Bihar Board |कक्षा 12 गणित के अध्याय 9: अवकल समीकरण (Differential Equations) | Class 12 Maths Chapter 9: सम्पूर्ण आत्म-अध्ययन नोट्स

अध्याय 9: अवकल समीकरण (Differential Equations)

नमस्ते! मैं आपके लिए कक्षा 12 के गणित के अध्याय 9: अवकल समीकरण (Differential Equations) पर आधारित सम्पूर्ण आत्म-अध्ययन नोट्स (Self-Learning Notes) प्रस्तुत कर रहा हूँ। ये नोट्स विशेष रूप से भारतीय छात्रों के लिए, सरल और रोचक हिंदी भाषा में तैयार किए गए हैं। इन नोट्स को पढ़कर आप अवकल समीकरण की कोटि और घात, इसे हल करने की विभिन्न विधियाँ जैसे चर पृथक्करण, समघातीय और रैखिक अवकल समीकरण को आसानी से समझ सकते हैं और अपनी बोर्ड परीक्षा की तैयारी को मजबूत कर सकते हैं। चलिए, अवकल समीकरण की इस यात्रा को शुरू करते हैं!

प्रस्तावना (Introduction)

दोस्तों, अभी तक हमने सीखा है कि किसी फलन (function) \(f(x)\) का अवकलज (derivative) \(f'(x)\) कैसे निकालते हैं। लेकिन क्या हो अगर हमें अवकलज दिया गया हो और हमें मूल फलन का पता लगाना हो? जैसे, यदि \(\frac{dy}{dx} = g(x)\) दिया है, तो \(y = f(x)\) कैसे ज्ञात करें?

बस यहीं से अवकल समीकरण की कहानी शुरू होती है। यह एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें स्वतंत्र चर (independent variable, जैसे \(x\)), आश्रित चर (dependent variable, जैसे \(y\)) और आश्रित चर के अवकलज (जैसे \(\frac{dy}{dx}\), \(\frac{d^2y}{dx^2}\)) शामिल होते हैं।

यह अध्याय भौतिकी, रसायन, जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र जैसे कई क्षेत्रों में बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह हमें उन प्रक्रियाओं को समझने में मदद करता है जिनमें समय के साथ बदलाव होता है।

9.2 आधारभूत संकल्पनाएँ (Basic Concepts)

सबसे पहले, आइए कुछ बुनियादी शब्दों को समझें।

1. अवकल समीकरण (Differential Equation)

एक ऐसा समीकरण जिसमें स्वतंत्र चर (जैसे \(x\)) के सापेक्ष आश्रित चर (जैसे \(y\)) के अवकलज शामिल हों, अवकल समीकरण कहलाता है।

• उदाहरण: \(\frac{dy}{dx} + y = 0\) एक अवकल समीकरण है।
• \(x + y = 7\) एक अवकल समीकरण नहीं है, क्योंकि इसमें कोई अवकलज नहीं है।

2. सामान्य अवकल समीकरण (Ordinary Differential Equation)

जब समीकरण में केवल एक ही स्वतंत्र चर के सापेक्ष अवकलज होते हैं, तो उसे सामान्य अवकल समीकरण कहते हैं। हमारे पाठ्यक्रम में हम केवल इन्हीं के बारे में पढ़ेंगे।

9.2.1 अवकल समीकरण की कोटि (Order)

किसी भी अवकल समीकरण की कोटि, उस समीकरण में मौजूद उच्चतम कोटि के अवकलज (highest order derivative) द्वारा निर्धारित होती है।

• \(\frac{dy}{dx}\) → प्रथम कोटि (Order 1)
• \(\frac{d^2y}{dx^2}\) → द्वितीय कोटि (Order 2)
• \(\frac{d^3y}{dx^3}\) → तृतीय कोटि (Order 3)

पहचानने का तरीका: समीकरण में \(d\) के ऊपर सबसे बड़ी संख्या देखें!

उदाहरण:

• \(\frac{dy}{dx} = e^x\) में उच्चतम अवकलज \(\frac{dy}{dx}\) (प्रथम कोटि) है। अतः, कोटि = 1।
• \(\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\) में उच्चतम अवकलज \(\frac{d^2y}{dx^2}\) (द्वितीय कोटि) है। अतः, कोटि = 2।
• \(\frac{d^3y}{dx^3} + x^2\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 = 0\) में उच्चतम अवकलज \(\frac{d^3y}{dx^3}\) (तृतीय कोटि) है। अतः, कोटि = 3।

9.2.2 अवकल समीकरण की घात (Degree)

किसी अवकल समीकरण की घात को परिभाषित करने के लिए, पहले यह सुनिश्चित करना होता है कि समीकरण, अवकलजों (\(y', y'', y'''\), आदि) में एक बहुपद (polynomial) हो।

शर्त: समीकरण में \(\sin(y')\), \(\log(\frac{dy}{dx})\), \(e^{y'''}\) जैसे पद नहीं होने चाहिए। अवकलज किसी फलन के अंदर नहीं होने चाहिए।

यदि यह शर्त पूरी होती है, तो:
घात (Degree): समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज की उच्चतम घात (power) ही उस समीकरण की घात होती है।

उदाहरण:

1. \(\left(\frac{d^3y}{dx^3}\right) + 2\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 - \frac{dy}{dx} + y = 0\)
   • कोटि: उच्चतम अवकलज \(\frac{d^3y}{dx^3}\) है, तो कोटि = 3।
   • घात: यह अवकलजों में एक बहुपद है। उच्चतम कोटि के अवकलज (\(\frac{d^3y}{dx^3}\)) की घात 1 है। तो, घात = 1।
2. \(\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{dy}{dx} - \sin^2y = 0\)
   • कोटि: उच्चतम अवकलज \(\frac{dy}{dx}\) है, तो कोटि = 1।
   • घात: यह \(\frac{dy}{dx}\) में एक बहुपद है। उच्चतम कोटि के अवकलज (\(\frac{dy}{dx}\)) की उच्चतम घात 2 है। तो, घात = 2। (यहाँ \(\sin^2y\) से कोई समस्या नहीं है क्योंकि \(y\) अवकलज नहीं है)।
3. \(\frac{dy}{dx} + \sin\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0\)
   • कोटि: उच्चतम अवकलज \(\frac{dy}{dx}\) है, तो कोटि = 1।
   • घात: यह अवकलजों में बहुपद नहीं है क्योंकि \(\frac{dy}{dx}\) पद \(\sin\) फलन के अंदर है। अतः, घात परिभाषित नहीं है।

याद रखें: कोटि और घात (यदि परिभाषित हो) हमेशा धनात्मक पूर्णांक (positive integers) होते हैं।

प्रश्नावली 9.1: विस्तृत हल

प्रश्न 1 से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

1. \(\frac{d^4y}{dx^4} + \sin(y''') = 0\)
   हल: कोटि = 4, घात परिभाषित नहीं है (क्योंकि \(\sin(y''')\) है)।
2. \(y' + 5y = 0\)
   हल: कोटि = 1, घात = 1।
3. \(\left(\frac{ds}{dt}\right)^4 + 3s\left(\frac{d^2s}{dt^2}\right) = 0\)
   हल: उच्चतम अवकलज \(\frac{d^2s}{dt^2}\) है, तो कोटि = 2। इसकी घात 1 है, अतः घात = 1।
4. \(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^2 + \cos\left(\frac{dy}{dx}\right) = 0\)
   हल: कोटि = 2, घात परिभाषित नहीं है (क्योंकि \(\cos(\frac{dy}{dx})\) है)।
5. \(\frac{d^2y}{dx^2} = \cos 3x + \sin 3x\)
   हल: कोटि = 2, घात = 1।
6. \((y''')^2 + (y'')^3 + (y')^4 + y^5 = 0\)
   हल: उच्चतम अवकलज \(y'''\) है, तो कोटि = 3। इसकी घात 2 है, अतः घात = 2।
7. \(y''' + 2y'' + y' = 0\)
   हल: कोटि = 3, घात = 1।
8. \(y' + y = e^x\)
   हल: कोटي = 1, घात = 1।
9. \(y'' + (y')^2 + 2y = 0\)
   हल: कोटि = 2, घात = 1।
10. \(y'' + 2y' + \sin y = 0\)
    हल: कोटि = 2, घात = 1 (\(\sin y\) से कोई समस्या नहीं है)।
11. \(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \sin\left(\frac{dy}{dx}\right) + 1 = 0\) की घात है:
    उत्तर: (D) परिभाषित नहीं है।
12. \(2x^2\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right) - 3\left(\frac{dy}{dx}\right) + y = 0\) की कोटि है:
    उत्तर: (A) 2।

9.3 अवकल समीकरण का हल (Solution)

जैसे एक बीजीय समीकरण का हल एक संख्या होती है, वैसे ही एक अवकल समीकरण का हल एक फलन (function) होता है, जो उस समीकरण को संतुष्ट करता है।

हल के प्रकार:

1. व्यापक हल (General Solution): वह हल जिसमें उतने ही स्वेच्छ अचर (arbitrary constants, जैसे C, a, b) होते हैं, जितनी समीकरण की कोटि होती है।
2. विशिष्ट हल (Particular Solution): जब हम व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों को कुछ विशेष मान (initial conditions) देकर एक निश्चित हल प्राप्त करते हैं, तो उसे विशिष्ट हल कहते हैं। इसमें कोई स्वेच्छ अचर नहीं होता।

हल का सत्यापन (Verification of Solution)

यह जांचने के लिए कि कोई फलन \(y = f(x)\) दिए गए अवकल समीकरण का हल है या नहीं, हम निम्नलिखित कदम उठाते हैं:

1. दिए गए फलन \(y = f(x)\) का उतनी बार अवकलन करें जितनी समीकरण की कोटि है (\(y', y''\) आदि निकालें)।
2. इन अवकलजों (\(y, y', y''\)) के मानों को अवकल समीकरण के बाएँ पक्ष (LHS) में रखें।
3. यदि LHS को हल करने पर वह दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर आ जाता है, तो दिया गया फलन उस समीकरण का हल है।

उदाहरण: सत्यापित कीजिए कि फलन \(y = e^{-3x}\) अवकल समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} - 6y = 0\) का एक हल है।

हल:

दिया गया फलन: \(y = e^{-3x}\) ... (i)

अवकलन करने पर:

\(\frac{dy}{dx} = -3e^{-3x}\) ... (ii)

\(\frac{d^2y}{dx^2} = (-3)(-3e^{-3x}) = 9e^{-3x}\) ... (iii)

LHS में मान रखने पर:

LHS = \((\frac{d^2y}{dx^2}) + (\frac{dy}{dx}) - 6y\)

LHS = \((9e^{-3x}) + (-3e^{-3x}) - 6(e^{-3x})\)

LHS = \(9e^{-3x} - 3e^{-3x} - 6e^{-3x} = 9e^{-3x} - 9e^{-3x} = 0\)

LHS = RHS. अतः, यह सत्यापित हुआ।

प्रश्नावली 9.2: विस्तृत हल

1. \(y = e^x + 1\) : \(y'' - y' = 0\)
हल: \(y' = e^x\), \(y'' = e^x\). LHS = \(y'' - y' = e^x - e^x = 0 = \text{RHS}\). (सत्यापित)

2. \(y = x^2 + 2x + C\) : \(y' - 2x - 2 = 0\)
हल: \(y' = 2x + 2\). LHS = \((2x+2) - 2x - 2 = 0 = \text{RHS}\). (सत्यापित)

3. \(y = \cos x + C\) : \(y' + \sin x = 0\)
हल: \(y' = -\sin x\). LHS = \(-\sin x + \sin x = 0 = \text{RHS}\). (सत्यापित)

4. \(y = \sqrt{1+x^2}\) : \(y' = \frac{xy}{1+x^2}\)
हल: \(y' = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\). RHS = \(\frac{x \sqrt{1+x^2}}{1+x^2} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\). LHS = RHS. (सत्यापित)

5. \(y = Ax\) : \(xy' = y\) (\(x \neq 0\))
हल: \(y' = A\). LHS = \(x(A) = Ax\). RHS = \(y = Ax\). LHS = RHS. (सत्यापित)

6. \(y = x \sin x\) : \(xy' = y + x\sqrt{x^2-y^2}\)
हल: \(y' = \sin x + x \cos x\). LHS = \(x(\sin x + x \cos x) = x \sin x + x^2 \cos x\). RHS = \(x \sin x + x\sqrt{x^2 - x^2\sin^2x} = x \sin x + x(x\cos x) = x \sin x + x^2 \cos x\). LHS = RHS. (सत्यापित)

7. \(xy = \log y + C\) : \(y' = \frac{y^2}{1 - xy}\)
हल: अवकलन करने पर, \(y + xy' = \frac{1}{y}y' \Rightarrow y = y'(\frac{1}{y}-x) = y'(\frac{1-xy}{y}) \Rightarrow y' = \frac{y^2}{1-xy}\). (सत्यापित)

8. \(y - \cos y = x\) : \((y \sin y + \cos y + x)y' = y\)
हल: अवकलन करने पर, \(y' + (\sin y)y' = 1 \Rightarrow y'(1+\sin y) = 1 \Rightarrow y' = \frac{1}{1+\sin y}\). LHS = \((y \sin y + \cos y + y - \cos y) \frac{1}{1+\sin y} = \frac{y(\sin y + 1)}{1+\sin y} = y = \text{RHS}\). (सत्यापित)

9. \(x + y = \tan^{-1}y\) : \(y^2y' + y^2 + 1 = 0\)
हल: अवकलन करने पर, \(1 + y' = \frac{y'}{1+y^2} \Rightarrow 1 = y'(\frac{1}{1+y^2}-1) = y'(\frac{-y^2}{1+y^2})\). \(\Rightarrow 1+y^2 = -y^2y' \Rightarrow y^2y' + y^2 + 1 = 0\). (सत्यापित)

10. \(y = \sqrt{a^2-x^2}\) : \(x + y\frac{dy}{dx} = 0\)
हल: \(\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{-x}{y} \Rightarrow y\frac{dy}{dx} = -x \Rightarrow x+y\frac{dy}{dx}=0\). (सत्यापित)

11. चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है: (D) 4

12. तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है: (D) 0

9.4 प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरणों को हल करने की विधियाँ

9.4.1 विधि 1: पृथक्करणीय चर वाले अवकल समीकरण (Variables Separable)

पहचान: यदि आप समीकरण को \(f(y) dy = g(x) dx\) के रूप में लिख सकते हैं।

हल करने की विधि:

1. चरों को पृथक् करें: \(f(y) dy = g(x) dx\)
2. दोनों पक्षों का समाकलन करें: \(\int f(y) dy = \int g(x) dx + C\)

9.4.2 विधि 2: समघातीय अवकल समीकरण (Homogeneous)

पहचान: यदि \(\frac{dy}{dx}\) को \(g(y/x)\) या \(h(x/y)\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

हल करने की विधि:

1. \(y = vx\) मानें।
2. अवकलन करें: \(\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}\)।
3. मान रखें, यह हमेशा चर पृथक्करण में बदल जाएगा।
4. हल करें और अंत में \(v = y/x\) वापस रख दें।

9.4.3 विधि 3: रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations - LDE)

पहचान: समीकरण \(\frac{dy}{dx} + Py = Q\) के मानक रूप में होता है, जहाँ P और Q, \(x\) के फलन या अचर हैं।

हल करने की विधि:

1. P और Q को पहचानें।
2. समाकलन गुणक (I.F.) ज्ञात करें: \( \text{I.F.} = e^{\int P dx} \)
3. हल का सूत्र लगाएँ: \( y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \cdot \text{I.F.}) dx + C \)

20 नए अभ्यास प्रश्न (हल सहित)

भाग 1: कोटि, घात और सत्यापन

1. अवकल समीकरण \((y'')^2 + 3(y')^3 + 5y = 0\) की कोटि और घात क्या है?
हल: उच्चतम अवकलज \(y''\) (द्वितीय कोटि) है, अतः कोटि = 2। उच्चतम कोटि के अवकलज की घात 2 है, अतः घात = 2।

2. \(\frac{d^2y}{dx^2} = \sqrt[3]{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\) की घात क्या है?
हल: दोनों तरफ घन (cube) करने पर: \(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 = 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2\)। उच्चतम कोटि का अवकलज \(\frac{d^2y}{dx^2}\) है और इसकी घात 3 है। अतः, घात = 3।

3. सत्यापित करें कि \(y = \frac{A}{x} + B\) समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{2}{x}\frac{dy}{dx} = 0\) का हल है।
हल: \(y = Ax^{-1} + B\)
\(\frac{dy}{dx} = -Ax^{-2} = -\frac{A}{x^2}\)
\(\frac{d^2y}{dx^2} = 2Ax^{-3} = \frac{2A}{x^3}\)
LHS = \(\frac{2A}{x^3} + \frac{2}{x}\left(-\frac{A}{x^2}\right) = \frac{2A}{x^3} - \frac{2A}{x^3} = 0 = \text{RHS}\). (सत्यापित)

4. \(y = e^x \cos(x)\) किस अवकल समीकरण का हल है: (a) \(y''-2y'+2y=0\) (b) \(y''+y=0\)?
हल: \(y' = e^x\cos x - e^x\sin x\)
\(y'' = (e^x\cos x - e^x\sin x) - (e^x\sin x + e^x\cos x) = -2e^x\sin x\)
विकल्प (a) में मान रखने पर: \(y''-2y'+2y = (-2e^x\sin x) - 2(e^x\cos x - e^x\sin x) + 2(e^x\cos x) = -2e^x\sin x - 2e^x\cos x + 2e^x\sin x + 2e^x\cos x = 0\)। अतः, विकल्प (a) सही है।

भाग 2: चर पृथक्करण विधि

5. \(\frac{dy}{dx} = e^{x-y}\) का व्यापक हल ज्ञात करें।
हल: \(\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^{-y} \Rightarrow e^y dy = e^x dx\)। समाकलन करने पर, \(\int e^y dy = \int e^x dx \Rightarrow e^y = e^x + C\)।

6. \((1+x^2)dy = (1+y^2)dx\) का हल करें।
हल: \(\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}\)। समाकलन करने पर, \(\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2} \Rightarrow \tan^{-1}y = \tan^{-1}x + C\)।

7. \(\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}\), दिया है \(y=1\) जब \(x=0\). विशिष्ट हल ज्ञात करें।
हल: \(\tan^{-1}y = \tan^{-1}x + C\)। \(x=0, y=1\) रखने पर, \(\tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(0) + C \Rightarrow \frac{\pi}{4} = 0 + C \Rightarrow C=\frac{\pi}{4}\)। विशिष्ट हल: \(\tan^{-1}y = \tan^{-1}x + \frac{\pi}{4}\)।

8. एक वक्र बिंदु (1, e) से गुजरता है और उसकी प्रवणता \(\frac{y}{x}\) है। वक्र का समीकरण ज्ञात करें।
हल: प्रवणता \(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \Rightarrow \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}\)। समाकलन करने पर, \(\log|y| = \log|x| + C\)। बिंदु (1, e) रखने पर, \(\log e = \log 1 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C=1\)। हल: \(\log|y| = \log|x| + 1 \Rightarrow \log|y| - \log|x| = 1 \Rightarrow \log|\frac{y}{x}| = 1 \Rightarrow \frac{y}{x} = e \Rightarrow y = ex\)।

9. किसी जनसंख्या की वृद्धि दर वर्तमान जनसंख्या के समानुपाती है। यदि 25 वर्षों में जनसंख्या दोगुनी हो जाती है, तो k (समानुपात स्थिरांक) का मान क्या है?
हल: समीकरण: \(\frac{dP}{dt} = kP \Rightarrow \frac{dP}{P} = k dt\)। हल: \(\log P = kt + C\)। मान लें \(t=0\) पर \(P=P_0\), तो \(C=\log P_0\)। \(\log P = kt + \log P_0 \Rightarrow \log(P/P_0) = kt\)। दिया है \(t=25\) पर \(P=2P_0\)। \(\log(2P_0/P_0) = k(25) \Rightarrow \log 2 = 25k \Rightarrow k = \frac{\log 2}{25}\)।

भाग 3: समघातीय समीकरण

10. \(x^2 dy = (x^2-y^2) dx\) को हल करें।
हल: \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^2-y^2}{x^2} = 1 - (\frac{y}{x})^2\)। \(y=vx\) रखने पर, \(v+x\frac{dv}{dx} = 1-v^2 \Rightarrow x\frac{dv}{dx} = 1-v-v^2\)। चर पृथक्करण से हल करें।

11. \((x+y)dy + (x-y)dx = 0\) को हल करें।
हल: \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x-y}{x+y} = \frac{y-x}{y+x} = \frac{(y/x)-1}{(y/x)+1}\)। \(y=vx\) रखने पर, \(v+x\frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1} \Rightarrow x\frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1}-v = \frac{v-1-v^2-v}{v+1} = -\frac{v^2+1}{v+1}\)। \(\frac{v+1}{v^2+1}dv = -\frac{dx}{x}\)। \(\int \frac{v}{v^2+1}dv + \int \frac{1}{v^2+1}dv = -\int \frac{dx}{x}\)। \(\frac{1}{2}\log(v^2+1) + \tan^{-1}v = -\log x + C\)। v का मान वापस रखें।

12. \(x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)\) का हल ज्ञात करें।
हल: \(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(\log(y/x)+1)\)। \(y=vx\) रखने पर, \(v+x\frac{dv}{dx} = v(\log v+1) \Rightarrow x\frac{dv}{dx} = v\log v\)। \(\frac{dv}{v\log v} = \frac{dx}{x}\)। समाकलन करने पर, \(\log(\log v) = \log x + \log C = \log(Cx)\)। \(\log v = Cx \Rightarrow v = e^{Cx}\)। \(\frac{y}{x} = e^{Cx} \Rightarrow y = x e^{Cx}\)।

13. \((x^2-xy)dy = y^2 dx\) को हल करें।
हल: \(\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2-xy} = \frac{(y/x)^2}{1-(y/x)}\)। \(y=vx\) से हल करें।

भाग 4: रैखिक अवकल समीकरण

14. \(\cos^2x \frac{dy}{dx} + y = \tan x\) को हल करें।
हल: \(\frac{dy}{dx} + (\sec^2x)y = \tan x \sec^2x\)। यहाँ \(P=\sec^2x, Q=\tan x \sec^2x\)। I.F. = \(e^{\int \sec^2x dx} = e^{\tan x}\)। हल: \(y \cdot e^{\tan x} = \int (\tan x \sec^2x) e^{\tan x} dx + C\)। \(\tan x = t\) रखने पर, \(y \cdot e^t = \int t e^t dt = te^t-e^t+C = (\tan x - 1)e^{\tan x} + C\)। \(y = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x}\)।

15. \((1+x^2)\frac{dy}{dx} + 2xy = \frac{1}{1+x^2}\) का हल ज्ञात करें।
हल: \(\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{1+x^2}y = \frac{1}{(1+x^2)^2}\)। \(P=\frac{2x}{1+x^2}\)। I.F. = \(e^{\int \frac{2x}{1+x^2}dx} = e^{\log(1+x^2)} = 1+x^2\)। हल: \(y(1+x^2) = \int \frac{1}{(1+x^2)^2}(1+x^2)dx = \int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x + C\)। \(y(1+x^2) = \tan^{-1}x + C\)।

16. \(x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x\) का हल ज्ञात करें।
हल: \(\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x}y = \frac{2}{x}\)। I.F. = \(e^{\int \frac{1}{x \log x}dx} = e^{\log(\log x)} = \log x\)। हल: \(y \log x = \int \frac{2}{x}\log x dx = (\log x)^2+C\)।

17. \(\frac{dy}{dx} = y \tan x - 2 \sin x\) का हल ज्ञात करें।
हल: \(\frac{dy}{dx} - (\tan x)y = -2\sin x\)। \(P=-\tan x\)। I.F. = \(e^{\int -\tan x dx} = e^{\log(\cos x)} = \cos x\)। हल: \(y \cos x = \int -2\sin x \cos x dx = -\int \sin 2x dx = \frac{\cos 2x}{2} + C\)।

भाग 5: मिश्रित प्रश्न

18. \(y dx - (x+2y^2)dy = 0\) को हल करें।
हल: इसे \(\frac{dx}{dy}\) के रूप में लिखें: \(\frac{dx}{dy} = \frac{x+2y^2}{y} = \frac{x}{y} + 2y \Rightarrow \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = 2y\)। यह \(y\) में एक रैखिक समीकरण है। I.F. = \(e^{\int -1/y dy} = e^{-\log y} = 1/y\)। हल: \(x(1/y) = \int 2y(1/y)dy = \int 2 dy = 2y+C \Rightarrow x = 2y^2 + Cy\)।

19. \((e^y+1)\cos x dx + e^y \sin x dy = 0\) को हल करें।
हल: चरों को पृथक् करें: \(\frac{\cos x}{\sin x}dx = -\frac{e^y}{e^y+1}dy \Rightarrow \cot x dx = -\frac{e^y}{e^y+1}dy\)। समाकलन करने पर, \(\log|\sin x| = -\log|e^y+1| + \log C \Rightarrow \log|\sin x| = \log\left(\frac{C}{e^y+1}\right) \Rightarrow \sin x (e^y+1) = C\)।

20. \(\frac{dy}{dx} = (y-x)^2\) का हल क्या है?
हल: \(y-x=t\) मानें। \(\frac{dy}{dx}-1 = \frac{dt}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = 1+\frac{dt}{dx}\)। समीकरण बनता है: \(1+\frac{dt}{dx} = t^2 \Rightarrow \frac{dt}{dx} = t^2-1 \Rightarrow \frac{dt}{t^2-1} = dx\)। समाकलन करने पर, \(\frac{1}{2}\log\left|\frac{t-1}{t+1}\right| = x+C\)। t का मान वापस रखने पर, \(\frac{1}{2}\log\left|\frac{y-x-1}{y-x+1}\right| = x+C\)।

अध्याय का संक्षिप्त सारांश (Quick Revision Summary)

अवधारणा (Concept)	पहचान (Identification)	हल करने की विधि (Method)
कोटि (Order)	समीकरण में उच्चतम अवकलज (Highest Derivative)	-
घात (Degree)	उच्चतम अवकलज की घात (Power), यदि समीकरण अवकलजों में बहुपद है।	-
चर पृथक्करण (Variable Separable)	समीकरण को \(f(y) dy = g(x) dx\) के रूप में लिखा जा सकता है।	दोनों पक्षों का समाकलन करें: \(\int f(y) dy = \int g(x) dx + C\)
समघातीय (Homogeneous)	\(\frac{dy}{dx}\) को \(g(y/x)\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।	1. \(y = vx\) रखें। 2. \(\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}\) रखें। 3. चर पृथक् करें और समाकलन करें। 4. \(v = y/x\) वापस रखें।
रैखिक (Linear)	\(\frac{dy}{dx} + Py = Q\) के मानक रूप में। (P, Q या तो x के फलन या अचर)	1. I.F. ज्ञात करें: \(e^{\int P dx}\) 2. हल: \(y \cdot (\text{I.F.}) = \int (Q \cdot \text{I.F.}) dx + C\)

निष्कर्ष

दोस्तों, अवकल समीकरण पहली बार में थोड़ा मुश्किल लग सकता है, लेकिन यह बहुत ही व्यवस्थित और तार्किक अध्याय है। यदि आप तीनों विधियों को पहचानना और उनके चरणों को सही ढंग से लागू करना सीख जाते हैं, तो आप किसी भी प्रश्न को आसानी से हल कर सकते हैं। खूब अभ्यास करें और हर सवाल को एक पहेली की तरह देखें जिसे सुलझाने में मजा आए!

आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!

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