2 – x – 2 = 0$ को संतुष्ट करते हैं या नहीं।

उदाहरण 5 (Example 5)

द्विघात समीकरण $2x^2 – 2\sqrt{6}x + 3 = 0$ के मूल ज्ञात कीजिए। (यह $3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$ होना चाहिए था स्रोत के अनुसार, लेकिन हम दिए गए समीकरण को हल करते हैं)

हल:

(नोट: यदि समीकरण $3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 0$ है, जैसा कि स्रोत में हो सकता है, तो चरण अलग होंगे। हम यहां दिए गए $2x^2 – 2\sqrt{6}x + 3 = 0$ को हल कर रहे हैं।)

समीकरण है: $2x^2 – 2\sqrt{6}x + 3 = 0$।
मध्य पद $–2\sqrt{6}x$ को विभक्त करें। हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $2 \times 3 = 6$ हो और योग $–2\sqrt{6}$ हो। ये संख्याएँ $–\sqrt{6}$ और $–\sqrt{6}$ हैं। ($(-\sqrt{6})(-\sqrt{6}) = 6$ और $-\sqrt{6} - \sqrt{6} = -2\sqrt{6}$)
$2x^2 – 2\sqrt{6}x + 3 = 2x^2 – \sqrt{6}x – \sqrt{6}x + 3$।
पदों को समूहित करें: $(2x^2 – \sqrt{6}x) + (– \sqrt{6}x + 3)$ $= \sqrt{2}x(\sqrt{2}x - \sqrt{3}) - \sqrt{3}(\sqrt{2}x - \sqrt{3})$।
यहाँ $(\sqrt{2}x – \sqrt{3})$ उभयनिष्ठ है: $(\sqrt{2}x – \sqrt{3})(\sqrt{2}x – \sqrt{3})$।
अतः, समीकरण के मूल $x$ के वे मान हैं जिनके लिए $(\sqrt{2}x – \sqrt{3})(\sqrt{2}x – \sqrt{3}) = 0$ हो।
इसका मतलब है कि $\sqrt{2}x – \sqrt{3} = 0$।
$\sqrt{2}x = \sqrt{3} \implies \mathbf{x = \sqrt{3}/\sqrt{2}}$। (या $\sqrt{6}/2$)
इस मूल की पुनरावृत्ति होती है, क्योंकि गुणनखंड $(\sqrt{2}x – \sqrt{3})$ दो बार आता है।
इसलिए, $2x^2 – 2\sqrt{6}x + 3 = 0$ के मूल $\sqrt{3}/\sqrt{2}$ और $\sqrt{3}/\sqrt{2}$ हैं।

उदाहरण 6 (Example 6)

अनुच्छेद 4.1 में दिए गए प्रार्थना कक्ष की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

अनुच्छेद 4.1 में, हमने पाया था कि यदि कक्ष की चौड़ाई $x$ मीटर हो, तो $x$ समीकरण $2x^2 + x – 300 = 0$ को संतुष्ट करता है।
गुणनखंडन विधि का उपयोग करके, हम इस समीकरण को हल करते हैं:
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $2 \times (–300) = –600$ हो और योग $1$ हो। ये संख्याएँ $25$ और $–24$ हैं।
$2x^2 + x – 300 = 2x^2 + 25x – 24x – 300 = 0$।
पदों को समूहित करें: $(2x^2 + 25x) + (– 24x – 300) = x(2x + 25) – 12(2x + 25)$।
यहाँ $(2x + 25)$ उभयनिष्ठ है: $(x – 12)(2x + 25) = 0$।
इसलिए, $x – 12 = 0$ या $2x + 25 = 0$।
यदि $x – 12 = 0$, तो $\mathbf{x = 12}$।
यदि $2x + 25 = 0$, तो $2x = – 25 \implies \mathbf{x = –12.5}$।
क्योंकि $x$ कक्ष की चौड़ाई है, यह ऋणात्मक नहीं हो सकती।
इसलिए, हम ऋणात्मक मान $x = –12.5$ को छोड़ देते हैं।
अतः, कक्ष की चौड़ाई 12 मीटर है।
इसकी लंबाई = $2x + 1 = 2(12) + 1 = 24 + 1 = \mathbf{25}$ मीटर होगी।

4.4 द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल (Solution of a Quadratic Equation by Completing the Square)

पिछले अनुभाग में, आपने गुणनखंडन विधि से मूल ज्ञात करना सीखा। इस अनुभाग में, हम एक और विधि पढ़ेंगे - पूर्ण वर्ग विधि।

उदाहरण: सुनीता की आयु

सुनीता की दो वर्ष पूर्व आयु (वर्षों में) तथा अब से चार वर्ष उपरांत की आयु का गुणनफल उसकी वर्तमान आयु के दोगुने से एक अधिक है। उसकी वर्तमान आयु क्या है?

हल:

माना उसकी वर्तमान आयु (वर्षों में) $x$ है।
तब, उसकी 2 वर्ष पूर्व आयु = $x – 2$।
अब से चार वर्ष उपरांत की आयु = $x + 4$।
इन आयुओं का गुणनफल = $(x – 2)(x + 4)$।
दिया गया है कि यह गुणनफल उसकी वर्तमान आयु के दोगुने से एक अधिक है।
इसलिए, $(x – 2)(x + 4) = 2x + 1$।
इस समीकरण को हल करें: $x^2 + 4x – 2x – 8 = 2x + 1$।
$x^2 + 2x – 8 = 2x + 1$।
$x^2 + 2x – 2x – 8 – 1 = 0$।
$x^2 – 9 = 0$।
अतः सुनीता की वर्तमान आयु द्विघात समीकरण $x^2 – 9 = 0$ को संतुष्ट करती है।
हम इसे $x^2 = 9$ के रूप में लिख सकते हैं। वर्गमूल लेने पर, हमें $x = \sqrt{9}$ या $x = –\sqrt{9}$ प्राप्त होता है।
$x = 3$ या $x = –3$।
क्योंकि आयु एक धनात्मक संख्या होती है, इसलिए $\mathbf{x = 3}$ ही होगा।
अतः सुनीता की वर्तमान आयु 3 वर्ष है।

उदाहरण: $(x + 2)^2 – 9 = 0$ का हल

द्विघात समीकरण $(x + 2)^2 – 9 = 0$ पर विचार कीजिए।

हल:

हल करने के लिए, इसे हम $(x + 2)^2 = 9$ के रूप में लिख सकते हैं।
वर्गमूल लेने पर, हमें $x + 2 = \sqrt{9}$ या $x + 2 = –\sqrt{9}$ प्राप्त होता है।
$x + 2 = 3$ या $x + 2 = –3$।
यदि $x + 2 = 3$, तो $x = 3 – 2 = \mathbf{1}$।
यदि $x + 2 = –3$, तो $x = –3 – 2 = \mathbf{–5}$।
अतः $(x + 2)^2 – 9 = 0$ के मूल 1 और – 5 हैं।

इन उदाहरणों में, $x$ को समाहित करने वाला पद पूर्णतः वर्ग के अंदर है और हमने वर्गमूल लेकर आसानी से मूल ज्ञात कर लिए थे। परन्तु यदि हमें समीकरण $x^2 + 4x – 5 = 0$ को हल करने को कहा जाता, तो क्या होता? हम संभवतः इसे करने के लिए गुणनखंड विधि का प्रयोग करते, जब तक कि हम यह न जान लें कि $x^2 + 4x – 5 = (x + 2)^2 – 9$ है।

वास्तव में, हम किसी भी द्विघात समीकरण को $(x + a)^2 – b^2 = 0$ की तरह बना सकते हैं और फिर इसके मूल आसानी से प्राप्त कर सकते हैं।

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि (Method of Completing the Square):

समीकरण $x^2 + 4x – 5 = 0$ को पूर्ण वर्ग बनाकर हल करना।

हमें $x^2 + 4x$ को पूर्ण वर्ग बनाना है।
$x^2 + 4x = x^2 + 2(x)(2)$। पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हमें $x$ के गुणांक के आधे (यानि $4/2 = 2$) का वर्ग ($(2)^2=4$) जोड़ना और घटाना होगा।
$x^2 + 4x = x^2 + 2(x)(2) + 2^2 – 2^2 = (x + 2)^2 – 4$।
इसलिए, समीकरण $x^2 + 4x – 5 = 0$ को लिखा जा सकता है: $(x^2 + 4x) – 5 = ((x + 2)^2 – 4) – 5 = (x + 2)^2 – 9$।
तो, समीकरण $(x + 2)^2 – 9 = 0$ बन जाती है।
इसे हल करने पर: $(x + 2)^2 = 9$।
$x + 2 = \pm\sqrt{9} = \pm3$।
$x + 2 = 3$ या $x + 2 = –3$।
$\mathbf{x = 1}$ या $\mathbf{x = –5}$।

जब $x^2$ का गुणांक 1 न हो:

समीकरण $3x^2 – 5x + 2 = 0$ पर विचार कीजिए। यहाँ $x^2$ का गुणांक 3 है। हम समीकरण को 3 से भाग दे सकते हैं ताकि $x^2$ का गुणांक 1 हो जाए।

हल (भाग देकर):

समीकरण $3x^2 – 5x + 2 = 0$ को 3 से भाग देने पर: $x^2 – \frac{5}{3}x + \frac{2}{3} = 0$।
$x$ के गुणांक $(-\frac{5}{3})$ का आधा $(-\frac{5}{6})$ है। इसका वर्ग $(-\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ है।
इसे जोड़ें और घटाएं: $x^2 – 2(x)(\frac{5}{6}) + (\frac{5}{6})^2 – (\frac{5}{6})^2 + \frac{2}{3} = 0$।
यह है: $(x – \frac{5}{6})^2 – \frac{25}{36} + \frac{2}{3} = 0$।
$(x – \frac{5}{6})^2 – \frac{25}{36} + \frac{2 \times 12}{3 \times 12} = 0$।
$(x – \frac{5}{6})^2 – \frac{25}{36} + \frac{24}{36} = 0$।
$(x – \frac{5}{6})^2 – \frac{1}{36} = 0$।
$(x – \frac{5}{6})^2 = \frac{1}{36}$।
वर्गमूल लेने पर: $x – \frac{5}{6} = \pm\sqrt{\frac{1}{36}} = \pm\frac{1}{6}$।
$x = \frac{5}{6} \pm \frac{1}{6}$।
केस 1: $x = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = \mathbf{1}$।
केस 2: $x = \frac{5}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \mathbf{2/3}$।
अतः, दिए गए समीकरण के मूल 1 और 2/3 हैं।

(स्रोत में गुणा करने की विधि भी दी गई है, जिससे भी यही उत्तर प्राप्त होता है।)

उदाहरण 7 (Example 7)

उदाहरण 3 में दिया गया समीकरण $2x^2 – 5x + 3 = 0$ पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल कीजिए।

हल:

समीकरण $2x^2 – 5x + 3 = 0$ को 2 से भाग देने पर: $x^2 – \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} = 0$।
$x$ के गुणांक $(-\frac{5}{2})$ का आधा $(-\frac{5}{4})$ है। इसका वर्ग $(-\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$ है।
$x^2 – 2(x)(\frac{5}{4}) + (\frac{5}{4})^2 – (\frac{5}{4})^2 + \frac{3}{2} = 0$।
$(x – \frac{5}{4})^2 – \frac{25}{16} + \frac{3}{2} = 0$।
$(x – \frac{5}{4})^2 – \frac{25}{16} + \frac{3 \times 8}{2 \times 8} = 0$।
$(x – \frac{5}{4})^2 – \frac{25}{16} + \frac{24}{16} = 0$।
$(x – \frac{5}{4})^2 – \frac{1}{16} = 0$।
$(x – \frac{5}{4})^2 = \frac{1}{16}$।
$x – \frac{5}{4} = \pm\sqrt{\frac{1}{16}} = \pm\frac{1}{4}$।
$x = \frac{5}{4} \pm \frac{1}{4}$।
केस 1: $x = \frac{5}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \mathbf{3/2}$।
केस 2: $x = \frac{5}{4} – \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = \mathbf{1}$।
अतः, समीकरण के हल x = 3/2 और 1 हैं।

उदाहरण 8 (Example 8)

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से समीकरण $5x^2 – 6x – 2 = 0$ के मूल हल कीजिए।

हल:

समीकरण $5x^2 – 6x – 2 = 0$ को 5 से भाग देने पर: $x^2 – \frac{6}{5}x – \frac{2}{5} = 0$।
$x$ के गुणांक $(-\frac{6}{5})$ का आधा $(-\frac{3}{5})$ है। इसका वर्ग $(-\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$ है।
$x^2 – 2(x)(\frac{3}{5}) + (\frac{3}{5})^2 – (\frac{3}{5})^2 – \frac{2}{5} = 0$।
$(x – \frac{3}{5})^2 – \frac{9}{25} – \frac{2}{5} = 0$।
$(x – \frac{3}{5})^2 – \frac{9}{25} – \frac{2 \times 5}{5 \times 5} = 0$।
$(x – \frac{3}{5})^2 – \frac{9}{25} – \frac{10}{25} = 0$।
$(x – \frac{3}{5})^2 – \frac{19}{25} = 0$।
$(x – \frac{3}{5})^2 = \frac{19}{25}$।
वर्गमूल लेने पर: $x – \frac{3}{5} = \pm\sqrt{\frac{19}{25}} = \pm\frac{\sqrt{19}}{5}$।
$x = \frac{3}{5} \pm \frac{\sqrt{19}}{5}$।
$x = \mathbf{\frac{3 \pm \sqrt{19}}{5}}$।
इसलिए, मूल $\frac{3 + \sqrt{19}}{5}$ और $\frac{3 – \sqrt{19}}{5}$ हैं।

उदाहरण 9 (Example 9)

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से $4x^2 + 3x + 5 = 0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

हल:

समीकरण $4x^2 + 3x + 5 = 0$ को 4 से भाग देने पर: $x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} = 0$।
$x$ के गुणांक $(\frac{3}{4})$ का आधा $(\frac{3}{8})$ है। इसका वर्ग $(\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}$ है।
$x^2 + 2(x)(\frac{3}{8}) + (\frac{3}{8})^2 - (\frac{3}{8})^2 + \frac{5}{4} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^2 - \frac{9}{64} + \frac{5}{4} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^2 - \frac{9}{64} + \frac{5 \times 16}{4 \times 16} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^2 - \frac{9}{64} + \frac{80}{64} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^2 + \frac{71}{64} = 0$।
$(x + \frac{3}{8})^2 = – \frac{71}{64}$।
परंतु हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है। यहाँ $(x + \frac{3}{8})^2$ एक वास्तविक संख्या का वर्ग है और $-\frac{71}{64}$ एक ऋणात्मक संख्या है।
इसलिए, $x$ का कोई वास्तविक मान दी गई समीकरण को संतुष्ट नहीं कर सकता।
अतः, दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

द्विघाती सूत्र (Quadratic Formula)

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) पर विचार कीजिए। इस समीकरण को पूर्ण वर्ग विधि से हल करने पर, हम एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

समीकरण को पूर्ण वर्ग बनाने पर हमें मिलता है:

$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 – 4ac}{4a^2}$

यदि $b^2 – 4ac \ge 0$ हो, तो हम दाएँ पक्ष का वर्गमूल ले सकते हैं:

$x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

अतः, $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

यह सूत्र द्विघाती सूत्र (Quadratic Formula) कहलाता है।

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल इस सूत्र द्वारा दिए जाते हैं, यदि $b^2 – 4ac \ge 0$ हो।

उस स्थिति में जब $b^2 – 4ac < 0$ है, समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते हैं। राशि $b^2-4ac$ को विविक्तकर (Discriminant) कहते हैं।

उदाहरण 10 (Example 10)

प्रश्नावली 4.1 के प्रश्न संख्या 2(i) को द्विघाती सूत्र से हल कीजिए। (यह आयताकार भूखंड वाली समस्या है जिसकी समीकरण $2x^2 + x – 528 = 0$ थी)।

हल:

समीकरण है: $2x^2 + x – 528 = 0$।
यह $ax^2 + bx + c = 0$ के प्रकार का है, जहाँ $\mathbf{a = 2, b = 1, c = –528}$ है।
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$।
पहले विविक्तकर (discriminant) $b^2 – 4ac$ ज्ञात करें:
$b^2 – 4ac = (1)^2 – 4(2)(–528) = 1 – 8(–528) = 1 + 4224 = 4225$।
चूंकि $4225 > 0$ है, इसलिए वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{2 \times 2}$।
$\sqrt{4225} = 65$।
$x = \frac{-1 \pm 65}{4}$।
केस 1: $x = \frac{-1 + 65}{4} = \frac{64}{4} = \mathbf{16}$।
केस 2: $x = \frac{-1 – 65}{4} = \frac{-66}{4} = \mathbf{–33/2}$।
चूंकि $x$ एक विमा (चौड़ाई) होने के कारण ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
इसलिए, भूखंड की चौड़ाई 16 मीटर है।
और लंबाई = $2x + 1 = 2(16) + 1 = 32 + 1 = \mathbf{33}$ मीटर है।
(सत्यापन: क्षेत्रफल = $16 \times 33 = 528$ m², लंबाई $33 = 2 \times 16 + 1$, सही है)।

उदाहरण 11 (Example 11)

दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 290 हो।

हल:

माना दोनों क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांकों में छोटा पूर्णांक $x$ है।
तब, दूसरा पूर्णांक $x + 2$ होगा (क्योंकि विषम पूर्णांक 2 के अंतर पर होते हैं)।
प्रश्न के अनुसार, उनके वर्गों का योग 290 है।
$x^2 + (x + 2)^2 = 290$।
समीकरण का विस्तार करें: $x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 290$।
$2x^2 + 4x + 4 = 290$।
$2x^2 + 4x + 4 – 290 = 0$।
$2x^2 + 4x – 286 = 0$।
इस समीकरण को 2 से भाग देने पर: $x^2 + 2x – 143 = 0$।
यह $x$ में एक द्विघात समीकरण है। यहाँ $a = 1, b = 2, c = –143$ है।
द्विघाती सूत्र का प्रयोग करने पर:
$b^2 – 4ac = (2)^2 – 4(1)(–143) = 4 – (–572) = 4 + 572 = 576$।
चूंकि $576 > 0$ है, इसलिए वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{576}}{2 \times 1}$।
$\sqrt{576} = 24$।
$x = \frac{-2 \pm 24}{2}$।
केस 1: $x = \frac{-2 + 24}{2} = \frac{22}{2} = \mathbf{11}$।
केस 2: $x = \frac{-2 – 24}{2} = \frac{-26}{2} = \mathbf{–13}$।
परंतु $x$ एक धनात्मक विषम पूर्णांक दिया है। अतः, $x = 11$ होगा, क्योंकि $x \neq –13$ है।
इसलिए, दोनों क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक 11 और 13 हैं।
जाँच: $11^2 + 13^2 = 121 + 169 = 290$। यह सही है।

उदाहरण 12 (Example 12)

एक ऐसे आयताकार पार्क को बनाना है जिसकी चौड़ाई इसकी लंबाई से 3 m कम हो। इसका क्षेत्रफल पहले से निर्मित समद्विबाहु त्रिभुजाकार पार्क जिसका आधार आयताकार पार्क की चौड़ाई के बराबर तथा ऊँचाई 12 m है, से 4 वर्ग मीटर अधिक हो। इस आयताकार पार्क की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:

माना कि आयताकार पार्क की चौड़ाई $x$ मीटर है।
(स्रोत के अनुसार, चौड़ाई लंबाई से 3 मी कम है, इसलिए यदि चौड़ाई x है तो लंबाई x+3 होगी)
आयताकार पार्क की लंबाई = $x + 3$ मीटर।
आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = चौड़ाई × लंबाई = $x(x + 3) = (x^2 + 3x)$ m²।
समद्विबाहु त्रिभुजाकार पार्क का आधार = आयताकार पार्क की चौड़ाई = $x$ मीटर।
त्रिभुजाकार पार्क की ऊँचाई = 12 मीटर।
त्रिभुजाकार पार्क का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times x \times 12 = 6x$ m²।
प्रश्न के अनुसार, आयताकार पार्क का क्षेत्रफल त्रिभुजाकार पार्क के क्षेत्रफल से 4 वर्ग मीटर अधिक है।
$x^2 + 3x = 6x + 4$।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: $x^2 + 3x – 6x – 4 = 0$।
$x^2 – 3x – 4 = 0$।
यह $x$ में एक द्विघात समीकरण है। यहाँ $a = 1, b = –3, c = –4$ है।
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर:
$b^2 – 4ac = (–3)^2 – 4(1)(–4) = 9 – (–16) = 9 + 16 = 25$।
चूंकि $25 > 0$ है, इसलिए वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \times 1}$।
$x = \frac{3 \pm 5}{2}$।
केस 1: $x = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = \mathbf{4}$।
केस 2: $x = \frac{3 – 5}{2} = \frac{-2}{2} = \mathbf{–1}$।
परंतु $x$ चौड़ाई है, इसलिए यह ऋणात्मक नहीं हो सकती है। अतः $x \neq –1$ है।
इसलिए, $x = 4$ है।
आयताकार पार्क की चौड़ाई = 4 मीटर है।
और लंबाई = $x + 3 = 4 + 3 = \mathbf{7}$ मीटर होगी।
सत्यापन: आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = $4 \times 7 = 28$ m²। त्रिभुजाकार पार्क का क्षेत्रफल = $6x = 6(4) = 24$ m²। $28$ m² = $24$ m² + $4$ m²। यह सही है।

उदाहरण 13 (Example 13)

निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल, यदि उनका अस्तित्व हो तो द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए:

(i) $3x^2 – 5x + 2 = 0$

हल:

समीकरण $3x^2 – 5x + 2 = 0$ के लिए, $a = 3, b = –5, c = 2$ है।
विविक्तकर: $b^2 – 4ac = (–5)^2 – 4(3)(2) = 25 – 24 = 1$।
चूंकि $1 > 0$ है, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।
द्विघाती सूत्र: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$।
केस 1: $x = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = \mathbf{1}$।
केस 2: $x = \frac{5 – 1}{6} = \frac{4}{6} = \mathbf{2/3}$।
इसलिए, मूल 2/3 और 1 हैं।

(ii) $x^2 + 4x + 5 = 0$

हल:

समीकरण $x^2 + 4x + 5 = 0$ के लिए, $a = 1, b = 4, c = 5$ है।
विविक्तकर: $b^2 – 4ac = (4)^2 – 4(1)(5) = 16 – 20 = –4$।
चूंकि $–4 < 0$ है।
किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है। इसलिए $\sqrt{b^2 – 4ac}$ का मान वास्तविक नहीं होगा।
अतः दिए हुए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(iii) $2x^2 – 2\sqrt{2}x + 1 = 0$

हल:

समीकरण $2x^2 – 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ के लिए, $a = 2, b = –2\sqrt{2}, c = 1$ है।
विविक्तकर: $b^2 – 4ac = (–2\sqrt{2})^2 – 4(2)(1) = (4 \times 2) – 8 = 8 – 8 = 0$।
चूंकि $0 = 0$ है, इसलिए दो बराबर वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।
द्विघाती सूत्र: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = \frac{-(-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{0}}{2 \times 2} = \frac{2\sqrt{2} \pm 0}{4}$।
$x = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$। (या $1/\sqrt{2}$)
चूंकि दो बराबर मूल हैं, मूल $\frac{\sqrt{2}}{2}$ और $\frac{\sqrt{2}}{2}$ हैं।

उदाहरण 14 (Example 14)

निम्नलिखित समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:

(i) $x + \frac{1}{x} = 3, x \neq 0$

हल:

समीकरण है: $x + \frac{1}{x} = 3$।
सभी पदों को $x$ (जो $\neq 0$ है) से गुणा करने पर: $x \times x + (\frac{1}{x}) \times x = 3 \times x$।
$x^2 + 1 = 3x$।
इसे मानक रूप में लिखें: $x^2 – 3x + 1 = 0$।
यह एक द्विघात समीकरण है। यहाँ $a = 1, b = –3, c = 1$ है।
विविक्तकर: $b^2 – 4ac = (–3)^2 – 4(1)(1) = 9 – 4 = 5$।
चूंकि $5 > 0$ है, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।
द्विघाती सूत्र: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2 \times 1} = \mathbf{\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}}$।
इसलिए, मूल $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ और $\frac{3 – \sqrt{5}}{2}$ हैं।

(ii) $\frac{1}{x + 4} – \frac{1}{x – 7} = \frac{11}{30}, x \neq –4, 7$

हल:

समीकरण है: $\frac{1}{x + 4} – \frac{1}{x – 7} = \frac{11}{30}$।
बाएँ पक्ष में भिन्न को एक करें: $\frac{(x – 7) – (x + 4)}{(x + 4)(x – 7)} = \frac{11}{30}$।
$\frac{x – 7 – x – 4}{x^2 – 7x + 4x – 28} = \frac{11}{30}$।
$\frac{–11}{x^2 – 3x – 28} = \frac{11}{30}$।
दोनों तरफ से 11 रद्द करने पर (या 11 से भाग देने पर): $\frac{–1}{x^2 – 3x – 28} = \frac{1}{30}$।
क्रॉस गुणा करें: $–30 = x^2 – 3x – 28$।
इसे मानक रूप में लिखें: $x^2 – 3x – 28 + 30 = 0$।
$x^2 – 3x + 2 = 0$।
यह एक द्विघात समीकरण है। यहाँ $a = 1, b = –3, c = 2$ है।
विविक्तकर: $b^2 – 4ac = (–3)^2 – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1$।
चूंकि $1 > 0$ है, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।
द्विघाती सूत्र: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{3 \pm 1}{2}$।
केस 1: $x = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = \mathbf{2}$।
केस 2: $x = \frac{3 – 1}{2} = \frac{2}{2} = \mathbf{1}$।
इसलिए, मूल 2 और 1 हैं। (जांचें कि ये मान $x \neq –4, 7$ की शर्त को पूरा करते हैं, जो वे करते हैं)।

उदाहरण 15 (Example 15)

एक मोटर बोट, जिसकी स्थिर जल में चाल 18 km/h है, 24 km धारा के प्रतिकूल जाने में, वही दूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा 1 घंटा अधिक लेती है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

हल:

माना कि धारा की चाल $x$ km/h है।
स्थिर जल में बोट की चाल = 18 km/h।
धारा के प्रतिकूल (upstream) बोट की चाल = (स्थिर जल चाल – धारा की चाल) = $(18 – x)$ km/h। (यहाँ, बोट की चाल धारा की चाल से अधिक होनी चाहिए ताकि प्रतिकूल जा सके, इसलिए $18 – x > 0 \implies x < 18$)।
धारा के अनुकूल (downstream) बोट की चाल = (स्थिर जल चाल + धारा की चाल) = $(18 + x)$ km/h।
दूरी = 24 km।
समय = दूरी / चाल।
धारा के प्रतिकूल जाने में लिया गया समय = $\frac{24}{18 – x}$ घंटे।
धारा के अनुकूल जाने में लिया गया समय = $\frac{24}{18 + x}$ घंटे।
प्रश्न के अनुसार, प्रतिकूल जाने में अनुकूल जाने की अपेक्षा 1 घंटा अधिक लगता है।
$(\text{धारा के प्रतिकूल समय}) – (\text{धारा के अनुकूल समय}) = 1$ घंटा।
$\frac{24}{18 – x} – \frac{24}{18 + x} = 1$।
दोनों पक्षों को $(18 – x)(18 + x)$ से गुणा करें या लघुत्तम समापवर्त्य लें:
$\frac{24(18 + x) – 24(18 – x)}{(18 – x)(18 + x)} = 1$।
$\frac{432 + 24x – 432 + 24x}{18^2 – x^2} = 1$ (क्योंकि $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$)।
$\frac{48x}{324 – x^2} = 1$।
$48x = 324 – x^2$।
इसे मानक रूप में लिखें: $x^2 + 48x – 324 = 0$।
यह $x$ में एक द्विघात समीकरण है। यहाँ $a = 1, b = 48, c = –324$ है।
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर:
$b^2 – 4ac = (48)^2 – 4(1)(–324) = 2304 – (–1296) = 2304 + 1296 = 3600$।
चूंकि $3600 > 0$ है, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूलों का अस्तित्व है।
$x = \frac{-48 \pm \sqrt{3600}}{2 \times 1}$।
$\sqrt{3600} = 60$।
$x = \frac{-48 \pm 60}{2}$।
केस 1: $x = \frac{-48 + 60}{2} = \frac{12}{2} = \mathbf{6}$।
केस 2: $x = \frac{-48 – 60}{2} = \frac{-108}{2} = \mathbf{–54}$।
क्योंकि $x$ धारा की चाल है, यह ऋणात्मक नहीं हो सकती है। अतः, हम मूल $x = –54$ को छोड़ देते हैं।
इसलिए, $x = 6$ से हमें प्राप्त होता है कि धारा की चाल 6 km/h है। (जांचें कि $x < 18$, जो 6 के लिए सही है)।

4.5 मूलों की प्रकृति (Nature of Roots)

आपने देखा है कि समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$ द्वारा दिए जाते हैं।

पद $b^2 – 4ac$, यह निर्धारित करता है कि मूल वास्तविक हैं या नहीं और यदि वास्तविक हैं, तो वे भिन्न हैं या समान।

$D = b^2 – 4ac$ को इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (Discriminant) कहते हैं।

विविक्तकर ($D = b^2 – 4ac$) के आधार पर द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0$ के मूलों की प्रकृति निम्नलिखित है:

यदि $D > 0$ ($b^2 – 4ac > 0$) हो, तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल (two distinct real roots) होते हैं।
- ये मूल $\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ और $\frac{-b – \sqrt{D}}{2a}$ होते हैं।
यदि $D = 0$ ($b^2 – 4ac = 0$) हो, तो समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल (two equal real roots) होते हैं। (इन्हें संपाती वास्तविक मूल भी कहते हैं)।
- ये मूल दोनों $\frac{–b}{2a}$ होते हैं।
यदि $D < 0$ ($b^2 – 4ac < 0$) हो, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होता। (क्योंकि किसी ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल वास्तविक नहीं होता)।

उदाहरण 16 (Example 16)

द्विघात समीकरण $2x^2 – 4x + 3 = 0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के प्रकार का है, जहाँ $\mathbf{a = 2, b = –4}$ और $\mathbf{c = 3}$ है।
विविक्तकर $D = b^2 – 4ac$।
$D = (–4)^2 – 4(2)(3) = 16 – 24 = \mathbf{–8}$।
चूंकि विविक्तकर $–8$ है, जो 0 से कम है ($D < 0$)।
अतः, दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

उदाहरण 17 (Example 17)

13 मीटर व्यास वाले एक वृत्ताकार पार्क की परिसीमा के एक बिंदु पर एक खंभा इस प्रकार गाड़ना है कि इस पार्क के एक व्यास के दोनों अंत बिंदुओं पर बने फाटकों A और B से खंभे की दूरियों का अंतर 7 मीटर हो। क्या ऐसा करना संभव है? यदि है, तो दोनों फाटकों से कितनी दूरियों पर खंभा गाड़ना है?

हल:

आइए एक चित्र बनाएँ। माना खंभे की अभीष्ट स्थिति P है।
वृत्ताकार पार्क का व्यास AB = 13 मीटर है।
माना खंभे की फाटक B से दूरी BP = $x$ मीटर है।
खंभे की दोनों फाटकों की दूरियों का अंतर $|AP – BP| = 7$ मीटर है।
मान लेते हैं $AP > BP$, तो $AP = BP + 7 = x + 7$ मीटर होगा।
चूंकि AB व्यास है, इसलिए $\angle APB = 90^\circ$ (अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है)।
समकोण त्रिभुज APB में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: $AP^2 + PB^2 = AB^2$।
$(x + 7)^2 + x^2 = 13^2$।
विस्तार करें: $(x^2 + 14x + 49) + x^2 = 169$।
$2x^2 + 14x + 49 = 169$।
$2x^2 + 14x + 49 – 169 = 0$।
$2x^2 + 14x – 120 = 0$।
इस समीकरण को 2 से भाग देने पर: $x^2 + 7x – 60 = 0$।
यह $x$ (फाटक B से खंभे की दूरी) के लिए द्विघात समीकरण है। यहाँ $a = 1, b = 7, c = –60$ है।
यह देखने के लिए कि ऐसा करना संभव है अथवा नहीं, आइए इसके विविक्तकर पर विचार करें।
$D = b^2 – 4ac = (7)^2 – 4(1)(–60) = 49 – (–240) = 49 + 240 = \mathbf{289}$।
चूंकि विविक्तकर $289 > 0$ है।
अतः, दिए गए द्विघात समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं और इसलिए खंभे को पार्क की परिसीमा पर गाड़ा जा सकना संभव है।
अब मूल ज्ञात करने के लिए द्विघाती सूत्र का प्रयोग करें:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \times 1}$।
$\sqrt{289} = 17$।
$x = \frac{-7 \pm 17}{2}$।
केस 1: $x = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = \mathbf{5}$।
केस 2: $x = \frac{-7 – 17}{2} = \frac{-24}{2} = \mathbf{–12}$।
चूंकि $x$ खंभे और फाटक B के बीच की दूरी है, यह धनात्मक होना चाहिए। इसलिए, $x = –12$ को छोड़ देते हैं।
अतः, $x = 5$ है।
खंभे को फाटक B से 5 मीटर की दूरी पर गाड़ना है।
फाटक A से दूरी $AP = x + 7 = 5 + 7 = \mathbf{12}$ मीटर होगी।
सत्यापन: दूरियों का अंतर = $|12 – 5| = 7$ मीटर। पाइथागोरस प्रमेय: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$। यह सही है।

उदाहरण 18 (Example 18)

समीकरण $3x^2 – 2x + \frac{1}{3} = 0$ का विविक्तकर ज्ञात कीजिए और फिर मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वे वास्तविक हैं, तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

हल:

समीकरण $3x^2 – 2x + \frac{1}{3} = 0$ के लिए, $a = 3, b = –2, c = \frac{1}{3}$ है।
विविक्तकर $D = b^2 – 4ac = (–2)^2 – 4(3)(\frac{1}{3}) = 4 – 4 = \mathbf{0}$।
चूंकि विविक्तकर 0 है ($D=0$)।
अतः, द्विघात समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल हैं।
मूल ज्ञात करने के लिए, द्विघाती सूत्र का उपयोग करें या सीधे $\frac{–b}{2a}$ का उपयोग करें:
$x = \frac{-b}{2a}$।
$x = \frac{-(-2)}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \mathbf{1/3}$।
इसलिए, मूल 1/3 और 1/3 हैं।

प्रश्नावली 4.1 (Exercise 4.1)

1. जाँच कीजिए कि क्या निम्नलिखित द्विघात समीकरण हैं:

(i) $(x + 1)^2 = 2(x – 3)$

$x^2 + 2x + 1 = 2x – 6$

$x^2 + 2x - 2x + 1 + 6 = 0$

$\mathbf{x^2 + 7 = 0}$

यह $ax^2 + bx + c = 0$ ($a=1, b=0, c=7, a\neq0$) के रूप में है। हाँ, यह एक द्विघात समीकरण है।

(ii) $x^2 – 2x = (–2) (3 – x)$

$x^2 – 2x = –6 + 2x$

$x^2 – 2x – 2x + 6 = 0$

$\mathbf{x^2 – 4x + 6 = 0}$

यह $ax^2 + bx + c = 0$ ($a=1, b=-4, c=6, a\neq0$) के रूप में है। हाँ, यह एक द्विघात समीकरण है।

(iii) $(x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)$

$x^2 + x – 2x – 2 = x^2 + 3x – x – 3$

$x^2 – x – 2 = x^2 + 2x – 3$

$x^2 – x – 2 – x^2 – 2x + 3 = 0$

$\mathbf{–3x + 1 = 0}$

यह $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में नहीं है क्योंकि $x^2$ का पद नहीं है ($a=0$)। नहीं, यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) $(x – 3)(2x +1) = x(x + 5)$

$2x^2 + x – 6x – 3 = x^2 + 5x$

$2x^2 – 5x – 3 = x^2 + 5x$

$2x^2 – 5x – 3 – x^2 – 5x = 0$

$\mathbf{x^2 – 10x – 3 = 0}$

यह $ax^2 + bx + c = 0$ ($a=1, b=-10, c=-3, a\neq0$) के रूप में है। हाँ, यह एक द्विघात समीकरण है।

(v) $(2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)$

$2x^2 – 6x – x + 3 = x^2 – x + 5x – 5$

$2x^2 – 7x + 3 = x^2 + 4x – 5$

$2x^2 – 7x + 3 – x^2 – 4x + 5 = 0$

$\mathbf{x^2 – 11x + 8 = 0}$

यह $ax^2 + bx + c = 0$ ($a=1, b=-11, c=8, a\neq0$) के रूप में है। हाँ, यह एक द्विघात समीकरण है।

(vi) $x^2 + 3x + 1 = (x – 2)^2$

$x^2 + 3x + 1 = x^2 – 4x + 4$

$x^2 + 3x + 1 – x^2 + 4x – 4 = 0$

$\mathbf{7x – 3 = 0}$

यह $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में नहीं है ($a=0$)। नहीं, यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) $(x + 2)^3 = 2x (x^2 – 1)$

$x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) + 2^3 = 2x^3 – 2x$

$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 2x^3 – 2x$

$0 = 2x^3 – x^3 – 6x^2 – 12x – 2x – 8$

$\mathbf{x^3 – 6x^2 – 14x – 8 = 0}$

यह घात 3 का बहुपद है, द्विघात नहीं। नहीं, यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(viii) $x^3 – 4x^2 – x + 1 = (x – 2)^3$

$x^3 – 4x^2 – x + 1 = x^3 – 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) – 2^3$

$x^3 – 4x^2 – x + 1 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8$

दोनों तरफ से $x^3$ रद्द हो गया:

$– 4x^2 – x + 1 = – 6x^2 + 12x – 8$

$– 4x^2 + 6x^2 – x – 12x + 1 + 8 = 0$

$\mathbf{2x^2 – 13x + 9 = 0}$

यह $ax^2 + bx + c = 0$ ($a=2, b=-13, c=9, a\neq0$) के रूप में है। हाँ, यह एक द्विघात समीकरण है।

2. निम्नलिखित स्थितियों को द्विघात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए:

(i) आयताकार भूखंड

एक आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल 528 m² है। क्षेत्र की लंबाई (मीटरों में) चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है। हमें भूखंड की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करनी है।

माना चौड़ाई $x$ मीटर है।
लंबाई = $2x + 1$ मीटर।
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = $(2x + 1)x = 2x^2 + x$।
दिया है क्षेत्रफल = 528।
समीकरण: $2x^2 + x = 528 \implies \mathbf{2x^2 + x – 528 = 0}$।

(ii) क्रमागत धनात्मक पूर्णांक

दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।

माना पहला धनात्मक पूर्णांक $x$ है।
दूसरा क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = $x + 1$।
गुणनफल = $x(x + 1) = x^2 + x$।
दिया है गुणनफल = 306।
समीकरण: $x^2 + x = 306 \implies \mathbf{x^2 + x – 306 = 0}$।

(iii) रोहन और उसकी माँ की आयु

रोहन की माँ उससे 26 वर्ष बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगी। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।

माना रोहन की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
रोहन की माँ की वर्तमान आयु = $x + 26$ वर्ष।
अब से तीन वर्ष पश्चात् रोहन की आयु = $x + 3$ वर्ष।
अब से तीन वर्ष पश्चात् रोहन की माँ की आयु = $(x + 26) + 3 = x + 29$ वर्ष।
तीन वर्ष पश्चात् उनकी आयु का गुणनफल = $(x + 3)(x + 29)$।
दिया है गुणनफल = 360।
समीकरण: $(x + 3)(x + 29) = 360$
$x^2 + 29x + 3x + 87 = 360$
$x^2 + 32x + 87 – 360 = 0$
$\mathbf{x^2 + 32x – 273 = 0}$।

(iv) रेलगाड़ी की चाल

एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घंटे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।

माना रेलगाड़ी की समान चाल $x$ km/h है। ($x>0$)
दूरी = 480 km।
समय = दूरी / चाल।
समान चाल से लिया गया समय = $480/x$ घंटे।
यदि चाल 8 km/h कम होती, तो नई चाल = $(x – 8)$ km/h। (यहाँ $x – 8 > 0$, इसलिए $x > 8$)
कम चाल से लिया गया समय = $480/(x – 8)$ घंटे।
कम चाल से 3 घंटे अधिक लगते हैं।
समीकरण: $(\text{कम चाल से समय}) – (\text{समान चाल से समय}) = 3$
$\frac{480}{x – 8} – \frac{480}{x} = 3$
$\frac{480x – 480(x – 8)}{x(x – 8)} = 3$
$\frac{480x – 480x + 3840}{x^2 – 8x} = 3$
$3840 = 3(x^2 – 8x)$
$3840 = 3x^2 – 24x$
$3x^2 – 24x – 3840 = 0$
इस समीकरण को 3 से भाग देने पर: $\mathbf{x^2 – 8x – 1280 = 0}$।

प्रश्नावली 4.2 (Exercise 4.2)

1. गुणनखंड विधि से निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:

(i) $x^2 – 3x – 10 = 0$

गुणनफल $1 \times (–10) = –10$, योग –3। संख्याएँ हैं –5 और 2।
$x^2 – 5x + 2x – 10 = 0$
$x(x – 5) + 2(x – 5) = 0$
$(x – 5)(x + 2) = 0$
$x – 5 = 0$ या $x + 2 = 0$
मूल: $\mathbf{x = 5}$ या $\mathbf{x = –2}$।

(ii) $2x^2 + x – 6 = 0$

गुणनफल $2 \times (–6) = –12$, योग 1। संख्याएँ हैं 4 और –3।
$2x^2 + 4x – 3x – 6 = 0$
$2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0$
$(x + 2)(2x – 3) = 0$
$x + 2 = 0$ या $2x – 3 = 0$
मूल: $\mathbf{x = –2}$ या $\mathbf{x = 3/2}$।

(iii) $\sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0$

गुणनफल $\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} = 5 \times 2 = 10$, योग 7। संख्याएँ हैं 5 और 2।
$\sqrt{2}x^2 + 5x + 2x + 5\sqrt{2} = 0$
$x(\sqrt{2}x + 5) + \sqrt{2}(\sqrt{2}x + 5) = 0$ (क्योंकि $2 = \sqrt{2} \times \sqrt{2}$)
$(\sqrt{2}x + 5)(x + \sqrt{2}) = 0$
$\sqrt{2}x + 5 = 0$ या $x + \sqrt{2} = 0$
$\sqrt{2}x = –5 \implies x = –5/\sqrt{2}$
$x = –\sqrt{2}$
मूल: $\mathbf{–5/\sqrt{2}}$ और $\mathbf{–\sqrt{2}}$।

(iv) $2x^2 – x + 1/8 = 0$

समीकरण को 8 से गुणा करें: $16x^2 – 8x + 1 = 0$
गुणनफल $16 \times 1 = 16$, योग –8। संख्याएँ हैं –4 और –4।
$16x^2 – 4x – 4x + 1 = 0$
$4x(4x – 1) – 1(4x – 1) = 0$
$(4x – 1)(4x – 1) = 0$
$4x – 1 = 0$
मूल: $\mathbf{x = 1/4}$ (बराबर मूल)।

(v) $100x^2 – 20x + 1 = 0$

गुणनफल $100 \times 1 = 100$, योग –20। संख्याएँ हैं –10 और –10।
$100x^2 – 10x – 10x + 1 = 0$
$10x(10x – 1) – 1(10x – 1) = 0$
$(10x – 1)(10x – 1) = 0$
$10x – 1 = 0$
मूल: $\mathbf{x = 1/10}$ (बराबर मूल)।

2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए।

(i) जॉन और जीवंती कंचों की समस्या: $x^2 – 45x + 324 = 0$

गुणनफल 324, योग –45। संख्याएँ हैं –36 और –9।
$x^2 – 36x – 9x + 324 = 0$
$x(x – 36) – 9(x – 36) = 0$
$(x – 36)(x – 9) = 0$
$x = 36$ या $x = 9$।
यदि जॉन के पास 36 कंचे थे, तो जीवंती के पास $45-36=9$ थे।
यदि जॉन के पास 9 कंचे थे, तो जीवंती के पास $45-9=36$ थे।
अतः, आरंभ में उनके पास (36 और 9) या (9 और 36) कंचे थे।

(ii) खिलौना उद्योग समस्या: $x^2 – 55x + 750 = 0$

गुणनफल 750, योग –55। संख्याएँ हैं –25 और –30।
$x^2 – 25x – 30x + 750 = 0$
$x(x – 25) – 30(x – 25) = 0$
$(x – 25)(x – 30) = 0$
$x = 25$ या $x = 30$।
अतः, उस दिन निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या 25 या 30 थी।

3. ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।

माना पहली संख्या $x$ है।
दूसरी संख्या = $27 – x$।
गुणनफल = $x(27 – x) = 182$।
$27x – x^2 = 182 \implies x^2 – 27x + 182 = 0$।
गुणनफल 182, योग –27। संख्याएँ हैं –13 और –14।
$x^2 – 13x – 14x + 182 = 0$
$x(x – 13) – 14(x – 13) = 0$
$(x – 13)(x – 14) = 0$
$x = 13$ या $x = 14$।
यदि पहली संख्या 13 है, तो दूसरी 27 – 13 = 14 है।
यदि पहली संख्या 14 है, तो दूसरी 27 – 14 = 13 है।
अतः, संख्याएँ 13 और 14 हैं।

4. दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।

माना पहला धनात्मक पूर्णांक $x$ है।
दूसरा क्रमागत धनात्मक पूर्णांक = $x + 1$।
वर्गों का योग = $x^2 + (x + 1)^2 = 365$।
$x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 365$
$2x^2 + 2x + 1 = 365$
$2x^2 + 2x – 364 = 0$
2 से भाग देने पर: $x^2 + x – 182 = 0$।
गुणनफल –182, योग 1। संख्याएँ हैं 14 और –13।
$x^2 + 14x – 13x – 182 = 0$
$x(x + 14) – 13(x + 14) = 0$
$(x + 14)(x – 13) = 0$
$x = –14$ या $x = 13$।
चूंकि पूर्णांक धनात्मक हैं, $x=13$ स्वीकार्य है।
पहला पूर्णांक = 13, दूसरा पूर्णांक = $13+1=14$.
अतः, पूर्णांक 13 और 14 हैं।

5. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

माना आधार $x$ cm है। ($x>0$)
ऊँचाई = $x – 7$ cm। (यहाँ $x – 7 > 0 \implies x > 7$)
कर्ण = 13 cm।
पाइथागोरस प्रमेय: $\text{आधार}^2 + \text{ऊँचाई}^2 = \text{कर्ण}^2$
$x^2 + (x – 7)^2 = 13^2$
$x^2 + (x^2 – 14x + 49) = 169$
$2x^2 – 14x + 49 – 169 = 0$
$2x^2 – 14x – 120 = 0$
2 से भाग देने पर: $x^2 – 7x – 60 = 0$।
गुणनफल –60, योग –7। संख्याएँ हैं –12 और 5।
$x^2 – 12x + 5x – 60 = 0$
$x(x – 12) + 5(x – 12) = 0$
$(x – 12)(x + 5) = 0$
$x = 12$ या $x = –5$।
चूंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती, $x=12$ स्वीकार्य है (यह $x>7$ को संतुष्ट करता है)।
आधार = 12 cm।
ऊँचाई = $x – 7 = 12 – 7 = 5$ cm।
अतः, अन्य दो भुजाएँ 12 cm और 5 cm हैं।

6. कुटीर उद्योग बर्तन निर्माण

एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (` में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दोगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ` 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।

माना निर्मित बर्तनों की संख्या $x$ है। ($x>0$ और पूर्णांक)
प्रत्येक नग की लागत = $2x + 3$ (` में)।
कुल लागत = (बर्तनों की संख्या) × (प्रत्येक नग की लागत) = $x(2x + 3)$।
दिया है कुल लागत = 90।
$x(2x + 3) = 90$
$2x^2 + 3x = 90 \implies 2x^2 + 3x – 90 = 0$।
गुणनफल $2 \times (–90) = –180$, योग 3। संख्याएँ हैं 15 और –12।
$2x^2 + 15x – 12x – 90 = 0$
$x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0$
$(2x + 15)(x – 6) = 0$
$x = –15/2$ या $x = 6$।
चूंकि बर्तनों की संख्या ऋणात्मक या भिन्नात्मक नहीं हो सकती, $x=6$ स्वीकार्य है।
निर्मित बर्तनों की संख्या = 6।
प्रत्येक नग की लागत = $2x + 3 = 2(6) + 3 = 12 + 3 = 15$ `।
अतः, निर्मित बर्तनों की संख्या 6 है और प्रत्येक नग की लागत ` 15 है।

प्रश्नावली 4.3 (Exercise 4.3)

1. यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

(i) $2x^2 – 7x + 3 = 0$

$a=2, b=-7, c=3$. $D = b^2-4ac = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$. $D>0$, मूलों का अस्तित्व है।
2 से भाग दें: $x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{3}{2} = 0$.
$x$ के गुणांक $(-\frac{7}{2})$ का आधा $(-\frac{7}{4})$, वर्ग $(\frac{49}{16})$.
$(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{16} + \frac{3}{2} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{16} + \frac{24}{16} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{25}{16} = 0$
$(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{25}{16}$
$x - \frac{7}{4} = \pm \frac{5}{4}$
$x = \frac{7}{4} \pm \frac{5}{4}$
$x = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = \mathbf{3}$ या $x = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \mathbf{1/2}$.

(ii) $2x^2 + x – 4 = 0$

$a=2, b=1, c=-4$. $D = b^2-4ac = (1)^2 - 4(2)(-4) = 1 + 32 = 33$. $D>0$, मूलों का अस्तित्व है।
2 से भाग दें: $x^2 + \frac{1}{2}x - 2 = 0$.
$x$ के गुणांक $(\frac{1}{2})$ का आधा $(\frac{1}{4})$, वर्ग $(\frac{1}{16})$.
$(x + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} - 2 = 0$
$(x + \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16} - \frac{32}{16} = 0$
$(x + \frac{1}{4})^2 - \frac{33}{16} = 0$
$(x + \frac{1}{4})^2 = \frac{33}{16}$
$x + \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{33}}{4}$
मूल: $\mathbf{x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}}$.

(iii) $4x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$

$a=4, b=4\sqrt{3}, c=3$. $D = b^2-4ac = (4\sqrt{3})^2 - 4(4)(3) = 48 - 48 = 0$. $D=0$, मूलों का अस्तित्व है (बराबर मूल)।
समीकरण है: $(2x)^2 + 2(2x)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 0$
$(2x + \sqrt{3})^2 = 0$
$2x + \sqrt{3} = 0$
$2x = -\sqrt{3}$
मूल: $\mathbf{x = -\frac{\sqrt{3}}{2}}$ (बराबर मूल)।

(iv) $2x^2 + x + 4 = 0$

$a=2, b=1, c=4$. $D = b^2-4ac = (1)^2 - 4(2)(4) = 1 - 32 = -31$.
$D<0$ है। अतः, वास्तविक मूलों का अस्तित्व नहीं है।

2. उपर्युक्त प्रश्न 1 में दिए गए द्विघात समीकरणों के मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग करके, ज्ञात कीजिए।

(i) $2x^2 – 7x + 3 = 0$

$a=2, b=-7, c=3$. $D = 25$ (प्रश्न 1 से)।
$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{7 \pm 5}{4}$
मूल: $\mathbf{x = 3}$ या $\mathbf{x = 1/2}$.

(ii) $2x^2 + x – 4 = 0$

$a=2, b=1, c=-4$. $D = 33$ (प्रश्न 1 से)।
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2(2)}$
मूल: $\mathbf{x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}}$.

(iii) $4x^2 + 4\sqrt{3}x + 3 = 0$

$a=4, b=4\sqrt{3}, c=3$. $D = 0$ (प्रश्न 1 से)।
$x = \frac{-4\sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{2(4)} = \frac{-4\sqrt{3}}{8}$
मूल: $\mathbf{x = -\frac{\sqrt{3}}{2}}$ (बराबर मूल)।

(iv) $2x^2 + x + 4 = 0$

$a=2, b=1, c=4$. $D = -31$ (प्रश्न 1 से)।
$D<0$. अतः, कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

3. निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:

(i) $x – \frac{1}{x} = 3, x \neq 0$

$x$ से गुणा करने पर: $x^2 - 1 = 3x \implies x^2 - 3x - 1 = 0$.
(नोट: गुणनखंडन कठिन है, द्विघाती सूत्र का प्रयोग करें।)
$a=1, b=-3, c=-1$. $D = b^2-4ac = (-3)^2 - 4(1)(-1) = 9 + 4 = 13$.
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2(1)}$
मूल: $\mathbf{x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}}$.
(स्रोत में उदाहरण 14(i) में समीकरण $x+1/x=3$ थी, जिससे $x^2-3x+1=0$ बना था और $D=5$ आया था। दिए गए प्रश्न में $x-1/x=3$ है।)

(ii) $\frac{1}{x + 4} – \frac{1}{x – 7} = \frac{11}{30}, x \neq –4, 7$

लघुत्तम लें: $\frac{(x-7) - (x+4)}{(x+4)(x-7)} = \frac{11}{30}$
$\frac{x-7-x-4}{x^2-7x+4x-28} = \frac{11}{30}$
$\frac{-11}{x^2-3x-28} = \frac{11}{30}$
11 से भाग दें: $\frac{-1}{x^2-3x-28} = \frac{1}{30}$
$-30 = x^2-3x-28$
$x^2-3x-28+30 = 0 \implies x^2-3x+2 = 0$.
गुणनखंडन करें: $(x-1)(x-2) = 0$.
मूल: $\mathbf{x=1}$ या $\mathbf{x=2}$.

4. रहमान की आयु

3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग 1/3 है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

माना रहमान की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है ($x>3$)।
3 वर्ष पूर्व आयु = $x-3$. व्युत्क्रम = $\frac{1}{x-3}$.
5 वर्ष पश्चात् आयु = $x+5$. व्युत्क्रम = $\frac{1}{x+5}$.
योग = $\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{3}$.
$\frac{(x+5) + (x-3)}{(x-3)(x+5)} = \frac{1}{3}$
$\frac{2x+2}{x^2+5x-3x-15} = \frac{1}{3}$
$\frac{2x+2}{x^2+2x-15} = \frac{1}{3}$
$3(2x+2) = 1(x^2+2x-15)$
$6x+6 = x^2+2x-15$
$x^2 + 2x - 6x - 15 - 6 = 0 \implies x^2 - 4x - 21 = 0$.
गुणनखंडन: $x^2 - 7x + 3x - 21 = 0 \implies x(x-7)+3(x-7)=0 \implies (x-7)(x+3)=0$.
$x=7$ या $x=-3$.
चूंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती ($x>3$), $x=7$ स्वीकार्य है।
अतः, रहमान की वर्तमान आयु 7 वर्ष है।

5. शेफाली के अंक

एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।

माना गणित में अंक = $x$. ( $0 \le x \le 30$)
अंग्रेजी में अंक = $30-x$.
नए गणित अंक = $x+2$.
नए अंग्रेजी अंक = $(30-x)-3 = 27-x$.
नए अंकों का गुणनफल = $(x+2)(27-x) = 210$.
$27x - x^2 + 54 - 2x = 210$
$-x^2 + 25x + 54 = 210$
$-x^2 + 25x + 54 - 210 = 0 \implies -x^2 + 25x - 156 = 0$.
$-1$ से गुणा करें: $x^2 - 25x + 156 = 0$.
गुणनखंडन: गुणनफल 156, योग -25। संख्याएँ -12, -13.
$x^2 - 12x - 13x + 156 = 0 \implies x(x-12)-13(x-12)=0 \implies (x-12)(x-13)=0$.
$x=12$ या $x=13$.
केस 1: गणित अंक $x=12$. अंग्रेजी अंक = $30-12=18$.
केस 2: गणित अंक $x=13$. अंग्रेजी अंक = $30-13=17$.
अतः, अंक या तो (गणित 12, अंग्रेजी 18) हैं या (गणित 13, अंग्रेजी 17) हैं।

6. आयताकार खेत

एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

माना छोटी भुजा = $x$ मी ($x>0$)।
बड़ी भुजा = $x+30$ मी।
विकर्ण = $x+60$ मी।
पाइथागोरस प्रमेय: $(\text{छोटी भुजा})^2 + (\text{बड़ी भुजा})^2 = (\text{विकर्ण})^2$.
$x^2 + (x+30)^2 = (x+60)^2$.
$x^2 + (x^2 + 60x + 900) = (x^2 + 120x + 3600)$.
$2x^2 + 60x + 900 = x^2 + 120x + 3600$.
$2x^2 - x^2 + 60x - 120x + 900 - 3600 = 0$.
$x^2 - 60x - 2700 = 0$.
गुणनखंडन: गुणनफल -2700, योग -60। संख्याएँ -90, 30.
$x^2 - 90x + 30x - 2700 = 0 \implies x(x-90)+30(x-90)=0 \implies (x-90)(x+30)=0$.
$x=90$ या $x=-30$.
चूंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती, $x=90$ स्वीकार्य है।
छोटी भुजा = 90 मी।
बड़ी भुजा = $x+30 = 90+30 = 120$ मी।
अतः, खेत की भुजाएँ 90 मी और 120 मी हैं।

7. दो संख्याओं के वर्ग

दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

माना बड़ी संख्या $x$ है और छोटी संख्या $y$ है।
वर्गों का अंतर: $x^2 - y^2 = 180$. (समीकरण 1)
छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना: $y^2 = 8x$. (समीकरण 2)
समीकरण (2) से $y^2$ का मान समीकरण (1) में रखें:
$x^2 - 8x = 180 \implies x^2 - 8x - 180 = 0$.
गुणनखंडन: गुणनफल -180, योग -8। संख्याएँ -18, 10.
$x^2 - 18x + 10x - 180 = 0 \implies x(x-18)+10(x-18)=0 \implies (x-18)(x+10)=0$.
$x=18$ या $x=-10$.
यदि $x=-10$, तो $y^2 = 8x = 8(-10) = -80$, जो वास्तविक संख्या के लिए संभव नहीं है।
अतः, $x=18$ (बड़ी संख्या)।
$y^2 = 8x = 8(18) = 144$.
$y = \pm \sqrt{144} = \pm 12$.
अतः, संख्याएँ (18, 12) या (18, -12) हैं।

8. रेलगाड़ी की चाल (दूसरा प्रश्न)

एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती। रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए।

माना रेलगाड़ी की समान चाल $x$ km/h है ($x>0$)।
दूरी = 360 km।
समान चाल से समय = $360/x$ घंटे।
नई चाल = $x+5$ km/h।
नई चाल से समय = $360/(x+5)$ घंटे।
नई चाल से 1 घंटा कम लगता है: $(\text{समान चाल से समय}) - (\text{नई चाल से समय}) = 1$.
$\frac{360}{x} - \frac{360}{x+5} = 1$.
$\frac{360(x+5) - 360x}{x(x+5)} = 1$.
$\frac{360x + 1800 - 360x}{x^2+5x} = 1$.
$1800 = x^2+5x \implies x^2 + 5x - 1800 = 0$.
गुणनखंडन: गुणनफल -1800, योग 5। संख्याएँ 45, -40.
$x^2 + 45x - 40x - 1800 = 0 \implies x(x+45)-40(x+45)=0 \implies (x+45)(x-40)=0$.
$x=-45$ या $x=40$.
चूंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, $x=40$ स्वीकार्य है।
अतः, रेलगाड़ी की चाल 40 km/h है।

9. पानी के नल

दो पानी के नल एक-साथ एक हौज को $9 \frac{3}{8}$ घंटों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में, कम व्यास वाले नल से 10 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।

मिलकर भरने में लगा समय = $9 \frac{3}{8} = \frac{75}{8}$ घंटे।
माना कम व्यास वाला नल अकेले भरने में $x$ घंटे लेता है ($x>10$)।
बड़े व्यास वाला नल अकेले भरने में $x-10$ घंटे लेता है।
1 घंटे में कम व्यास वाले नल द्वारा भरा गया भाग = $1/x$.
1 घंटे में बड़े व्यास वाले नल द्वारा भरा गया भाग = $1/(x-10)$.
1 घंटे में दोनों द्वारा मिलकर भरा गया भाग = $1 / (75/8) = 8/75$.
समीकरण: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{8}{75}$.
$\frac{(x-10) + x}{x(x-10)} = \frac{8}{75}$.
$\frac{2x-10}{x^2-10x} = \frac{8}{75}$.
$75(2x-10) = 8(x^2-10x)$.
$150x - 750 = 8x^2 - 80x$.
$8x^2 - 80x - 150x + 750 = 0 \implies 8x^2 - 230x + 750 = 0$.
2 से भाग दें: $4x^2 - 115x + 375 = 0$.
द्विघाती सूत्र: $a=4, b=-115, c=375$. $D = b^2-4ac = (-115)^2 - 4(4)(375) = 13225 - 6000 = 7225$. $\sqrt{D} = 85$.
$x = \frac{-(-115) \pm 85}{2(4)} = \frac{115 \pm 85}{8}$.
$x = \frac{115+85}{8} = \frac{200}{8} = 25$ या $x = \frac{115-85}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$.
चूंकि $x>10$, $x=15/4=3.75$ स्वीकार्य नहीं है। अतः $x=25$.
कम व्यास वाला नल = $x = 25$ घंटे।
बड़े व्यास वाला नल = $x-10 = 25-10 = 15$ घंटे।
अतः, अलग-अलग भरने में 25 घंटे और 15 घंटे लगते हैं।

10. मैसूर-बैंगलोर रेलगाड़ी

मैसूर और बैंगलोर के बीच के 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी, सवारी गाड़ी से 1 घंटा समय कम लेती है। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।

माना सवारी गाड़ी की चाल $x$ km/h है ($x>0$)।
एक्सप्रेस गाड़ी की चाल = $x+11$ km/h।
दूरी = 132 km।
सवारी गाड़ी का समय = $132/x$ घंटे।
एक्सप्रेस गाड़ी का समय = $132/(x+11)$ घंटे।
एक्सप्रेस गाड़ी 1 घंटा कम लेती है: $(\text{सवारी गाड़ी का समय}) - (\text{एक्सप्रेस गाड़ी का समय}) = 1$.
$\frac{132}{x} - \frac{132}{x+11} = 1$.
$\frac{132(x+11) - 132x}{x(x+11)} = 1$.
$\frac{132x + 1452 - 132x}{x^2+11x} = 1$.
$1452 = x^2+11x \implies x^2 + 11x - 1452 = 0$.
द्विघाती सूत्र: $a=1, b=11, c=-1452$. $D = b^2-4ac = (11)^2 - 4(1)(-1452) = 121 + 5808 = 5929$. $\sqrt{D} = 77$.
$x = \frac{-11 \pm 77}{2(1)}$.
$x = \frac{-11+77}{2} = \frac{66}{2} = 33$ या $x = \frac{-11-77}{2} = \frac{-88}{2} = -44$.
चूंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, $x=33$ स्वीकार्य है।
सवारी गाड़ी की चाल = 33 km/h।
एक्सप्रेस गाड़ी की चाल = $x+11 = 33+11 = 44$ km/h।
अतः, चालें 33 km/h और 44 km/h हैं।

11. दो वर्गों के क्षेत्रफल

दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m² है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24 m हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

माना वर्गों की भुजाएँ $x$ मी और $y$ मी हैं ($x>0, y>0$)। मान लें $x>y$.
क्षेत्रफलों का योग: $x^2 + y^2 = 468$. (समीकरण 1)
परिमापों का अंतर: $4x - 4y = 24$.
4 से भाग दें: $x - y = 6 \implies x = y+6$. (समीकरण 2)
$x$ का मान समीकरण (1) में रखें: $(y+6)^2 + y^2 = 468$.
$(y^2 + 12y + 36) + y^2 = 468$.
$2y^2 + 12y + 36 - 468 = 0 \implies 2y^2 + 12y - 432 = 0$.
2 से भाग दें: $y^2 + 6y - 216 = 0$.
गुणनखंडन: गुणनफल -216, योग 6। संख्याएँ 18, -12.
$y^2 + 18y - 12y - 216 = 0 \implies y(y+18)-12(y+18)=0 \implies (y+18)(y-12)=0$.
$y=-18$ या $y=12$.
चूंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती, $y=12$ स्वीकार्य है।
छोटी भुजा $y=12$ मी।
बड़ी भुजा $x = y+6 = 12+6 = 18$ मी।
अतः, वर्गों की भुजाएँ 18 मी और 12 मी हैं।

प्रश्नावली 4.4 (Exercise 4.4)

1. निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए।

(i) $2x^2 – 3x + 5 = 0$

$a=2, b=-3, c=5$.
$D = b^2 – 4ac = (–3)^2 – 4(2)(5) = 9 – 40 = –31$.
$D < 0$ है। अतः, कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(ii) $3x^2 – 4\sqrt{3}x + 4 = 0$

$a=3, b=-4\sqrt{3}, c=4$.
$D = b^2 – 4ac = (–4\sqrt{3})^2 – 4(3)(4) = (16 \times 3) – 48 = 48 – 48 = 0$.
$D = 0$ है। अतः, दो बराबर वास्तविक मूल हैं।
मूल: $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2(3)} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \mathbf{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$. (बराबर मूल)

(iii) $2x^2 – 6x + 3 = 0$

$a=2, b=-6, c=3$.
$D = b^2 – 4ac = (–6)^2 – 4(2)(3) = 36 – 24 = 12$.
$D > 0$ है। अतः, दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
मूल: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(2)} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \times 3}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4}$.
$x = \frac{2(3 \pm \sqrt{3})}{4} = \mathbf{\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}}$.
मूल: $\mathbf{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}}$ और $\mathbf{\frac{3 – \sqrt{3}}{2}}$.

2. निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।

(i) $2x^2 + kx + 3 = 0$

बराबर मूलों के लिए $D=0$.
$a=2, b=k, c=3$.
$D = b^2 - 4ac = k^2 - 4(2)(3) = k^2 - 24$.
$k^2 - 24 = 0 \implies k^2 = 24$.
$k = \pm \sqrt{24} = \pm \sqrt{4 \times 6} = \mathbf{\pm 2\sqrt{6}}$.

(ii) $kx (x – 2) + 6 = 0$

पहले मानक रूप में लिखें: $kx^2 – 2kx + 6 = 0$. (द्विघात होने के लिए $k \neq 0$)
बराबर मूलों के लिए $D=0$.
$a=k, b=-2k, c=6$.
$D = b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4(k)(6) = 4k^2 - 24k$.
$4k^2 - 24k = 0$.
$4k(k - 6) = 0$.
$k=0$ या $k=6$.
चूंकि द्विघात समीकरण के लिए $k \neq 0$ होना चाहिए, अतः $k=0$ संभव नहीं है।
इसलिए, $\mathbf{k=6}$.

3. आम की बगिया

क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m² हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

माना चौड़ाई = $x$ मी ($x>0$)।
लंबाई = $2x$ मी।
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = $(2x)(x) = 2x^2$.
दिया है क्षेत्रफल = 800।
$2x^2 = 800 \implies x^2 = 400$.
$x = \pm \sqrt{400} = \pm 20$.
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, $x=20$ स्वीकार्य है।
चूंकि $x$ का वास्तविक मान (20) प्राप्त हुआ है, अतः ऐसी बगिया बनाना संभव है।
चौड़ाई = $x = 20$ मी।
लंबाई = $2x = 2(20) = 40$ मी।
अतः, चौड़ाई 20 मी और लंबाई 40 मी है।

4. मित्रों की आयु

क्या निम्न स्थिति संभव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।

माना पहले मित्र की आयु $x$ वर्ष है ($0
दूसरे मित्र की आयु = $20-x$ वर्ष।
चार वर्ष पूर्व पहले मित्र की आयु = $x-4$ वर्ष ($x>4$)।
चार वर्ष पूर्व दूसरे मित्र की आयु = $(20-x)-4 = 16-x$ वर्ष ($16-x>0 \implies x<16$)।
अतः, $4 < x < 16$.
चार वर्ष पूर्व आयु का गुणनफल = $(x-4)(16-x) = 48$.
$16x - x^2 - 64 + 4x = 48$.
$-x^2 + 20x - 64 = 48$.
$-x^2 + 20x - 64 - 48 = 0 \implies -x^2 + 20x - 112 = 0$.
$x^2 - 20x + 112 = 0$.
इसकी संभावना जांचने के लिए विविक्तकर निकालें: $a=1, b=-20, c=112$.
$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(1)(112) = 400 - 448 = -48$.
चूंकि $D < 0$ है, समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
अतः, यह स्थिति संभव नहीं है।

5. पार्क बनाना

क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m² के एक पार्क को बनाना संभव है? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

माना लंबाई $l$ मी और चौड़ाई $b$ मी है ($l>0, b>0$)।
परिमाप = $2(l+b) = 80 \implies l+b = 40 \implies l = 40-b$.
क्षेत्रफल = $l \times b = 400$.
$l$ का मान रखें: $(40-b)b = 400$.
$40b - b^2 = 400 \implies b^2 - 40b + 400 = 0$.
इसकी संभावना जांचने के लिए विविक्तकर निकालें: $a=1, b=-40, c=400$.
$D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(1)(400) = 1600 - 1600 = 0$.
चूंकि $D = 0$ है, समीकरण के वास्तविक और बराबर मूल हैं। अतः, पार्क बनाना संभव है।
मूल (चौड़ाई): $b = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-40)}{2(1)} = \frac{40}{2} = 20$.
चौड़ाई = 20 मी।
लंबाई = $l = 40-b = 40-20 = 20$ मी।
अतः, पार्क बनाना संभव है और यह एक वर्ग होगा जिसकी भुजा 20 मी है।

4.6 सारांश (Summary)

इस अध्याय में, आपने निम्नलिखित तथ्यों का अध्ययन किया है:

चर $x$ में एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के प्रकार का होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है।
एक वास्तविक संख्या $\alpha$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का एक मूल कहलाती है, यदि $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ हो। द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यक और द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल एक ही होते हैं।
यदि हम $ax^2 + bx + c, a \neq 0$ के दो रैखिक गुणनखंडों में गुणनखंड कर सकें, तो द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल, प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करके, प्राप्त कर सकते हैं। (गुणनखंड विधि)
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से भी दिए गए द्विघात समीकरण को हल किया जा सकता है।
द्विघाती सूत्र: द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\mathbf{x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}}$ द्वारा दिए जाते हैं, यदि $\mathbf{b^2 – 4ac \ge 0}$ हो।
एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0, a \neq 0$ में, $\mathbf{D = b^2 – 4ac}$ (विविक्तकर):
- (i) दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं, यदि $\mathbf{D > 0}$ हो।
- (ii) दो बराबर वास्तविक मूल (अर्थात् संपाती वास्तविक मूल) होते हैं, यदि $\mathbf{D = 0}$ हो।
- (iii) कोई वास्तविक मूल नहीं होता, यदि $\mathbf{D < 0}$ हो।

आशा है कि यह विस्तृत नोट्स आपको कक्षा 10 गणित के अध्याय 4 'द्विघात समीकरण' को समझने में सहायक होंगे। शुभकामनाएँ!

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कक्षा 10 गणित अध्याय 4: द्विघात समीकरण - संपूर्ण नोट्स, उदाहरण और प्रश्नावली (4.1, 4.2, 4.3, 4.4) हल | Digital Bihar Board