Class 10 chapter 07 -निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) |Revision notes |Exercise solved

अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

परिचय (Introduction)

यह अध्याय हमें बताता है कि कैसे बीजगणित का उपयोग करके ज्यामितीय आकृतियों और उनके गुणों का अध्ययन किया जा सकता है। यह एक बहुत ही उपयोगी साधन है और इसका प्रयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग, समुद्री परिवहन, भूकंप विज्ञान और कला जैसे कई क्षेत्रों में होता है।

कक्षा IX में आपने सीखा था कि किसी समतल (plane) पर किसी बिंदु की स्थिति बताने के लिए हमें निर्देशांक अक्षों (coordinate axes) के एक युग्म की आवश्यकता होती है।

• x-निर्देशांक (भुज / Abscissa): किसी बिंदु की y-अक्ष से दूरी उस बिंदु का x-निर्देशांक या भुज कहलाती है।
• y-निर्देशांक (कोटि / Ordinate): किसी बिंदु की x-अक्ष से दूरी उस बिंदु का y-निर्देशांक या कोटि कहलाती है।
• x-अक्ष पर बिंदु: x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक \( (x, 0) \) के रूप के होते हैं।
• y-अक्ष पर बिंदु: y-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक \( (0, y) \) के रूप के होते हैं।

(स्रोत में दिए गए खेल का उद्देश्य निर्देशांकों को पहचानने और उन्हें आलेखित करने का अभ्यास करना है। बिंदुओं को मिलाने पर आपको एक चित्र प्राप्त होगा।)

दूरी सूत्र (Distance Formula)

यह सूत्र हमें दो बिंदुओं, जिनके निर्देशांक दिए गए हैं, के बीच की दूरी ज्ञात करने में मदद करता है।

एक ही अक्ष पर स्थित बिंदु:

• यदि दो बिंदु x-अक्ष पर स्थित हैं, जैसे A(4, 0) और B(6, 0), तो उनके बीच की दूरी उनके भुजों का अंतर होती है। आकृति 7.2 से OA = 4 मात्रक और OB = 6 मात्रक हैं, इसलिए AB = OB - OA = 6 - 4 = 2 मात्रक।
• यदि दो बिंदु y-अक्ष पर स्थित हैं, जैसे C(0, 3) और D(0, 8), तो उनके बीच की दूरी उनकी कोटियों का अंतर होती है। CD = 8 - 3 = 5 मात्रक (आकृति 7.2 देखें)।

निर्देशांक अक्षों पर स्थित बिंदुओं के बीच दूरी:

आकृति 7.2 में, बिंदु C(0, 3) और A(4, 0) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। OA = 4 मात्रक और OC = 3 मात्रक हैं। समकोण त्रिभुज OAC में, \(AC^2 = OA^2 + OC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\)। इसलिए, \(AC = \sqrt{25} = 5\) मात्रक।

सामान्य दो बिंदुओं के बीच दूरी (पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग):

यदि दो बिंदु निर्देशांक अक्षों पर स्थित नहीं हैं, जैसे P(4, 6) और Q(6, 8) (आकृति 7.3), तो हम उनके बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं।

• P से x-अक्ष पर PR और Q से x-अक्ष पर QS लंब खींचिए। P से QS पर एक लंब PT खींचिए जो QS को T पर प्रतिच्छेद करे।
• तब, R और S के निर्देशांक क्रमशः (4, 0) और (6, 0) हैं। RS = 6 - 4 = 2 मात्रक।
• QS = 8 मात्रक और TS = PR = 6 मात्रक।
• QT = QS - TS = 8 - 6 = 2 मात्रक।
• PT = RS = 2 मात्रक।
• समकोण त्रिभुज PTQ में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, \(PQ^2 = PT^2 + QT^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\)।
• इसलिए, \(PQ = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) मात्रक।
• दो अलग-अलग चतुर्थांशों में स्थित बिंदुओं के लिए भी यही विधि लागू होती है।

दूरी सूत्र का व्युत्पत्ति (Derivation of Distance Formula):

मान लीजिए कोई दो बिंदु P\((x_1, y_1)\) और Q\((x_2, y_2)\) हैं (आकृति 7.5)।

• x-अक्ष पर PR और QS लंब खींचिए।
• P से QS पर एक लंब PT खींचिए जो उसे T पर प्रतिच्छेद करे।
• OR = \(x_1\), OS = \(x_2\)। RS = OS - OR = \(x_2 - x_1\) = PT। (या OR = \(|x_1|\), OS = \(|x_2|\), RS = \(|x_2 - x_1| = |x_1 - x_2|\), PT = \(|x_2 - x_1|\))
• SQ = \(y_2\), ST = PR = \(y_1\)। QT = SQ - ST = \(y_2 - y_1\)। (या SQ = \(|y_2|\), ST = \(|y_1|\), QT = \(|y_2 - y_1| = |y_1 - y_2|\))
• समकोण त्रिभुज PTQ में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, \(PQ^2 = PT^2 + QT^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\)।

दूरी सूत्र: P\((x_1, y_1)\) और Q\((x_2, y_2)\) के बीच की दूरी PQ है: \\[ PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \\] ध्यान दें कि दूरी हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है, इसलिए हम केवल धनात्मक वर्गमूल लेते हैं। हम \(PQ = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\) भी लिख सकते हैं।

मूल बिंदु से दूरी: बिंदु P(x, y) की मूल बिंदु O(0, 0) से दूरी OP है: \\[ OP = \sqrt{x^2 + y^2} \\]

उदाहरण हल (Solved Examples - Distance Formula)

उदाहरण 1:

क्या बिंदु (3, 2), (–2, –3) और (2, 3) एक त्रिभुज बनाते हैं? यदि हाँ, तो बताइए कि किस प्रकार का त्रिभुज बनता है।

हल: दिए गए बिंदुओं को P(3, 2), Q(–2, –3) और R(2, 3) मान लीजिए। दूरी सूत्र का उपयोग करके दूरियाँ ज्ञात करते हैं:

\(PQ = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (2 - (-3))^2} = \sqrt{(3 + 2)^2 + (2 + 3)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07\) (लगभग)

\(QR = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7.21\) (लगभग)

\(PR = \sqrt{(3 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \approx 1.41\) (लगभग)

जाँच करें कि क्या किन्हीं दो दूरियों का योग तीसरी दूरी से अधिक है:

\(PQ + PR = \sqrt{50} + \sqrt{2} \approx 7.07 + 1.41 = 8.48 > \sqrt{52}\)

\(PQ + QR = \sqrt{50} + \sqrt{52} \approx 7.07 + 7.21 = 14.28 > \sqrt{2}\)

\(PR + QR = \sqrt{2} + \sqrt{52} \approx 1.41 + 7.21 = 8.62 > \sqrt{50}\)

क्योंकि किन्हीं दो दूरियों का योग तीसरी दूरी से अधिक है, इसलिए ये बिंदु एक त्रिभुज बनाते हैं।

अब, प्रकार ज्ञात करने के लिए भुजाओं के वर्गों की जाँच करें:

\(PQ^2 = 50, QR^2 = 52, PR^2 = 2\)

यहाँ, \(PQ^2 + PR^2 = 50 + 2 = 52 = QR^2\)। पाइथागोरस प्रमेय के विलोम (converse) से, क्योंकि एक भुजा के वर्ग का योग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है, बिंदु P पर बना कोण 90° है।

इसलिए, PQR एक समकोण त्रिभुज है।

उदाहरण 2:

दर्शाइए कि बिंदु (1, 7), (4, 2), (–1, –1) और (–4, 4) एक वर्ग के शीर्ष हैं।

हल: दिए गए बिंदुओं को A(1, 7), B(4, 2), C(–1, –1) और D(–4, 4) मान लीजिए। वर्ग दर्शाने के लिए, हम दिखा सकते हैं कि इसकी सभी भुजाएँ बराबर हैं और दोनों विकर्ण बराबर हैं।

भुजाओं की लंबाई:

\(AB = \sqrt{(1 - 4)^2 + (7 - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\)

\(BC = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{(4 + 1)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\)

\(CD = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{(-1 + 4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\)

\(DA = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{(1 + 4)^2 + 3^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\)

यहाँ, AB = BC = CD = DA = \(\sqrt{34}\) है। चारों भुजाएँ बराबर हैं।

विकर्णों की लंबाई:

\(AC = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (7 - (-1))^2} = \sqrt{(1 + 1)^2 + (7 + 1)^2} = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}\)

\(BD = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(4 + 4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}\)

यहाँ, AC = BD = \(\sqrt{68}\) है। दोनों विकर्ण बराबर हैं।

क्योंकि चतुर्भुज ABCD की चारों भुजाएँ बराबर हैं और दोनों विकर्ण भी बराबर हैं, इसलिए चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।

उदाहरण 3:

आकृति 7.6 किसी कक्षा में रखे डेस्क की व्यवस्था दर्शाती है। आशिमा, भारती और कैमिल क्रमशः A(3, 1), B(6, 4) और C(8, 6) पर बैठी हैं। क्या आप सोचते हैं कि वे एक ही सीध (in a line) में बैठी हैं? सकारण उत्तर दीजिए।

हल: यह जाँचने के लिए कि बिंदु संरेखीय (collinear) हैं या नहीं, हम दूरियों का योग ज्ञात करते हैं। यदि किन्हीं दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर है, तो बिंदु संरेखीय हैं।

\(AB = \sqrt{(6 - 3)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) मात्रक

\(BC = \sqrt{(8 - 6)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) मात्रक

\(AC = \sqrt{(8 - 3)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) मात्रक

अब योग की जाँच करें: \(AB + BC = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = (3 + 2)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)

हम देखते हैं कि \(AB + BC = 5\sqrt{2}\) और \(AC = 5\sqrt{2}\) है।

क्योंकि \(AB + BC = AC\) है, इसलिए बिंदु A, B और C संरेखीय हैं। अतः वे तीनों एक ही सीध में बैठी हैं।

उदाहरण 4:

x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, ताकि बिंदु (x, y) बिंदुओं (7, 1) और (3, 5) से समदूरस्थ (equidistant) हो।

हल: मान लीजिए P(x, y) बिंदुओं A(7, 1) और B(3, 5) से समदूरस्थ है। इसका अर्थ है AP = BP दिया गया है। दोनों ओर वर्ग करने पर, \(AP^2 = BP^2\)।

\((x – 7)^2 + (y – 1)^2 = (x – 3)^2 + (y – 5)^2\)

\(x^2 – 14x + 49 + y^2 – 2y + 1 = x^2 – 6x + 9 + y^2 – 10y + 25\)

\(– 14x – 2y + 50 = – 6x – 10y + 34\)

\(– 14x + 6x – 2y + 10y + 50 – 34 = 0\)

\(– 8x + 8y + 16 = 0\)

पूरी समीकरण को –8 से भाग देने पर: \(x – y – 2 = 0\) या \(x – y = 2\)

यही x और y में वांछित संबंध है।

उदाहरण 5:

y-अक्ष पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं A(6, 5) और B(–4, 3) से समदूरस्थ हो।

हल: हम जानते हैं कि y-अक्ष पर स्थित कोई भी बिंदु \((0, y)\) के रूप का होता है। अतः, मान लीजिए कि बिंदु P(0, y) बिंदुओं A(6, 5) और B(–4, 3) से समदूरस्थ है। तब AP = BP होगा। वर्ग करने पर \(AP^2 = BP^2\)।

\((6 – 0)^2 + (5 – y)^2 = (–4 – 0)^2 + (3 – y)^2\)

\(36 + (25 – 10y + y^2) = 16 + (9 – 6y + y^2)\)

\(36 + 25 – 10y = 16 + 9 – 6y\)

\(61 – 10y = 25 – 6y\)

\(61 – 25 = 10y – 6y\)

\(36 = 4y \implies y = 9\)

अतः, वांछित बिंदु (0, 9) है।

अभ्यास 7.1 के विस्तृत उत्तर

1. बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए:

(i) (2, 3), (4, 1)

हल: दूरी = \(\sqrt{(4 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) मात्रक।

(ii) (– 5, 7), (– 1, 3)

हल: दूरी = \(\sqrt{(-1 - (-5))^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{(-1 + 5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) मात्रक।

(iii) (a, b), (– a, – b)

हल: दूरी = \(\sqrt{(-a - a)^2 + (-b - b)^2} = \sqrt{(-2a)^2 + (-2b)^2} = \sqrt{4a^2 + 4b^2} = \sqrt{4(a^2 + b^2)} = 2\sqrt{a^2 + b^2}\) मात्रक।

2. बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?

हल: दूरी = \(\sqrt{(36 - 0)^2 + (15 - 0)^2} = \sqrt{36^2 + 15^2} = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39\) मात्रक।

हाँ, यदि शहर A को (0,0) और B को (36,15) मानें, तो दूरी 39 km है।

3. निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु (1, 5), (2, 3) और (– 2, – 11) संरेखीय हैं।

हल: A(1, 5), B(2, 3), C(–2, –11)

\(AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \approx 2.23\)

\(BC = \sqrt{(-2-2)^2 + (-11-3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-14)^2} = \sqrt{16+196} = \sqrt{212} \approx 14.56\)

\(AC = \sqrt{(-2-1)^2 + (-11-5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-16)^2} = \sqrt{9+256} = \sqrt{265} \approx 16.27\)

चूंकि \(AB+BC = \sqrt{5} + \sqrt{212} \approx 2.23 + 14.56 = 16.79 \neq \sqrt{265} (\approx 16.27)\), बिंदु संरेखीय नहीं हैं।

4. जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5, – 2), (6, 4) और (7, – 2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

हल: A(5, –2), B(6, 4), C(7, –2)

\(AB = \sqrt{(6-5)^2 + (4-(-2))^2} = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{1+36} = \sqrt{37}\)

\(BC = \sqrt{(7-6)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-6)^2} = \sqrt{1+36} = \sqrt{37}\)

\(AC = \sqrt{(7-5)^2 + (-2-(-2))^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2\)

चूंकि AB = BC = \(\sqrt{37}\), यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

5. किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति 7.8 में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, "क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?" चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है।

हल: आकृति से अनुमानित निर्देशांक: A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4), D(6, 1).

\(AB = \sqrt{(6-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

\(BC = \sqrt{(9-6)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{3^2+(-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

\(CD = \sqrt{(6-9)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{(-3)^2+(-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

\(DA = \sqrt{(3-6)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

सभी भुजाएँ बराबर हैं। विकर्ण:

\(AC = \sqrt{(9-3)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{6^2+0^2} = \sqrt{36} = 6\)

\(BD = \sqrt{(6-6)^2 + (1-7)^2} = \sqrt{0^2+(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\)

विकर्ण भी बराबर हैं। अतः ABCD एक वर्ग है। चंपा सही है।

6. निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए:

(i) (– 1, – 2), (1, 0), (– 1, 2), (– 3, 0)

हल: A(–1, –2), B(1, 0), C(–1, 2), D(–3, 0)

AB = BC = CD = DA = \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). विकर्ण AC = 4, BD = 4. चारों भुजाएँ बराबर और विकर्ण बराबर। अतः यह एक वर्ग है।

(ii) (–3, 5), (3, 1), (0, 3), (–1, – 4)

हल: A(–3, 5), B(3, 1), C(0, 3), D(–1, –4)

\(AB = \sqrt{52}\), \(BC = \sqrt{13}\), \(AC = \sqrt{13}\). यहाँ \(BC + AC = \sqrt{13} + \sqrt{13} = 2\sqrt{13} = \sqrt{52} = AB\). बिंदु A, C, B संरेखीय हैं। कोई चतुर्भुज नहीं बनता है।

(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

हल: A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), D(1, 2)

AB = CD = \(\sqrt{10}\), BC = DA = \(\sqrt{18}\). सम्मुख भुजाएँ बराबर। विकर्ण AC = 2, BD = \(\sqrt{52}\). विकर्ण बराबर नहीं हैं। अतः यह एक समांतर चतुर्भुज है।

7. x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो (2, –5) और (–2, 9) से समदूरस्थ हैं।

हल: मान लीजिए बिंदु P(x, 0) है। PA = PB \(\implies PA^2 = PB^2\)

\((x-2)^2 + (0-(-5))^2 = (x-(-2))^2 + (0-9)^2\)

\((x-2)^2 + 25 = (x+2)^2 + 81\)

\(x^2 - 4x + 4 + 25 = x^2 + 4x + 4 + 81\)

\(-4x + 29 = 4x + 85 \implies -8x = 56 \implies x = -7\)

बिंदु (–7, 0) है।

8. y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिंदु P(2, – 3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।

हल: PQ = 10 \(\implies PQ^2 = 100\)

\((10-2)^2 + (y-(-3))^2 = 100\)

\(8^2 + (y+3)^2 = 100 \implies 64 + y^2 + 6y + 9 = 100\)

\(y^2 + 6y + 73 - 100 = 0 \implies y^2 + 6y - 27 = 0\)

\((y+9)(y-3) = 0 \implies y = -9\) या \(y = 3\)

y के मान –9 या 3 हैं।

9. यदि Q(0, 1) बिंदुओं P(5, –3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।

हल: PQ = QR \(\implies PQ^2 = QR^2\)

\((5-0)^2 + (-3-1)^2 = (x-0)^2 + (6-1)^2\)

\(25 + 16 = x^2 + 25 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4\)

जब x = 4, R(4, 6): \(QR = \sqrt{(4-0)^2+(6-1)^2} = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}\). \(PR = \sqrt{(4-5)^2+(6-(-3))^2} = \sqrt{1+81} = \sqrt{82}\).

जब x = –4, R(–4, 6): \(QR = \sqrt{(-4-0)^2+(6-1)^2} = \sqrt{16+25} = \sqrt{41}\). \(PR = \sqrt{(-4-5)^2+(6-(-3))^2} = \sqrt{81+81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}\).

10. x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x, y) बिंदुओं (3, 6) और (– 3, 4) से समदूरस्थ हो।

हल: PA = PB \(\implies PA^2 = PB^2\)

\((x-3)^2 + (y-6)^2 = (x-(-3))^2 + (y-4)^2\)

\(x^2-6x+9+y^2-12y+36 = x^2+6x+9+y^2-8y+16\)

\(-6x-12y+45 = 6x-8y+25\)

\(-12x-4y+20 = 0 \implies 3x+y-5 = 0\)

संबंध \(3x + y - 5 = 0\) है।

विभाजन सूत्र (Section Formula)

विभाजन सूत्र का उपयोग उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए किया जाता है जो दो दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को एक निश्चित अनुपात में आंतरिक रूप से (internally) विभाजित करता है।

व्युत्पत्ति (Derivation):

मान लीजिए दो बिंदु A\((x_1, y_1)\) और B\((x_2, y_2)\) हैं। मान लीजिए बिंदु P(x, y) रेखाखंड AB को आंतरिक रूप से \(m_1 : m_2\) के अनुपात में विभाजित करता है। त्रिभुज PAQ और त्रिभुज BPC समरूप होते हैं (AA समरूपता)।

\(\frac{PA}{BP} = \frac{AQ}{PC} = \frac{PQ}{BC} = \frac{m_1}{m_2}\)

AQ = \(x - x_1\), PC = \(x_2 - x\), PQ = \(y - y_1\), BC = \(y_2 - y\)

हल करने पर:

विभाजन सूत्र: बिंदु P(x,y) जो A\((x_1, y_1)\) और B\((x_2, y_2)\) को \(m_1 : m_2\) में विभाजित करता है: \\[ (x, y) = \left(\frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}\right) \\]

विशेष स्थिति (k : 1 अनुपात):

\\[ (x, y) = \left(\frac{kx_2 + x_1}{k + 1}, \frac{ky_2 + y_1}{k + 1}\right) \\]

मध्य-बिंदु सूत्र (Midpoint Formula):

जब अनुपात 1 : 1 होता है:

मध्य-बिंदु सूत्र: \\[ \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \\]

उदाहरण हल (Solved Examples - Section Formula)

उदाहरण 6:

उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (4, – 3) और (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से 3 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल: \(x_1=4, y_1=-3, x_2=8, y_2=5, m_1=3, m_2=1\).

\(x = \frac{3(8) + 1(4)}{3 + 1} = \frac{24 + 4}{4} = \frac{28}{4} = 7\)

\(y = \frac{3(5) + 1(-3)}{3 + 1} = \frac{15 - 3}{4} = \frac{12}{4} = 3\)

वांछित बिंदु (7, 3) है।

उदाहरण 7:

बिंदु (– 4, 6), बिंदुओं A(– 6, 10) और B(3, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल: मान लीजिए अनुपात \(m_1 : m_2\) है।

\(-4 = \frac{m_1(3) + m_2(-6)}{m_1 + m_2} \implies -4m_1 - 4m_2 = 3m_1 - 6m_2\)

\(-7m_1 = -2m_2 \implies \frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{7}\)

अनुपात 2 : 7 है। (y-निर्देशांक से भी पुष्टि की जा सकती है)

उदाहरण 8:

बिंदुओं A(2, – 2) और B(– 7, 4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल: P, AB को 1:2 में विभाजित करता है; Q, AB को 2:1 में विभाजित करता है।

P के निर्देशांक: \(\left(\frac{1(-7) + 2(2)}{1 + 2}, \frac{1(4) + 2(-2)}{1 + 2}\right) = \left(\frac{-7+4}{3}, \frac{4-4}{3}\right) = \left(\frac{-3}{3}, \frac{0}{3}\right) = (-1, 0)\)

Q के निर्देशांक: \(\left(\frac{2(-7) + 1(2)}{2 + 1}, \frac{2(4) + 1(-2)}{2 + 1}\right) = \left(\frac{-14+2}{3}, \frac{8-2}{3}\right) = \left(\frac{-12}{3}, \frac{6}{3}\right) = (-4, 2)\)

सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदु (–1, 0) और (–4, 2) हैं।

उदाहरण 9:

बिंदुओं (5, –6) और (–1, –4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को y-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करती है? इस प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

हल: मान लीजिए अनुपात k : 1 है। y-अक्ष पर x-निर्देशांक 0 होता है।

\(x = \frac{k(-1) + 1(5)}{k + 1} = 0 \implies -k + 5 = 0 \implies k = 5\)

अनुपात 5 : 1 है।

प्रतिच्छेदन बिंदु का y-निर्देशांक: \(y = \frac{5(-4) + 1(-6)}{5 + 1} = \frac{-20 - 6}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}\)

प्रतिच्छेदन बिंदु \(\left(0, -\frac{13}{3}\right)\) है।

उदाहरण 10:

यदि बिंदु A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(p, 3), एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।

हल: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं। AC का मध्य-बिंदु = BD का मध्य-बिंदु।

AC का मध्य-बिंदु: \(\left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = \left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

BD का मध्य-बिंदु: \(\left(\frac{8+p}{2}, \frac{2+3}{2}\right) = \left(\frac{8+p}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

x-निर्देशांकों की तुलना करने पर: \(\frac{15}{2} = \frac{8+p}{2} \implies 15 = 8+p \implies p = 7\)

p का मान 7 है।

अभ्यास 7.2 के विस्तृत उत्तर

1. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिंदुओं (–1, 7) और (4, –3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

हल: \(x_1=-1, y_1=7, x_2=4, y_2=-3, m_1=2, m_2=3\).

\(x = \frac{2(4)+3(-1)}{2+3} = \frac{8-3}{5} = 1\)

\(y = \frac{2(-3)+3(7)}{2+3} = \frac{-6+21}{5} = 3\)

बिंदु (1, 3) है।

2. बिंदुओं (4, –1) और (–2, –3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल: A(4,–1), B(–2,–3).

P (1:2 अनुपात): \(\left(\frac{1(-2)+2(4)}{1+2}, \frac{1(-3)+2(-1)}{1+2}\right) = \left(\frac{6}{3}, \frac{-5}{3}\right) = \left(2, -\frac{5}{3}\right)\)

Q (2:1 अनुपात): \(\left(\frac{2(-2)+1(4)}{2+1}, \frac{2(-3)+1(-1)}{2+1}\right) = \left(\frac{0}{3}, \frac{-7}{3}\right) = \left(0, -\frac{7}{3}\right)\)

बिंदु \(\left(2, -\frac{5}{3}\right)\) और \(\left(0, -\frac{7}{3}\right)\) हैं।

3. आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए... (निहारिका और प्रीत के झंडे)

हल: निहारिका (हरा झंडा) N(2, 25) (AD=100m, \(\frac{1}{4} \times 100 = 25\))।

प्रीत (लाल झंडा) P(8, 20) (\(\frac{1}{5} \times 100 = 20\))।

दोनों झंडों के बीच की दूरी NP = \(\sqrt{(8-2)^2 + (20-25)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36+25} = \sqrt{61}\) मीटर।

रश्मि (नीला झंडा) NP के मध्य-बिंदु M पर: \(M = \left(\frac{2+8}{2}, \frac{25+20}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{45}{2}\right) = \left(5, 22.5\right)\)

रश्मि को झंडा 5वीं पंक्ति में 22.5 मीटर की दूरी पर गाड़ना चाहिए।

4. बिंदुओं (– 3, 10) और (6, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु (– 1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है।

हल: माना अनुपात k:1 है। P(–1,6), A(–3,10), B(6,–8).

\(-1 = \frac{k(6)+1(-3)}{k+1} \implies -k-1 = 6k-3 \implies 7k = 2 \implies k = \frac{2}{7}\)

अनुपात 2 : 7 है।

5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं A(1, – 5) और B(– 4, 5) को मिलाने वाला रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

हल: माना अनुपात k:1 है। x-अक्ष पर y=0।

\(0 = \frac{k(5)+1(-5)}{k+1} \implies 5k-5=0 \implies k=1\)

अनुपात 1 : 1 है (अर्थात मध्य-बिंदु)।

विभाजन बिंदु का x-निर्देशांक: \(x = \frac{1(-4)+1(1)}{1+1} = \frac{-3}{2}\)

विभाजन बिंदु \(\left(-\frac{3}{2}, 0\right)\) है।

6. यदि बिंदु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5), इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।

हल: A(1,2), B(4,y), C(x,6), D(3,5). AC का मध्य-बिंदु = BD का मध्य-बिंदु.

\(\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\)

\(\left(\frac{1+x}{2}, 4\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{y+5}{2}\right)\)

\(\frac{1+x}{2} = \frac{7}{2} \implies 1+x=7 \implies x=6\)

\(4 = \frac{y+5}{2} \implies 8=y+5 \implies y=3\)

x = 6, y = 3.

7. बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2, – 3) है तथा B के निर्देशांक (1, 4) हैं।

हल: केंद्र C(2,–3) व्यास AB का मध्य-बिंदु है। A\((x_1,y_1)\), B(1,4).

\(2 = \frac{x_1+1}{2} \implies 4=x_1+1 \implies x_1=3\)

\(-3 = \frac{y_1+4}{2} \implies -6=y_1+4 \implies y_1=-10\)

A के निर्देशांक (3, –10) हैं।

8. यदि A और B क्रमशः (– 2, – 2) और (2, – 4) हो तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = \(\frac{3}{7}\) AB हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो।

हल: AP = \(\frac{3}{7}\)AB \(\implies\) PB = AB - AP = AB - \(\frac{3}{7}\)AB = \(\frac{4}{7}\)AB.

तो AP : PB = \(\frac{3}{7}\)AB : \(\frac{4}{7}\)AB = 3 : 4.

P, AB को 3:4 में विभाजित करता है। A(–2,–2), B(2,–4).

\(x = \frac{3(2)+4(-2)}{3+4} = \frac{6-8}{7} = -\frac{2}{7}\)

\(y = \frac{3(-4)+4(-2)}{3+4} = \frac{-12-8}{7} = -\frac{20}{7}\)

P के निर्देशांक \(\left(-\frac{2}{7}, -\frac{20}{7}\right)\) हैं।

9. बिंदुओं A(– 2, 2) और B(2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल: A(–2,2), B(2,8).

Q (मध्य-बिंदु, 2:2 या 1:1 अनुपात): \(\left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+8}{2}\right) = (0, 5)\)

P (AQ का मध्य-बिंदु, या AB को 1:3 में): \(\left(\frac{1(2)+3(-2)}{1+3}, \frac{1(8)+3(2)}{1+3}\right) = \left(\frac{-4}{4}, \frac{14}{4}\right) = \left(-1, \frac{7}{2}\right)\)

R (QB का मध्य-बिंदु, या AB को 3:1 में): \(\left(\frac{3(2)+1(-2)}{3+1}, \frac{3(8)+1(2)}{3+1}\right) = \left(\frac{4}{4}, \frac{26}{4}\right) = \left(1, \frac{13}{2}\right)\)

बिंदु \(\left(-1, \frac{7}{2}\right)\), (0, 5), और \(\left(1, \frac{13}{2}\right)\) हैं।

10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3, 0), (4, 5), (– 1, 4) और (– 2, – 1) हैं।

हल: A(3,0), B(4,5), C(–1,4), D(–2,–1).

विकर्ण AC = \(\sqrt{(-1-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-4)^2+4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)

विकर्ण BD = \(\sqrt{(-2-4)^2 + (-1-5)^2} = \sqrt{(-6)^2+(-6)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)

क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 24 \times 2 = 24\) वर्ग मात्रक।

क्षेत्रफल 24 वर्ग मात्रक है।

अध्याय की अवधारणाओं पर आधारित नए अभ्यास प्रश्न

1. बिंदुओं (–5, –2) और (3, 4) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
2. दर्शाइए कि बिंदु A(1, 7), B(–3, –1) और C(3, –1) एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
3. जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (–1, 2), (5, 0) और (2, 1) संरेखीय हैं।
4. y-अक्ष पर स्थित उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं P(–5, 2) और Q(3, –4) से समदूरस्थ है।
5. उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं A(–2, –3) और B(4, 6) को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।
6. बिंदुओं (6, –5) और (–2, 1) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु P(–0.5, –2) किस अनुपात में विभाजित करता है? (प्रश्न में P(–0, 5, –2) दिया है, जिसे P(–0.5, –2) माना गया है)
7. बिंदुओं (4, –3) और (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
8. यदि बिंदु A(–1, a) और B(5, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु M(2, 4) है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
9. बिंदुओं P(–4, 5) और Q(8, –7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को तीन बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
10. बिंदुओं (3, 2), (6, 3), (x, 6) और (y, 5) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हैं। x और y ज्ञात कीजिए।

अध्याय का संक्षिप्त सारांश (Concise Summary for Revision)

बोर्ड परीक्षा से पहले त्वरित पुनरावृति के लिए, यहाँ अध्याय के मुख्य सूत्र दिए गए हैं:

1. दूरी सूत्र (Distance Formula):

दो बिंदुओं P\((x_1, y_1)\) और Q\((x_2, y_2)\) के बीच की दूरी है:

\\[ PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \text{ मात्रक} \\]

2. मूल बिंदु से दूरी (Distance from Origin):

बिंदु P(x, y) की मूल बिंदु O(0, 0) से दूरी है:

\\[ OP = \sqrt{x^2 + y^2} \text{ मात्रक} \\]

3. विभाजन सूत्र (Section Formula - Internal Division):

उस बिंदु P(x, y) के निर्देशांक जो बिंदुओं A\((x_1, y_1)\) और B\((x_2, y_2)\) को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से \(m_1 : m_2\) के अनुपात में विभाजित करता है, हैं:

\\[ (x, y) = \left(\frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2}\right) \\]

4. मध्य-बिंदु सूत्र (Midpoint Formula):

बिंदुओं P\((x_1, y_1)\) और Q\((x_2, y_2)\) को जोड़ने वाले रेखाखंड PQ के मध्य-बिंदु के निर्देशांक हैं:

\\[ \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \\]

यह नोट्स आपको निर्देशांक ज्यामिति के इस अध्याय को गहराई से समझने में सहायक होंगे। सभी उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों को स्वयं हल करने का अभ्यास करें। शुभकामनाएं!

निर्देशांक ज्यामिति, Coordinate Geometry, कक्षा 10 गणित, Class 10 Maths, दूरी सूत्र, Distance Formula, विभाजन सूत्र, Section Formula, मध्य-बिंदु सूत्र, Midpoint Formula, अध्याय 7 गणित, NCERT Solutions Hindi, Maths Chapter 7 Hindi, Board Exam Preparation, Self Study Notes Hindi