Bihar Board class12 समाकलनों के अनुप्रयोग (Application of Integrals) Class 12 - सम्पूर्ण नोट्स, प्रश्न और हल

अध्याय 8: समाकलनों के अनुप्रयोग 🎓
Application of Integrals

इस अध्याय में

• भूमिका
• मूल संकल्पनाएँ
• हल किए गए उदाहरण
• प्रश्नावली 8.1
• विविध प्रश्नावली
• अतिरिक्त अभ्यास
• अध्याय का सारांश

8.1 भूमिका (Introduction)

नमस्ते! इस विस्तृत ब्लॉग पोस्ट में हम कक्षा 12 गणित के अध्याय 8, समाकलनों के अनुप्रयोग (Application of Integrals), का गहराई से अध्ययन करेंगे। यह पोस्ट विशेष रूप से छात्रों के लिए एक संपूर्ण self-learning guide के रूप में तैयार की गई है, ताकि आप बोर्ड परीक्षा की तैयारी आसानी से कर सकें। हम वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल (area under simple curves) ज्ञात करने की अवधारणाओं को समझेंगे, जिसमें निश्चित समाकलन (definite integrals) का उपयोग, वृत्त और दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल (area of circle and ellipse using integration), और प्रश्नावली 8.1 व विविध प्रश्नावली के हल शामिल हैं।

पिछली कक्षाओं में, आपने त्रिभुज, आयत, और वृत्त जैसी सरल ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र सीखे थे। लेकिन, जब हमें परवलय (parabola) या दीर्घवृत्त (ellipse) जैसे वक्रों से घिरे क्षेत्रों का क्षेत्रफल ज्ञात करना होता है, तो पारंपरिक ज्यामिति के सूत्र अपर्याप्त होते हैं। यहीं पर समाकलन गणित (Integral Calculus) हमारी मदद करता है। यह अध्याय हमें सिखाता है कि कैसे समाकलन एक शक्तिशाली उपकरण है जिसका उपयोग विभिन्न वक्रों द्वारा घिरे जटिल क्षेत्रों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

चित्र: समाकलन का उपयोग कर वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करना।

8.2 साधारण वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल

प्रमुख परिभाषाएँ और संकल्पनाएँ

वक्र $y = f(x)$ और x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल (ऊर्ध्वाधर पट्टी)

यदि हमें वक्र $y = f(x)$, x-अक्ष, और कोटियों (ordinates) $x = a$ तथा $x = b$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, तो हम इस क्षेत्र को बहुत सी पतली ऊर्ध्वाधर पट्टियों (vertical strips) से निर्मित मान सकते हैं।

• एक ऊर्ध्वाधर पट्टी की ऊँचाई $y$ और चौड़ाई $dx$ है।
• इस पट्टी का प्रारंभिक क्षेत्रफल ($dA$) = $y \,dx$ होता है।

कुल क्षेत्रफल सभी पट्टियों के क्षेत्रफलों का योग होता है, जिसे निश्चित समाकलन द्वारा दर्शाया जाता है:

$$ A = \int_{a}^{b} y \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx $$

वक्र $x = g(y)$ और y-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल (क्षैतिज पट्टी)

यदि हमें वक्र $x = g(y)$, y-अक्ष, और रेखाओं $y = c$ तथा $y = d$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना है, तो हम क्षैतिज पट्टियों (horizontal strips) का उपयोग करते हैं।

• एक क्षैतिज पट्टी की चौड़ाई $x$ और ऊँचाई $dy$ है।
• इस पट्टी का प्रारंभिक क्षेत्रफल ($dA$) = $x \,dy$ होता है।

कुल क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है:

$$ A = \int_{c}^{d} x \,dy = \int_{c}^{d} g(y) \,dy $$

ऋणात्मक क्षेत्रफल और वक्र का अक्ष को काटना

• ऋणात्मक क्षेत्रफल: यदि वक्र x-अक्ष के नीचे स्थित है, तो समाकलन का मान ऋणात्मक आता है। चूँकि क्षेत्रफल एक अदिश राशि है और हमेशा धनात्मक होता है, हम परिणाम का केवल संख्यात्मक मान (absolute value) लेते हैं: $A = \left| \int_{a}^{b} f(x) \,dx \right|$।
• जब वक्र अक्ष को काटता है: यदि वक्र का कुछ भाग x-अक्ष के ऊपर और कुछ भाग नीचे है, तो हम कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक भाग के क्षेत्रफल का अलग-अलग गणना करते हैं और उनके निरपेक्ष मानों को जोड़ते हैं। यदि $A_1$ (नीचे) और $A_2$ (ऊपर) दो क्षेत्र हैं, तो कुल क्षेत्रफल $A = |A_1| + A_2$ होगा।

हल किए गए महत्वपूर्ण उदाहरण

उदाहरण 1: वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

देखें हल

हल:

1. दिए गए वृत्त का केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या '$a$' है।
2. वृत्त x-अक्ष और y-अक्ष दोनों के परितः सममित (symmetric) है। अतः, कुल क्षेत्रफल = $4 \times$ (प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल)।
3. प्रथम चतुर्थांश में, $x$ की सीमा $0$ से $a$ तक है। समीकरण से, $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ (चूंकि प्रथम चतुर्थांश में $y$ धनात्मक है)।
4. प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल: $$ A_1 = \int_{0}^{a} y \,dx = \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx $$
5. हम मानक सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करते हैं।
6. $$ A_1 = \left[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \right]_{0}^{a} $$
7. सीमाएँ लागू करने पर: $$ A_1 = \left( \frac{a}{2}\sqrt{a^2 - a^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{a}{a}\right) \right) - \left( 0 + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(0) \right) $$ $$ A_1 = \left( 0 + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(1) \right) - 0 = \frac{a^2}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi a^2}{4} $$
8. कुल क्षेत्रफल $A = 4 \times A_1 = 4 \times \frac{\pi a^2}{4} = \pi a^2$ ।

उत्तर: $\pi a^2$ वर्ग इकाई।

उदाहरण 2: दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

देखें हल

हल:

1. यह दीर्घवृत्त भी x-अक्ष और y-अक्ष के परितः सममित है। कुल क्षेत्रफल = $4 \times$ (प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल)।
2. प्रथम चतुर्थांश में, $x$ की सीमा $0$ से $a$ तक है। समीकरण से $y$ का मान निकालने पर: $$ \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2} \implies y = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2} $$
3. प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल: $$ A_1 = \int_{0}^{a} y \,dx = \int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx = \frac{b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx $$
4. पिछले उदाहरण से, हम जानते हैं कि $\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx = \frac{\pi a^2}{4}$।
5. $$ A_1 = \frac{b}{a} \left( \frac{\pi a^2}{4} \right) = \frac{\pi ab}{4} $$
6. कुल क्षेत्रफल $A = 4 \times A_1 = 4 \times \frac{\pi ab}{4} = \pi ab$ ।

उत्तर: $\pi ab$ वर्ग इकाई।

उदाहरण 3: रेखा $y = 3x + 2$, x-अक्ष, और कोटियों $x = –1$ तथा $x = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

देखें हल

हल:

1. रेखा $y = 3x + 2$ x-अक्ष को तब काटती है जब $y=0$, अर्थात $3x+2=0 \implies x = -2/3$।
2. यह बिंदु $(-2/3)$ हमारी सीमा $[-1, 1]$ के बीच में है।
   • अंतराल $[-1, -2/3]$ में, रेखा x-अक्ष के नीचे है ($y < 0$)।
   • अंतराल $[-2/3, 1]$ में, रेखा x-अक्ष के ऊपर है ($y > 0$)।
3. कुल क्षेत्रफल = (पहले भाग का क्षेत्रफल) + (दूसरे भाग का क्षेत्रफल) $$ A = \left| \int_{-1}^{-2/3} (3x + 2) \,dx \right| + \int_{-2/3}^{1} (3x + 2) \,dx $$
4. समाकलन करने पर, $\int(3x+2)dx = \frac{3x^2}{2} + 2x$ ।
5. पहला भाग: $$ \left[ \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{-2/3} = \left(\frac{3(-2/3)^2}{2} + 2(\frac{-2}{3})\right) - \left(\frac{3(-1)^2}{2} + 2(-1)\right) = (\frac{2}{3} - \frac{4}{3}) - (\frac{3}{2} - 2) = -\frac{2}{3} - (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{6} $$ क्षेत्रफल $= |-1/6| = 1/6$.
6. दूसरा भाग: $$ \left[ \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-2/3}^{1} = \left(\frac{3(1)^2}{2} + 2(1)\right) - \left(\frac{3(-2/3)^2}{2} + 2(\frac{-2}{3})\right) = (\frac{3}{2} + 2) - (-\frac{2}{3}) = \frac{7}{2} + \frac{2}{3} = \frac{25}{6} $$
7. कुल क्षेत्रफल $= \frac{1}{6} + \frac{25}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$।

उत्तर: $\frac{13}{3}$ वर्ग इकाई।

उदाहरण 4: $x = 0$ और $x = 2\pi$ के मध्य वक्र $y = \cos x$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

देखें हल

हल:

1. वक्र $y = \cos x$ अंतराल $[0, 2\pi]$ में x-अक्ष को $x=\pi/2$ और $x=3\pi/2$ पर काटता है।
2. क्षेत्र तीन भागों में विभाजित है:
   • $[0, \pi/2]$ : $\cos x \ge 0$ (ऊपर)
   • $[\pi/2, 3\pi/2]$ : $\cos x \le 0$ (नीचे)
   • $[3\pi/2, 2\pi]$ : $\cos x \ge 0$ (ऊपर)
3. कुल क्षेत्रफल: $$ A = \int_{0}^{\pi/2} \cos x \,dx + \left| \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos x \,dx \right| + \int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos x \,dx $$
4. समाकलन करने पर, $\int \cos x \,dx = \sin x$ ।
5. पहला भाग: $[\sin x]_{0}^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$।
6. दूसरा भाग: $[\sin x]_{\pi/2}^{3\pi/2} = \sin(3\pi/2) - \sin(\pi/2) = -1 - 1 = -2$। क्षेत्रफल $= |-2| = 2$।
7. तीसरा भाग: $[\sin x]_{3\pi/2}^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(3\pi/2) = 0 - (-1) = 1$।
8. कुल क्षेत्रफल $= 1 + 2 + 1 = 4$।

उत्तर: $4$ वर्ग इकाई।

अभ्यास प्रश्न: प्रश्नावली 8.1

प्रश्न 1. दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

देखें हल

हल:

यहाँ $a^2=16 \implies a=4$ और $b^2=9 \implies b=3$।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\pi ab$ होता है।
क्षेत्रफल = $\pi \times 4 \times 3 = 12\pi$ वर्ग इकाई।

उत्तर: $12\pi$ वर्ग इकाई।

प्रश्न 2. दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

देखें हल

हल:

यहाँ $a^2=4 \implies a=2$ और $b^2=9 \implies b=3$।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\pi ab$ होता है।
क्षेत्रफल = $\pi \times 2 \times 3 = 6\pi$ वर्ग इकाई।

उत्तर: $6\pi$ वर्ग इकाई।

प्रश्न 3. प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $x^2 + y^2 = 4$, और रेखाओं $x = 0, x = 2$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:

(A) $\pi$ (B) $2\pi$ (C) $3\pi$ (D) $4\pi$

देखें हल

हल:

यह वृत्त के चौथाई भाग का क्षेत्रफल है जिसकी त्रिज्या $a=\sqrt{4}=2$ है।
कुल वृत्त का क्षेत्रफल $\pi a^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$।
प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} \times 4\pi = \pi$ वर्ग इकाई।

सही उत्तर: (A) $\pi$

प्रश्न 4. वक्र $y^2 = 4x$, y-अक्ष और रेखा $y = 3$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:

(A) 2 (B) 9/4 (C) 9/3 (D) 9/2

देखें हल

हल:

यहाँ हमें y-अक्ष के साथ क्षेत्रफल ज्ञात करना है, इसलिए क्षैतिज पट्टियों का उपयोग करेंगे।
सीमाएँ $y=0$ से $y=3$ तक हैं। वक्र से $x = y^2/4$ है। $$ A = \int_{0}^{3} x \,dy = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \,dy = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3} $$ $$ A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times 9 = \frac{9}{4} $$

सही उत्तर: (B) 9/4

विविध प्रश्नावली (हल सहित)

प्रश्न 1. (i) $y = x^2; x = 1, x = 2$ और x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

देखें हल

हल:

क्षेत्रफल = $\int_{1}^{2} y \,dx = \int_{1}^{2} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ वर्ग इकाई।

उत्तर: $\frac{7}{3}$ वर्ग इकाई।

प्रश्न 3. $x = 0$ और $x = 2\pi$ तथा वक्र $y = \sin x$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

देखें हल

हल:

वक्र $[0, \pi]$ में x-अक्ष के ऊपर और $[\pi, 2\pi]$ में नीचे है।
क्षेत्रफल = $\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx + \left| \int_{\pi}^{2\pi} \sin x \,dx \right|$
पहला भाग: $[-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 2$
दूसरा भाग: $[-\cos x]_{\pi}^{2\pi} = (-\cos 2\pi) - (-\cos \pi) = (-1) - (-(-1)) = -2$। निरपेक्ष मान 2 है।
कुल क्षेत्रफल = $2 + 2 = 4$ वर्ग इकाई।

उत्तर: 4 वर्ग इकाई।

प्रश्न 4. वक्र $y = x^3$, x-अक्ष और कोटियों $x = – 2, x = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:

(A) – 9 (B) – 15/4 (C) 15/4 (D) 17/4

देखें हल

हल:

वक्र $[-2, 0]$ में x-अक्ष के नीचे और $[0, 1]$ में ऊपर है।
क्षेत्रफल = $\left| \int_{-2}^{0} x^3 \,dx \right| + \int_{0}^{1} x^3 \,dx$
पहला भाग: $\left| [\frac{x^4}{4}]_{-2}^{0} \right| = |0 - \frac{(-2)^4}{4}| = | - \frac{16}{4}| = |-4| = 4$
दूसरा भाग: $[\frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - 0 = \frac{1}{4}$
कुल क्षेत्रफल = $4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$

सही उत्तर: (D) 17/4

प्रश्न 5. वक्र $y = x|x|$, x-अक्ष और कोटियों $x = –1$ तथा $x = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:

(A) 0 (B) 1/3 (C) 2/3 (D) 4/3

देखें हल

हल:

वक्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $y = -x^2$ (जब $x<0$) और $y = x^2$ (जब $x \ge 0$)।
क्षेत्रफल = $\left| \int_{-1}^{0} -x^2 \,dx \right| + \int_{0}^{1} x^2 \,dx$
पहला भाग: $\left| [-\frac{x^3}{3}]_{-1}^{0} \right| = |0 - (-\frac{(-1)^3}{3})| = | - \frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$
दूसरा भाग: $[\frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$
कुल क्षेत्रफल = $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

सही उत्तर: (C) 2/3

अतिरिक्त अभ्यास प्रश्न

1. प्रश्न: परवलय $y^2 = 16x$ और रेखा $x = 4$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
   
   देखें हल

   हल: समरूपता के कारण, कुल क्षेत्रफल = $2 \times \int_{0}^{4} y \,dx = 2 \int_{0}^{4} 4\sqrt{x} \,dx = 8 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{16}{3} [4^{3/2} - 0] = \frac{16}{3} \times 8 = \frac{128}{3}$ वर्ग इकाई।
2. प्रश्न: परवलय $y = x^2$ और रेखा $y = 4$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
   
   देखें हल

   हल: क्षैतिज पट्टियों का उपयोग करने पर, $x=\sqrt{y}$। समरूपता के कारण, क्षेत्रफल = $2 \int_{0}^{4} x \,dy = 2 \int_{0}^{4} \sqrt{y} \,dy = 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{4}{3} [4^{3/2}] = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{32}{3}$ वर्ग इकाई।
3. प्रश्न: परवलय $y^2 = 4ax$ और उसकी लैटस रेक्टम ($x=a$) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
   
   देखें हल

   हल: कुल क्षेत्रफल = $2 \int_{0}^{a} \sqrt{4ax} \,dx = 4\sqrt{a} \int_{0}^{a} \sqrt{x} \,dx = 4\sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{a} = \frac{8\sqrt{a}}{3} [a^{3/2}] = \frac{8a^2}{3}$ वर्ग इकाई।

सूत्रों की व्युत्पत्ति (Proof-Type Questions)

उदाहरण 1 और 2 वास्तव में वृत्त और दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल सूत्रों की व्युत्पत्ति हैं। ये दर्शाते हैं कि समाकलन कैसे काम करता है।

वृत्त के क्षेत्रफल ($\pi a^2$) की व्युत्पत्ति

1. वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के लिए, प्रथम चतुर्थांश में $y = \sqrt{a^2 - x^2}$।
2. क्षेत्रफल $A_1 = \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx = \frac{\pi a^2}{4}$।
3. कुल क्षेत्रफल (समरूपता से) $A = 4 \times A_1 = 4 \times \frac{\pi a^2}{4} = \pi a^2$।

दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल ($\pi ab$) की व्युत्पत्ति

1. दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए, प्रथम चतुर्थांश में $y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$।
2. क्षेत्रफल $A_1 = \int_{0}^{a} \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \,dx = \frac{b}{a} \left( \frac{\pi a^2}{4} \right) = \frac{\pi ab}{4}$।
3. कुल क्षेत्रफल (समरूपता से) $A = 4 \times A_1 = 4 \times \frac{\pi ab}{4} = \pi ab$।

अध्याय का सारांश (Quick Revision Summary)

• मूल अवधारणा: समाकलन का उपयोग वक्रों द्वारा घिरे क्षेत्रों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
• x-अक्ष के साथ क्षेत्रफल: $A = \int_{a}^{b} y \,dx$
• y-अक्ष के साथ क्षेत्रफल: $A = \int_{c}^{d} x \,dy$
• ऋणात्मक मान: यदि समाकलन का मान ऋणात्मक आता है, तो क्षेत्रफल के लिए उसका निरपेक्ष मान (absolute value) लें।
• समरूपता (Symmetry): वृत्त, दीर्घवृत्त जैसे सममित वक्रों के लिए, एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कर उसे 4 से गुणा करना एक प्रभावी तरीका है।
• महत्वपूर्ण सूत्र: $\int \sqrt{a^2 - x^2} \,dx$ का सूत्र वृत्त और दीर्घवृत्त के प्रश्नों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

समाकलन गणित की जड़ें प्राचीन यूनानी गणितज्ञों द्वारा विकसित "निःशेषता विधि" (Method of Exhaustion) में हैं। 17वीं शताब्दी में न्यूटन और लाइबनिट्ज ने स्वतंत्र रूप से कैलकुलस का विकास किया और अवकलन (differentiation) तथा समाकलन (integration) के बीच व्युत्क्रम संबंध स्थापित किया। लाइबनिट्ज ने योगफल के प्रतीक '$\int$' का उपयोग किया, जो आज भी प्रचलित है।