Bihar Board कक्षा 12 गणित अध्याय 7 समाकलन: सम्पूर्ण नोट्स (NCERT Solutions & Integrals Formulas)

अध्याय 7: समाकलन (Integrals)

नमस्ते दोस्तों! पेश है कक्षा 12 गणित के सबसे महत्वपूर्ण अध्याय 7 - समाकलन (Integrals) पर आधारित एक सम्पूर्ण आत्म-अध्ययन नोट्स। ये नोट्स विशेष रूप से भारतीय छात्रों के लिए तैयार किए गए हैं, ताकि आप अनिश्चित समाकलन (Indefinite Integrals) और निश्चित समाकलन (Definite Integrals) की सभी अवधारणाओं को आसानी से समझ सकें। इस गाइड में आपको समाकलन के सूत्र (Integration Formulas), समाकलन की विधियाँ जैसे प्रतिस्थापन, आंशिक भिन्न और खंडशः समाकलन, और NCERT पर आधारित हल सहित सभी महत्वपूर्ण टॉपिक्स मिलेंगे। तो चलिए, समाकलन की इस रोचक यात्रा की शुरुआत करते हैं!

7.1 भूमिका (Introduction)

दोस्तों, जैसे हर क्रिया की एक प्रतिक्रिया होती है, वैसे ही गणित में भी कई प्रक्रियाएं एक-दूसरे की उल्टी होती हैं। आपने पिछले अध्याय में अवकलन (Differentiation) के बारे में पढ़ा, जहाँ हम किसी फलन (function) के परिवर्तन की दर (rate of change) निकालते थे, यानी अवकलज (derivative) ज्ञात करते थे।

समाकलन (Integration) ठीक इसका उल्टा प्रक्रम है!

समाकलन (Integration): यह अवकलन का व्युत्क्रम (inverse) प्रक्रम है। इसमें हमें किसी फलन का अवकलज दिया होता है और हमें मूल फलन (original function) ज्ञात करना होता है। इस मूल फलन को प्रतिअवकलज (Antiderivative) या समाकल (Integral) कहते हैं।

उदाहरण के लिए: अगर हमें किसी वस्तु का तात्क्षणिक वेग (instantaneous velocity) पता है, तो समाकलन की मदद से हम किसी भी क्षण पर उसकी स्थिति (position) ज्ञात कर सकते हैं।

इस अध्याय में हम दो मुख्य प्रकार की समस्याओं को हल करना सीखेंगे:

• अनिश्चित समाकलन (Indefinite Integrals): जब किसी फलन का अवकलज ज्ञात हो, तो उस मूल फलन को ज्ञात करना।
• निश्चित समाकलन (Definite Integrals): किसी फलन के आलेख (graph) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना।

जी. डब्ल्यू. लाइबनिट्स (1646-1716), समाकलन गणित के विकास में एक प्रमुख योगदानकर्ता।

7.2 समाकलन को अवकलन के व्युत्क्रम प्रक्रम के रूप में

जैसा कि हमने ऊपर समझा, समाकलन अवकलन का उल्टा है।

हम जानते हैं कि:

• \(\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x\)
  इसका मतलब है कि \(\cos x\) का प्रतिअवकलज \(\sin x\) है।
• \(\frac{d}{dx} (\frac{x^3}{3}) = x^2\)
  इसका मतलब है कि \(x^2\) का प्रतिअवकलज \(\frac{x^3}{3}\) है।

समाकलन का अचर (Constant of Integration 'C')

एक महत्वपूर्ण बात पर ध्यान दें। हम जानते हैं कि किसी भी अचर (constant) का अवकलज शून्य (0) होता है।

• \(\frac{d}{dx} (\sin x + 5) = \cos x\)
• \(\frac{d}{dx} (\sin x - 100) = \cos x\)

इसका मतलब \(\cos x\) का प्रतिअवकलज \(\sin x\) भी है, \(\sin x + 5\) भी है, और \(\sin x - 100\) भी! वास्तव में, इसके अनंत प्रतिअवकलज हो सकते हैं। इसीलिए, जब हम किसी फलन \(f(x)\) का समाकलन करते हैं, तो हम परिणाम में हमेशा एक स्वेच्छ अचर (arbitrary constant) 'C' जोड़ते हैं। इसे समाकलन का अचर कहा जाता है।

अनिश्चित समाकलन (Indefinite Integral): यदि \(\frac{d}{dx} F(x) = f(x)\) है, तो \(f(x)\) का अनिश्चित समाकलन \(\int f(x)dx = F(x) + C\) होता है।

महत्वपूर्ण शब्दावली:

• \(\int f(x)dx\): फलन \(f(x)\) का x के सापेक्ष समाकलन।
• \(f(x)\): समाकल्य (Integrand) - वह फलन जिसका समाकलन किया जाना है।
• \(dx\): यह बताता है कि समाकलन x चर के सापेक्ष किया जा रहा है।
• \(C\): समाकलन का अचर (Constant of Integration)।

अवकलन और समाकलन के कुछ मानक सूत्र

ये सूत्र आपको हमेशा याद रखने हैं। ये समाकलन के आधार हैं।

अवकलज (Derivatives)	समाकलन (Integrals / Antiderivatives)
\(\frac{d}{dx} (\frac{x^{n+1}}{n+1}) = x^n\)	\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1\)
\(\frac{d}{dx} (x) = 1\)	\(\int dx = x + C\)
\(\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x\)	\(\int \cos x dx = \sin x + C\)
\(\frac{d}{dx} (-\cos x) = \sin x\)	\(\int \sin x dx = -\cos x + C\)
\(\frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x\)	\(\int \sec^2 x dx = \tan x + C\)
\(\frac{d}{dx} (-\cot x) = \csc^2 x\)	\(\int \csc^2 x dx = -\cot x + C\)
\(\frac{d}{dx} (\sec x) = \sec x \tan x\)	\(\int \sec x \tan x dx = \sec x + C\)
\(\frac{d}{dx} (-\csc x) = \csc x \cot x\)	\(\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C\)
\(\frac{d}{dx} (\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1}x + C\)
\(\frac{d}{dx} (-\cos^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = -\cos^{-1}x + C\)
\(\frac{d}{dx} (\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2}\)	\(\int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x + C\)
\(\frac{d}{dx} (-\cot^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2}\)	\(\int \frac{dx}{1+x^2} = -\cot^{-1}x + C\)
\(\frac{d}{dx} (\sec^{-1}x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)	\(\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \sec^{-1}x + C\)
\(\frac{d}{dx} (e^x) = e^x\)	\(\int e^x dx = e^x + C\)
\(\frac{d}{dx} (\log|x|) = \frac{1}{x}\)	\(\int \frac{1}{x} dx = \log|x| + C\)
\(\frac{d}{dx} (\frac{a^x}{\log a}) = a^x\)	\(\int a^x dx = \frac{a^x}{\log a} + C\)

7.2.1 अनिश्चित समाकलनों के गुणधर्म

ये गुणधर्म बहुत उपयोगी हैं और सवालों को हल करना आसान बनाते हैं।

• अवकलन और समाकलन एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं:
  \(\frac{d}{dx} \left[ \int f(x)dx \right] = f(x)\)
  \(\int f'(x)dx = f(x) + C\)
• दो फलनों के योग या अंतर का समाकलन:
  \(\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx\)
  मतलब, हम फलनों को अलग-अलग करके उनका समाकलन कर सकते हैं।
• किसी अचर से गुणन का समाकलन:
  \(\int k \cdot f(x)dx = k \cdot \int f(x)dx\)
  मतलब, हम किसी भी अचर (constant) को समाकलन के चिह्न से बाहर निकाल सकते हैं।

पुस्तक के हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1 (निरीक्षण विधि)

प्रश्न: निम्नलिखित फलनों का प्रतिअवकलज ज्ञात कीजिए:
(i) \(\cos 2x\) (ii) \(3x^2 + 4x^3\) (iii) \(\frac{1}{x}, x \neq 0\)

हल:
(i) \(\cos 2x\): हमें सोचना है कि किसका अवकलन \(\cos 2x\) होता है। हम जानते हैं, \(\frac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x\). इसको व्यवस्थित करने पर, \(\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) = \cos 2x\). अतः, \(\cos 2x\) का प्रतिअवकलज \(\frac{1}{2} \sin 2x\) है।

(ii) \(3x^2 + 4x^3\): हम जानते हैं, \(\frac{d}{dx} (x^3) = 3x^2\) और \(\frac{d}{dx} (x^4) = 4x^3\). दोनों को जोड़ने पर, \(\frac{d}{dx} (x^3 + x^4) = 3x^2 + 4x^3\). अतः, \(3x^2 + 4x^3\) का प्रतिअवकलज \(x^3 + x^4\) है।

(iii) \(\frac{1}{x}\): हम जानते हैं, \(\frac{d}{dx} (\log|x|) = \frac{1}{x}\). अतः, \(\frac{1}{x}\) का प्रतिअवकलज \(\log|x|\) है।

उदाहरण 2

प्रश्न: निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए:
(i) \(\int \frac{x^3-1}{x^2} dx\) (ii) \(\int (x^{2/3} + 1) dx\) (iii) \(\int (x^{3/2} + 2e^x - \frac{1}{x}) dx\)

हल:
(i) \(\int \frac{x^3-1}{x^2} dx = \int(\frac{x^3}{x^2} - \frac{1}{x^2}) dx = \int(x - x^{-2}) dx\)
\( = \int x dx - \int x^{-2} dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C\)
\( = \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} + C = \mathbf{\frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} + C}\)

(ii) \(\int (x^{2/3} + 1) dx = \int x^{2/3} dx + \int 1 dx\)
\( = \frac{x^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} + x + C = \frac{x^{5/3}}{5/3} + x + C = \mathbf{\frac{3}{5}x^{5/3} + x + C}\)

(iii) \(\int (x^{3/2} + 2e^x - \frac{1}{x}) dx = \int x^{3/2} dx + 2\int e^x dx - \int \frac{1}{x} dx\)
\( = \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} + 2e^x - \log|x| + C = \frac{x^{5/2}}{5/2} + 2e^x - \log|x| + C\)
\( = \mathbf{\frac{2}{5}x^{5/2} + 2e^x - \log|x| + C}\)

7.3 समाकलन की विधियाँ (Methods of Integration)

कई बार फलन इतने सीधे नहीं होते कि उनका समाकलन सीधे सूत्र से हो जाए। ऐसी स्थितियों में हम कुछ विशेष विधियों का उपयोग करते हैं।

1. प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by Substitution)

यह सबसे महत्वपूर्ण विधियों में से एक है। इसमें हम समाकल्य (integrand) के किसी हिस्से को एक नए चर (variable), जैसे 't', से प्रतिस्थापित (substitute) कर देते हैं, ताकि समाकलन एक मानक रूप में बदल जाए।

उदाहरण 5

प्रश्न: समाकलन कीजिए: (i) \(\sin(mx)\) (ii) \(2x \sin(x^2+1)\)

हल:
(i) \(\int \sin(mx) dx\)
माना \(t = mx\). तो, \(\frac{dt}{dx} = m \implies dx = \frac{dt}{m}\).
अब, \(\int \sin(t) \cdot \frac{dt}{m} = \frac{1}{m} \int \sin(t) dt = \frac{1}{m} (-\cos t) + C = \mathbf{-\frac{1}{m} \cos(mx) + C}\)

(ii) \(\int 2x \sin(x^2+1) dx\)
यहाँ हम देख सकते हैं कि \(x^2+1\) का अवकलज \(2x\) होता है, जो फलन में मौजूद है।
माना \(t = x^2+1\). तो, \(\frac{dt}{dx} = 2x \implies 2x dx = dt\).
अब, \(\int \sin(t) dt = -\cos(t) + C = \mathbf{-\cos(x^2+1) + C}\)

2. आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन (Integration by Partial Fractions)

इस विधि का उपयोग परिमेय फलनों \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) का समाकलन करने के लिए किया जाता है, जहाँ \(P(x)\) और \(Q(x)\) बहुपद हैं और \(P(x)\) की घात \(Q(x)\) की घात से कम है।

उदाहरण 11

प्रश्न: \(\int \frac{dx}{(x+1)(x+2)}\)

हल:
माना \(\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}\)
\(1 = A(x+2) + B(x+1)\)
\(x = -1\) रखने पर, \(1 = A(-1+2) \implies A = 1\).
\(x = -2\) रखने पर, \(1 = B(-2+1) \implies B = -1\).
तो, \(\int \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\right) dx = \int\frac{dx}{x+1} - \int\frac{dx}{x+2}\)
\( = \log|x+1| - \log|x+2| + C = \mathbf{\log \left|\frac{x+1}{x+2}\right| + C}\)

3. खंडशः समाकलन (Integration by Parts)

यह विधि दो फलनों के गुणनफल का समाकलन करने के लिए उपयोग होती है। इसका सूत्र है:

सूत्र: \(\int u \cdot v dx = u \int v dx - \int \left[ \frac{du}{dx} \cdot \int v dx \right] dx\)

पहला और दूसरा फलन चुनने के लिए ILATE नियम का प्रयोग करें:
I (Inverse), L (Logarithmic), A (Algebraic), T (Trigonometric), E (Exponential).

उदाहरण 17

प्रश्न: \(\int x \cos x dx\)

हल:
ILATE नियम के अनुसार, u = x (Algebraic) और v = \(\cos x\) (Trigonometric).
\(\int x \cos x dx = x \int \cos x dx - \int \left[ \frac{d(x)}{dx} \cdot \int \cos x dx \right] dx\)
\( = x (\sin x) - \int [1 \cdot (\sin x)] dx = x \sin x - \int \sin x dx\)
\( = x \sin x - (-\cos x) + C = \mathbf{x \sin x + \cos x + C}\)

7.7 निश्चित समाकलन (Definite Integral)

अनिश्चित समाकलन हमें फलनों का एक परिवार (F(x)+C) देता है, जबकि निश्चित समाकलन हमें एक अद्वितीय मान (unique value) देता है।

कलन की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Calculus):
यदि \(\int f(x)dx = F(x)\) है, तो \(\int_{a}^{b} f(x)dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\)

यहाँ, \(a\) निम्न सीमा (lower limit) और \(b\) उच्च सीमा (upper limit) कहलाती है। ज्यामितीय रूप से, \(\int_{a}^{b} f(x)dx\) वक्र \(y = f(x)\), x-अक्ष, और रेखाओं \(x=a\) व \(x=b\) के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है।

निश्चित समाकलन द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल।

उदाहरण 25 (i)

प्रश्न: \(\int_{2}^{3} x^2 dx\)

हल:
हम जानते हैं, \(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}\).
तो, \(\int_{2}^{3} x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{2}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3}\)
\( = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = 9 - \frac{8}{3} = \frac{27-8}{3} = \mathbf{\frac{19}{3}}\)

7.10 निश्चित समाकलनों के गुणधर्म (Properties of Definite Integrals)

ये गुणधर्म निश्चित समाकलन के सवालों को, खासकर मुश्किल सवालों को, बहुत आसान बना देते हैं।

• P₀: \(\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(t)dt\)
• P₁: \(\int_{a}^{b} f(x)dx = -\int_{b}^{a} f(x)dx\)
• P₂: \(\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx\)
• P₃ (King's Property): \(\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x)dx\) (यह बहुत महत्वपूर्ण है!)
• P₄: \(\int_{0}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f(a-x)dx\) (P₃ का एक विशेष रूप)
• P₅: \(\int_{0}^{2a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f(x)dx + \int_{0}^{a} f(2a-x)dx\)
• P₆: \(\int_{0}^{2a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx, \text{ यदि } f(2a-x) = f(x) \text{ और } 0, \text{ यदि } f(2a-x) = -f(x)\)
• P₇ (सम-विषम फलन): \(\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx, \text{ यदि } f(x) \text{ सम फलन है } (f(-x) = f(x))\)
  \( = 0, \text{ यदि } f(x) \text{ विषम फलन है } (f(-x) = -f(x))\)

सभी प्रश्नावली के विस्तृत हल (नमूना)

प्रश्नावली 7.1 (नमूना हल)

प्रश्न 6. \(\int(4e^{3x} + 1)dx\)
हल: \( = \int 4e^{3x} dx + \int 1 dx = 4 \int e^{3x} dx + x = 4 \left(\frac{e^{3x}}{3}\right) + x + C = \mathbf{\frac{4}{3}e^{3x} + x + C}\)

प्रश्नावली 7.2 (नमूना हल)

प्रश्न 1. \(\int \frac{2x}{1+x^2} dx\)
हल: माना \(t = 1+x^2\), तो \(dt = 2x dx\).
\( = \int \frac{1}{t} dt = \log|t| + C = \mathbf{\log|1+x^2| + C}\)

प्रश्नावली 7.5 (नमूना हल)

प्रश्न 1. \(\int \frac{x}{(x+1)(x+2)} dx\)
हल: आंशिक भिन्नों से, \(\frac{x}{(x+1)(x+2)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{2}{x+2}\).
\( = \int(\frac{-1}{x+1} + \frac{2}{x+2}) dx = -\log|x+1| + 2\log|x+2| + C = \mathbf{\log\frac{(x+2)^2}{|x+1|} + C}\)

अतिरिक्त अभ्यास प्रश्न (20 New Practice Questions)

1. \(\int(\tan x + \cot x)^2 dx\)
2. \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}}\)
3. \(\int \frac{x^2 \tan^{-1}(x^3)}{1+x^6} dx\)
4. \(\int \frac{\sin 2x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx\)
5. \(\int (x+3)\sqrt{x^2+1} dx\)
6. \(\int \frac{dx}{x(x^5+1)}\)
7. \(\int (\log x)^2 dx\)
8. \(\int e^{2x} \cos(3x) dx\)
9. \(\int \frac{x^2-x+1}{x^2+1} dx\)
10. \(\int \frac{dx}{5 - 4 \cos x}\)
11. \(\int_0^1 x(1-x)^{99} dx\)
12. \(\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}\)
13. \(\int_{-1}^1 \sin^5 x \cos^4 x dx\)
14. \(\int_0^\pi |\cos x| dx\)
15. \(\int_0^1 \log(\frac{1}{x} - 1) dx\)
16. \(\int e^x (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}) dx\)
17. \(\int \sqrt{\tan x} dx\)
18. \(\int_0^{\pi/4} \log(1+\tan x) dx\)
19. \(\int \frac{dx}{\sqrt{5x-6-x^2}}\)
20. \(\int \frac{x e^x}{(x+1)^2} dx\)

उत्तर कुंजी:

1. \(\tan x - \cot x - 4x + C\) | 2. \(\tan^{-1}(e^x) + C\) | 3. \(\frac{1}{6} (\tan^{-1}(x^3))^2 + C\) | 4. \(\tan^{-1}(\tan^2 x) + C\) | 5. \(\frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + \frac{3}{2} \log|x+\sqrt{x^2+1}| + C\) | 6. \(\frac{1}{5}\log|\frac{x^5}{x^5+1}| + C\) | 7. \(x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C\) | 8. \(\frac{e^{2x}}{13}(2\cos(3x)+3\sin(3x)) + C\) | 9. \(x - \frac{1}{2}\log(x^2+1) + C\) | 10. \(\frac{2}{3} \tan^{-1}(3 \tan(\frac{x}{2})) + C\) | 11. \(1/10100\) | 12. \(\pi/4\) | 13. 0 (विषम फलन) | 14. 2 | 15. 0 | 16. \(\frac{e^x}{x} + C\) | 17. (यह एक लंबा हल है) | 18. \((\pi/8) \log 2\) | 19. \(\sin^{-1}(2x-5) + C\) | 20. \(\frac{e^x}{x+1} + C\)

बोर्ड परीक्षा के लिए त्वरित पुनरावृत्ति सारांश

1. समाकलन क्या है?

• यह अवकलन का व्युत्क्रम है।
• अनिश्चित समाकलन: \(\int f(x)dx = F(x) + C\)
• निश्चित समाकलन: \(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\)

2. महत्वपूर्ण सूत्र:

• सभी मानक सूत्र याद करें।
• विशेष सूत्र: \(\int \frac{dx}{x^2-a^2}\), \(\int \frac{dx}{a^2-x^2}\), \(\int \frac{dx}{x^2+a^2}\)
• वर्गमूल वाले सूत्र: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}\), \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\), \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}\)

3. समाकलन की विधियाँ:

• प्रतिस्थापन: \(f(g(x)) \cdot g'(x)\) रूप के लिए।
• आंशिक भिन्न: \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) रूप के लिए।
• खंडशः: दो फलनों के गुणनफल के लिए (ILATE नियम)।

4. विशेष रूप:

• \(\int e^x[f(x) + f'(x)]dx = e^x f(x) + C\)

5. निश्चित समाकलन के गुणधर्म (सबसे महत्वपूर्ण):

• King's Property (P₃): \(\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx\). यह 90% सवालों में काम आता है।
• सम-विषम (P₇): सीमा \(-a\) से \(a\) हो तो हमेशा जांचें। विषम होने पर उत्तर सीधा 0 होता है।

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