Class10 chapter09 -त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Some Applications of Trigonometry |Revision notes |Exercise solved

अध्याय 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)

इस अध्याय में हम सीखेंगे कि त्रिकोणमिति का उपयोग ऊंचाइयों और दूरियों को मापने में कैसे किया जा सकता है। यह अध्याय हमें अपने आसपास की दुनिया में गणित के अद्भुत उपयोगों में से एक से परिचित कराता है!

1. महत्वपूर्ण विषयों की सरल एवं स्पष्ट व्याख्या

यह अध्याय मुख्य रूप से कुछ महत्वपूर्ण अवधारणाओं पर आधारित है:

• दृष्टि रेखा (Line of Sight): यह वह रेखा है जो प्रेक्षक (देखने वाले व्यक्ति) की आँख से उस वस्तु के बिंदु को मिलाती है जिसे प्रेक्षक देख रहा होता है।
• उन्नयन कोण (Angle of Elevation): जब हम किसी वस्तु को देखते हैं जो क्षैतिज स्तर से ऊपर होती है, तो हमारी दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा (जो आँख से क्षैतिज रूप से गुजरती है) के बीच बनने वाला कोण उन्नयन कोण कहलाता है। सरल शब्दों में, जब हमें किसी वस्तु को देखने के लिए अपना सिर ऊपर उठाना पड़ता है, तो बनने वाला कोण उन्नयन कोण होता है।
• अवनमन कोण (Angle of Depression): जब हम किसी वस्तु को देखते हैं जो क्षैतिज स्तर से नीचे होती है, तो हमारी दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनने वाला कोण अवनमन कोण कहलाता है। सरल शब्दों में, जब किसी वस्तु को देखने के लिए हमें अपना सिर नीचे झुकाना पड़ता है, तो बनने वाला कोण अवनमन कोण होता है।

2. प्रमुख परिभाषाएँ, संकल्पनाएँ और शब्दों की स्पष्ट व्याख्या

• क्षैतिज स्तर (Horizontal Level): यह प्रेक्षक की आँख से गुजरने वाली एक काल्पनिक रेखा है जो जमीन या पानी के समानांतर होती है। उन्नयन और अवनमन कोण इसी क्षैतिज रेखा के सापेक्ष मापे जाते हैं।
• त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios): समकोण त्रिभुज में, भुजाओं के कुछ अनुपातों को त्रिकोणमितीय अनुपात कहते हैं। इस अध्याय में, हम अक्सर \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), \(\cot\), \(\sec\), \(\csc\) अनुपातों का उपयोग करेंगे। विशेष रूप से, \(\tan\) और \(\cot\) का उपयोग अक्सर ऊंचाइयों और दूरियों के बीच संबंध स्थापित करने के लिए किया जाता है।
  याद रखें: \(\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा (Opposite Side)}}{\text{संलग्न भुजा (Adjacent Side)}}\)

3. पुस्तक में दिए गए सभी उदाहरणों को चरण-दर-चरण हल करके समझिए

उदाहरण 1:

प्रश्न: धरती पर एक मीनार ऊर्ध्वाधर खड़ी है। धरती के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 15 m दूर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण \(60^\circ\) है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. चित्र बनाइए: आइए प्रश्न को दर्शाने के लिए एक सरल चित्र बनाएँ। मान लीजिए AB मीनार को दर्शाता है, C धरती पर वह बिंदु है जहाँ से देखा जा रहा है, और CB बिंदु C से मीनार के पाद-बिंदु B तक की दूरी है। (काल्पनिक चित्र 9.4: एक मीनार AB, बिंदु C से दूरी CB=15m, उन्नयन कोण \(\angle ACB = 60^\circ\))

2. समकोण त्रिभुज पहचानिए: यहाँ, \(\triangle ABC\) एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें B पर समकोण है।

3. ज्ञात और अज्ञात पहचानिए: हमें ज्ञात है: दूरी \(CB = 15 \text{ m}\) और उन्नयन कोण \(\angle ACB = 60^\circ\)। हमें अज्ञात है: मीनार की ऊँचाई AB।

4. सही त्रिकोणमितीय अनुपात चुनिए: हमें वह अनुपात चुनना है जो दिए गए कोण (\(60^\circ\)) के सापेक्ष अज्ञात भुजा (ऊँचाई AB, जो सम्मुख भुजा है) और ज्ञात भुजा (दूरी CB, जो संलग्न भुजा है) को संबंधित करे। \(\tan\) (या \(\cot\)) इस संबंध के लिए उपयुक्त है, क्योंकि \(\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{संलग्न भुजा}}\)।

5. सूत्र लगाइए: \(\tan 60^\circ = \frac{AB}{BC}\)।

6. मान प्रतिस्थापित कीजिए: हम जानते हैं कि \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\)। तो, \(\sqrt{3} = \frac{AB}{15}\)।

7. हल कीजिए: \(AB = 15\sqrt{3}\)।

उत्तर: मीनार की ऊँचाई \(15\sqrt{3} \text{ m}\) है।

उदाहरण 2:

प्रश्न: एक बिजली मिस्त्री को एक 5m ऊँचे खंभे पर आ गई खराबी की मरम्मत करनी है। मरम्मत का काम करने के लिए उसे खंभे के शिखर से 1.3m नीचे एक बिंदु तक पहुँचना चाहती है (देखिए आकृति 9.5)। यहाँ तक पहुँचने के लिए प्रयुक्त सीढ़ी की लंबाई कितनी होनी चाहिए जिससे कि क्षैतिज से \(60^\circ\) के कोण से झुकाने पर वह अपेक्षित स्थिति तक पहुँच जाए? और यह भी बताइए कि खंभे का पाद-बिंदु कितनी दूरी पर सीढ़ी के पाद-बिंदु से होना चाहिए? (यहाँ आप \(\sqrt{3} = 1.73\) ले सकते हैं।)

हल:

1. चित्र बनाइए: (काल्पनिक आकृति 9.5: खंभा AD, मरम्मत बिंदु B (शिखर A से 1.3m नीचे), सीढ़ी BC, क्षैतिज DC, कोण \(\angle BCD = 60^\circ\))

2. मरम्मत बिंदु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए: खंभे की कुल ऊँचाई \(AD = 5\text{m}\)। मिस्त्री को बिंदु B तक पहुँचना है, जो शिखर A से \(1.3\text{m}\) नीचे है। बिंदु B की ऊँचाई धरती से \(BD_{pole} = AD - AB = 5\text{m} - 1.3\text{m} = 3.7\text{m}\) है। (नोट: प्रश्न में चित्र 9.5 के अनुसार, खंभे का पाद D है, सीढ़ी का पाद C है, और सीढ़ी बिंदु B पर खंभे को छूती है। तो ऊँचाई BD = 3.7m है।)

3. पहला अज्ञात: सीढ़ी की लंबाई (BC): हमें सीढ़ी की लंबाई ज्ञात करनी है, जो समकोण त्रिभुज BDC का कर्ण है। हमें कोण C (\(60^\circ\)) के सापेक्ष सम्मुख भुजा BD (\(3.7\text{m}\)) ज्ञात है। \(\sin\) अनुपात सम्मुख भुजा और कर्ण को संबंधित करता है (\(\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}\))।

4. सूत्र लगाइए: \(\sin 60^\circ = \frac{BD}{BC}\)।

5. मान प्रतिस्थापित कीजिए: हम जानते हैं \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)। तो, \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3.7}{BC}\)।

6. हल कीजिए: \(BC = \frac{3.7 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{7.4}{\sqrt{3}}\)। \(\sqrt{3} = 1.73\) लेने पर, \(BC \approx \frac{7.4}{1.73} \approx 4.277 \approx 4.28 \text{ m}\)।

7. दूसरा अज्ञात: सीढ़ी के पाद-बिंदु से खंभे के पाद-बिंदु तक की दूरी (DC): हमें दूरी DC ज्ञात करनी है, जो समकोण त्रिभुज BDC में कोण C (\(60^\circ\)) के सापेक्ष संलग्न भुजा है। हमें सम्मुख भुजा BD (\(3.7\text{m}\)) ज्ञात है। \(\cot\) अनुपात (\(\cot \theta = \frac{\text{संलग्न भुजा}}{\text{सम्मुख भुजा}}\)) या \(\tan\) अनुपात का प्रयोग कर सकते हैं।

8. सूत्र लगाइए (cot का प्रयोग): \(\cot 60^\circ = \frac{DC}{BD}\)।

9. मान प्रतिस्थापित कीजिए: हम जानते हैं \(\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\)। तो, \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{DC}{3.7}\)।

10. हल कीजिए: \(DC = \frac{3.7}{\sqrt{3}}\)। \(\sqrt{3} = 1.73\) लेने पर, \(DC \approx \frac{3.7}{1.73} \approx 2.138 \approx 2.14 \text{ m}\)।

उत्तर: सीढ़ी की लंबाई लगभग \(4.28 \text{ m}\) होनी चाहिए और सीढ़ी का पाद-बिंदु खंभे से लगभग \(2.14 \text{ m}\) की दूरी पर होना चाहिए।

उदाहरण 3:

प्रश्न: 1.5 m लंबा एक प्रेक्षक एक चिमनी से 28.5 m की दूरी पर है। उसकी आँखों से चिमनी के शिखर का उन्नयन कोण \(45^\circ\) है। चिमनी की ऊँचाई बताइए।

हल:

1. चित्र बनाइए: (काल्पनिक आकृति 9.6: चिमनी AB, प्रेक्षक CD (ऊँचाई 1.5m), क्षैतिज रेखा DE, दूरी CB = DE = 28.5m, उन्नयन कोण \(\angle ADE = 45^\circ\))

2. चिमनी की ऊँचाई: चिमनी की कुल ऊँचाई \(AB = AE + EB\) है। प्रेक्षक की ऊँचाई \(EB = CD = 1.5\text{m}\) है। हमें AE ज्ञात करना है।

3. समकोण त्रिभुज पहचानिए: \(\triangle ADE\) एक समकोण त्रिभुज है जिसमें E पर समकोण है।

4. ज्ञात और अज्ञात पहचानिए: हमें ज्ञात है: दूरी \(DE = 28.5\text{m}\) और उन्नयन कोण \(\angle ADE = 45^\circ\)। हमें अज्ञात है: AE।

5. सही त्रिकोणमितीय अनुपात चुनिए: कोण \(45^\circ\) के सापेक्ष AE सम्मुख भुजा है और DE संलग्न भुजा है। \(\tan\) अनुपात उपयुक्त है।

6. सूत्र लगाइए: \(\tan 45^\circ = \frac{AE}{DE}\)।

7. मान प्रतिस्थापित कीजिए: \(\tan 45^\circ = 1\)। तो, \(1 = \frac{AE}{28.5}\)।

8. हल कीजिए: \(AE = 28.5\text{m}\)।

9. कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए: चिमनी की कुल ऊँचाई \(AB = AE + EB = 28.5\text{m} + 1.5\text{m} = 30\text{m}\)।

उत्तर: चिमनी की ऊँचाई \(30 \text{ m}\) है।

उदाहरण 4:

प्रश्न: भूमि के एक बिंदु P से एक 10 m ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण \(30^\circ\) है। भवन के शिखर पर एक ध्वज को फहराया गया है और P से ध्वज के शिखर का उन्नयन कोण \(45^\circ\) है। ध्वजदंड की लंबाई और बिंदु P से भवन की दूरी ज्ञात कीजिए। (यहाँ आप \(\sqrt{3} = 1.732\) ले सकते हैं।)

हल:

1. चित्र बनाइए: (काल्पनिक आकृति 9.7: भवन AB (10m), ध्वजदंड BD, बिंदु P, \(\angle APB = 30^\circ\), \(\angle APD = 45^\circ\))

2. समकोण त्रिभुज PAB से दूरी PA ज्ञात कीजिए: \(\triangle PAB\) एक समकोण त्रिभुज है (A पर समकोण)। हमें AB (सम्मुख भुजा \(10\text{m}\)) ज्ञात है और PA (संलग्न भुजा) ज्ञात करना है। \(\tan\) अनुपात का प्रयोग करेंगे।

3. सूत्र लगाइए: \(\tan 30^\circ = \frac{AB}{AP}\)।

4. मान प्रतिस्थापित कीजिए: \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\)। तो, \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{AP}\)।

5. हल कीजिए: \(AP = 10\sqrt{3}\text{ m}\)। यदि \(\sqrt{3} = 1.732\) लें, तो \(AP \approx 10 \times 1.732 = 17.32 \text{ m}\)।

6. समकोण त्रिभुज PAD से AD ज्ञात कीजिए: मान लीजिए ध्वजदंड की लंबाई \(DB = x \text{ m}\) है। तब, \(AD = AB + BD = (10 + x) \text{ m}\)। \(\triangle PAD\) एक समकोण त्रिभुज है (A पर समकोण)। हमें कोण \(\angle APD = 45^\circ\) और संलग्न भुजा \(AP = 10\sqrt{3}\text{ m}\) ज्ञात है, और सम्मुख भुजा \(AD = (10+x)\text{ m}\) ज्ञात करनी है। \(\tan\) अनुपात का प्रयोग करेंगे।

7. सूत्र लगाइए: \(\tan 45^\circ = \frac{AD}{AP}\)।

8. मान प्रतिस्थापित कीजिए: \(\tan 45^\circ = 1\)। तो, \(1 = \frac{10 + x}{10\sqrt{3}}\)।

9. हल कीजिए: \(10\sqrt{3} = 10 + x\)। \(x = 10\sqrt{3} - 10 = 10(\sqrt{3} - 1)\text{ m}\)। यदि \(\sqrt{3} = 1.732\) लें, \(x = 10(1.732 - 1) = 10 \times 0.732 = 7.32 \text{ m}\)।

उत्तर: ध्वजदंड की लंबाई \(7.32 \text{ m}\) है और बिंदु P से भवन की दूरी \(17.32 \text{ m}\) है।

उदाहरण 5:

प्रश्न: एक समतल जमीन पर खड़ी मीनार की छाया उस स्थिति में 40 m अधिक लंबी हो जाती है जबकि सूर्य का उन्नतांश (altitude) \(60^\circ\) से घटकर \(30^\circ\) हो जाता है अर्थात् छाया के एक सिरे से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण \(60^\circ\) है और DB छाया की लंबाई है जबकि उन्नयन कोण \(30^\circ\) है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. चित्र बनाइए: (काल्पनिक चित्र: मीनार AB ऊँचाई h, पहली छाया BC=x जब \(\angle ACB = 60^\circ\), दूसरी छाया BD=x+40 जब \(\angle ADB = 30^\circ\))

2. दो समकोण त्रिभुज: यहाँ दो समकोण त्रिभुज हैं: \(\triangle ABC\) और \(\triangle ABD\)।

3. \(\triangle ABC\) में संबंध: \(\tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x}\)। इससे \(h = x\sqrt{3}\) (समीकरण 1)।

4. \(\triangle ABD\) में संबंध: \(\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 40}\)। इससे \(x + 40 = h\sqrt{3}\) (समीकरण 2)।

5. समीकरणों को हल कीजिए: समीकरण 1 से \(h\) का मान समीकरण 2 में रखने पर: \(x + 40 = (x\sqrt{3})\sqrt{3}\)। \(x + 40 = 3x\)। \(2x = 40\), इसलिए \(x = 20 \text{ m}\)।

6. ऊँचाई ज्ञात कीजिए: \(x\) का मान समीकरण 1 में रखने पर: \(h = 20\sqrt{3} \text{ m}\)।

उत्तर: मीनार की ऊँचाई \(20\sqrt{3} \text{ m}\) है।

उदाहरण 6:

प्रश्न: एक बहुमंजिल भवन के शिखर से देखने पर एक 8 m ऊँचे भवन के शिखर और तल के अवनमन-कोण क्रमशः \(30^\circ\) और \(45^\circ\) हैं। बहुमंजिल भवन की ऊँचाई और दोनों भवनों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

1. चित्र बनाइए: (काल्पनिक आकृति 9.9: बहुमंजिल भवन PC, छोटा भवन AB (8m)। P से A (छोटे भवन का शिखर) का अवनमन कोण \(30^\circ\), P से B (छोटे भवन का तल) का अवनमन कोण \(45^\circ\)। PQ क्षैतिज रेखा P से। PD क्षैतिज के लंबवत, AC क्षैतिज दूरी।)

2. एकांतर कोण: मान लीजिए बहुमंजिल भवन की ऊँचाई PC = \(h\) है और दोनों भवनों के बीच की दूरी AC = \(x\) है। छोटे भवन AB की ऊँचाई \(8 \text{ m}\) है। P से एक क्षैतिज रेखा खींचिए। छोटे भवन के शिखर A का अवनमन कोण \(30^\circ\) है, तो \(\angle EPA = 30^\circ\) (जहाँ PE क्षैतिज है)। अतः \(\angle PAC' = 30^\circ\) (एकांतर कोण, जहाँ C' A के ठीक नीचे बहुमंजिल भवन पर बिंदु है)। P से छोटे भवन के तल B का अवनमन कोण \(45^\circ\) है, तो \(\angle EPB = 45^\circ\)। अतः \(\angle PBA = 45^\circ\) (एकांतर कोण, यदि हम B से क्षैतिज मानते हैं) या बेहतर \(\angle PCB = 45^\circ\) (अगर C बहुमंजिल का पाद है और B छोटे भवन का पाद है, और P शिखर है)।
   पाठ्यपुस्तक की आकृति 9.9 के अनुसार: PC बहुमंजिल भवन है, AB छोटा भवन (ऊँचाई \(8\text{m}\))। D एक बिंदु है जो A से क्षैतिज रूप से PC पर है। तब CD = AB = \(8\text{m}\)। PD = PC - CD = \(h - 8\)। भवनों के बीच की दूरी BD = AC = \(x\)।
   \(\angle QPA = 30^\circ\) (P से A का अवनमन कोण), तो एकांतर कोण \(\angle PAD = 30^\circ\) (समकोण \(\triangle PAD\) में)।
   \(\angle QPC = 45^\circ\) (P से B का अवनमन कोण, B छोटे भवन का तल), तो एकांतर कोण \(\angle PCB = 45^\circ\) (समकोण \(\triangle PCB\) में)। (नोट: प्रश्न में B छोटे भवन का तल है, तो P से B का अवनमन कोण \(\angle QPB=45^\circ\), तो \(\angle PBC=45^\circ\) जहाँ BC भवनों के बीच की दूरी है)।

3. समकोण त्रिभुज \(\triangle PBC\) में: (P शिखर, C बहुमंजिल का पाद, B छोटे भवन का पाद) \(\tan 45^\circ = \frac{PC}{BC} \Rightarrow 1 = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\)। (समीकरण 1)

4. समकोण त्रिभुज \(\triangle PAD\) में: (P शिखर, D वह बिंदु जहाँ A से क्षैतिज रेखा PC से मिलती है, A छोटे भवन का शिखर) ऊँचाई \(PD = PC - DC = h - 8\)। आधार \(AD = BC = x\)। \(\tan 30^\circ = \frac{PD}{AD} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h - 8}{x}\)। (समीकरण 2)

5. समीकरणों को हल कीजिए: समीकरण 1 से \(x = h\) को समीकरण 2 में रखने पर: \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h - 8}{h}\) \(h = \sqrt{3}(h - 8)\) \(h = h\sqrt{3} - 8\sqrt{3}\) \(8\sqrt{3} = h\sqrt{3} - h\) \(8\sqrt{3} = h(\sqrt{3} - 1)\) \(h = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}\) हर का परिमेयकरण करने पर: \(h = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{8\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{2}\) \(h = 4\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 4(3 + \sqrt{3}) = 12 + 4\sqrt{3} \text{ m}\)।

6. दूरी ज्ञात कीजिए: चूँकि \(x = h\), तो दोनों भवनों के बीच की दूरी \(x = 12 + 4\sqrt{3} \text{ m}\) है।

उत्तर: बहुमंजिल भवन की ऊँचाई \(4(3 + \sqrt{3}) \text{ m}\) (या \(12 + 4\sqrt{3} \text{ m}\)) है और दोनों भवनों के बीच की दूरी भी \(4(3 + \sqrt{3}) \text{ m}\) है।

उदाहरण 7:

प्रश्न: एक नदी के पुल के एक बिंदु P से नदी के सम्मुख किनारों A और B के अवनमन कोण क्रमशः \(30^\circ\) और \(45^\circ\) हैं। यदि पुल किनारों से 3 m की ऊँचाई पर हो तो नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. चित्र बनाइए: (काल्पनिक आकृति 9.10: पुल पर बिंदु P, पुल की ऊँचाई PD = 3m (D नदी तल पर P के नीचे)। नदी के किनारे A और B, नदी की चौड़ाई AB = AD + DB)

2. अवनमन कोणों को उन्नयन कोणों में बदलें: P से A का अवनमन कोण \(30^\circ\) है, तो \(\angle PAD = 30^\circ\) (एकांतर कोण)। P से B का अवनमन कोण \(45^\circ\) है, तो \(\angle PBD = 45^\circ\) (एकांतर कोण)।

3. नदी की चौड़ाई: नदी की चौड़ाई \(AB = AD + DB\) है।

4. \(\triangle APD\) में AD ज्ञात कीजिए: \(\triangle APD\) एक समकोण त्रिभुज है (D पर समकोण)। \(\tan 30^\circ = \frac{PD}{AD} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{AD} \Rightarrow AD = 3\sqrt{3} \text{ m}\)।

5. \(\triangle PBD\) में DB ज्ञात कीजिए: \(\triangle PBD\) एक समकोण त्रिभुज है (D पर समकोण)। \(\tan 45^\circ = \frac{PD}{DB} \Rightarrow 1 = \frac{3}{DB} \Rightarrow DB = 3 \text{ m}\)।

6. नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए: \(AB = AD + DB = 3\sqrt{3} + 3 = 3(\sqrt{3} + 1) \text{ m}\)।

उत्तर: नदी की चौड़ाई \(3(\sqrt{3} + 1) \text{ m}\) है।

4. अध्याय के अभ्यास प्रश्नों (Exercise Questions) के विस्तृत उत्तर (प्रश्नावली 9.1)

प्रश्न 1:

प्रश्न: सर्कस का एक कलाकार एक 20m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण \(30^\circ\) का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 9.11)।

हल:

मान लीजिए खंभा AB है और डोर AC है जिसकी लंबाई \(20\text{m}\) है। भूमि के साथ डोर का कोण \(\angle ACB = 30^\circ\) है। हमें खंभे की ऊँचाई AB (कोण C के सम्मुख भुजा) ज्ञात करनी है, और कर्ण AC ज्ञात है।

\(\triangle ABC\) में, \(\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}\)

\(\sin 30^\circ = \frac{AB}{AC}\)

\(\frac{1}{2} = \frac{AB}{20}\)

\(AB = \frac{20}{2} = 10 \text{ m}\)

उत्तर: खंभे की ऊँचाई \(10 \text{ m}\) है।

प्रश्न 2:

प्रश्न: आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ \(30^\circ\) का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए पेड़ की मूल ऊँचाई \(P_1P_2\) है। यह बिंदु C से टूटता है। निचला भाग \(BC\) सीधा खड़ा रहता है और ऊपरी भाग \(CA\) टूटकर जमीन को बिंदु D पर छूता है, तो \(CA = CD\)। \(\angle CDB = 30^\circ\) और \(BD = 8\text{m}\)। पेड़ की कुल ऊँचाई = \(BC + CD\)।

\(\triangle CBD\) में (B पर समकोण):

\(\tan 30^\circ = \frac{BC}{BD} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{8} \Rightarrow BC = \frac{8}{\sqrt{3}} \text{ m}\)

\(\cos 30^\circ = \frac{BD}{CD} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{CD} \Rightarrow CD = \frac{16}{\sqrt{3}} \text{ m}\)

पेड़ की कुल ऊँचाई = \(BC + CD = \frac{8}{\sqrt{3}} + \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \text{ m}\)

उत्तर: पेड़ की ऊँचाई \(8\sqrt{3} \text{ m}\) है।

प्रश्न 3:

प्रश्न: एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ \(30^\circ\) के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ \(60^\circ\) का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?

हल:

5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए:

ऊँचाई (सम्मुख भुजा) \(h_1 = 1.5 \text{ m}\), कोण \(\theta_1 = 30^\circ\)। फिसलपट्टी की लंबाई (कर्ण) \(L_1\)?

\(\sin 30^\circ = \frac{h_1}{L_1} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1.5}{L_1} \Rightarrow L_1 = 1.5 \times 2 = 3 \text{ m}\)

अधिक उम्र के बच्चों के लिए:

ऊँचाई (सम्मुख भुजा) \(h_2 = 3 \text{ m}\), कोण \(\theta_2 = 60^\circ\)। फिसलपट्टी की लंबाई (कर्ण) \(L_2\)?

\(\sin 60^\circ = \frac{h_2}{L_2} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{L_2} \Rightarrow L_2 = \frac{3 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ m}\)

उत्तर: 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए फिसलपट्टी की लंबाई \(3 \text{ m}\) और अधिक उम्र के बच्चों के लिए \(2\sqrt{3} \text{ m}\) होनी चाहिए।

प्रश्न 4:

प्रश्न: भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30m की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण \(30^\circ\) है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए मीनार की ऊँचाई \(h\) है। दूरी (संलग्न भुजा) \(d = 30 \text{ m}\)। उन्नयन कोण \(\theta = 30^\circ\)।

\(\tan 30^\circ = \frac{h}{d} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{30} \Rightarrow h = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \text{ m}\)

उत्तर: मीनार की ऊँचाई \(10\sqrt{3} \text{ m}\) है।

प्रश्न 5:

प्रश्न: भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बाँध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव \(60^\circ\) है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

पतंग की ऊँचाई (सम्मुख भुजा) \(h = 60 \text{ m}\)। डोरी का झुकाव कोण \(\theta = 60^\circ\)। डोरी की लंबाई (कर्ण) \(L\)?

\(\sin 60^\circ = \frac{h}{L} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{60}{L} \Rightarrow L = \frac{60 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{120}{\sqrt{3}} = \frac{120\sqrt{3}}{3} = 40\sqrt{3} \text{ m}\)

उत्तर: डोरी की लंबाई \(40\sqrt{3} \text{ m}\) है।

प्रश्न 6:

प्रश्न: 1.5 m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण \(30^\circ\) से \(60^\circ\) हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।

हल:

भवन की ऊँचाई \(H = 30 \text{ m}\)। लड़के की ऊँचाई \(h_L = 1.5 \text{ m}\)। लड़के की आँख से भवन के शिखर की प्रभावी ऊँचाई \(h' = H - h_L = 30 - 1.5 = 28.5 \text{ m}\)। प्रारंभिक स्थिति (P) पर उन्नयन कोण \(\theta_1 = 30^\circ\)। भवन से दूरी \(x_1\)। \(\tan 30^\circ = \frac{h'}{x_1} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{28.5}{x_1} \Rightarrow x_1 = 28.5\sqrt{3} \text{ m}\)। अंतिम स्थिति (Q) पर उन्नयन कोण \(\theta_2 = 60^\circ\)। भवन से दूरी \(x_2\)। \(\tan 60^\circ = \frac{h'}{x_2} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{28.5}{x_2} \Rightarrow x_2 = \frac{28.5}{\sqrt{3}} \text{ m}\)। चली गई दूरी \(d = x_1 - x_2 = 28.5\sqrt{3} - \frac{28.5}{\sqrt{3}} = 28.5 \left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) \(d = 28.5 \left(\frac{3 - 1}{\sqrt{3}}\right) = 28.5 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{57}{\sqrt{3}} = \frac{57\sqrt{3}}{3} = 19\sqrt{3} \text{ m}\)

उत्तर: लड़का भवन की ओर \(19\sqrt{3} \text{ m}\) चलकर गया है।

प्रश्न 7:

प्रश्न: भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः \(45^\circ\) और \(60^\circ\) हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

भवन की ऊँचाई \(AB = 20 \text{ m}\)। संचार मीनार की ऊँचाई \(BC = h\)। भूमि पर बिंदु P। मीनार के तल B का उन्नयन कोण \(\angle APB = 45^\circ\)। मीनार के शिखर C का उन्नयन कोण \(\angle APC = 60^\circ\)। मान लीजिए P से भवन के पाद A की दूरी \(x\) है। \(\triangle PAB\) में: \(\tan 45^\circ = \frac{AB}{PA} \Rightarrow 1 = \frac{20}{x} \Rightarrow x = 20 \text{ m}\)। \(\triangle PAC\) में: \(\tan 60^\circ = \frac{AC}{PA} = \frac{AB+BC}{PA} = \frac{20+h}{x}\)। \(\sqrt{3} = \frac{20+h}{20} \Rightarrow 20\sqrt{3} = 20+h \Rightarrow h = 20\sqrt{3} - 20 = 20(\sqrt{3} - 1) \text{ m}\)

उत्तर: संचार मीनार की ऊँचाई \(20(\sqrt{3} - 1) \text{ m}\) है।

प्रश्न 8:

प्रश्न: एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण \(60^\circ\) है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण \(45^\circ\) है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

पेडस्टल की ऊँचाई \(AB = h\)। मूर्ति की ऊँचाई \(BC = 1.6 \text{ m}\)। भूमि पर बिंदु P। पेडस्टल के शिखर B का उन्नयन कोण \(\angle APB = 45^\circ\)। मूर्ति के शिखर C का उन्नयन कोण \(\angle APC = 60^\circ\)। मान लीजिए P से पेडस्टल के पाद A की दूरी \(x\) है। \(\triangle PAB\) में: \(\tan 45^\circ = \frac{AB}{PA} \Rightarrow 1 = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h\)। \(\triangle PAC\) में: \(\tan 60^\circ = \frac{AC}{PA} = \frac{AB+BC}{PA} = \frac{h+1.6}{x}\)। \(\sqrt{3} = \frac{h+1.6}{h}\) (क्योंकि \(x=h\)) \(h\sqrt{3} = h+1.6 \Rightarrow h\sqrt{3} - h = 1.6 \Rightarrow h(\sqrt{3} - 1) = 1.6\) \(h = \frac{1.6}{\sqrt{3} - 1} = \frac{1.6(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{1.6(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{1.6(\sqrt{3} + 1)}{2} = 0.8(\sqrt{3} + 1) \text{ m}\)

उत्तर: पेडस्टल की ऊँचाई \(0.8(\sqrt{3} + 1) \text{ m}\) है।

प्रश्न 9:

प्रश्न: एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण \(30^\circ\) है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण \(60^\circ\) है। यदि मीनार 50m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

मीनार की ऊँचाई \(CD = 50 \text{ m}\)। भवन की ऊँचाई \(AB = h\)। दोनों के बीच की दूरी \(BC = x\)। मीनार के पाद (C) से भवन के शिखर (A) का उन्नयन कोण \(\angle ACB = 30^\circ\)। \(\triangle ABC\) में: \(\tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h\sqrt{3}\) (समीकरण 1)। भवन के पाद (B) से मीनार के शिखर (D) का उन्नयन कोण \(\angle DBC = 60^\circ\)। \(\triangle DBC\) में: \(\tan 60^\circ = \frac{CD}{BC} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{50}{x} \Rightarrow x = \frac{50}{\sqrt{3}}\) (समीकरण 2)। समीकरण 1 और 2 से: \(h\sqrt{3} = \frac{50}{\sqrt{3}} \Rightarrow h = \frac{50}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{50}{3} \text{ m}\)

उत्तर: भवन की ऊँचाई \(\frac{50}{3} \text{ m}\) (या \(16\frac{2}{3} \text{ m}\)) है।

प्रश्न 10:

प्रश्न: एक 80 m चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः \(60^\circ\) और \(30^\circ\) हैं। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

खंभों की ऊँचाई \(AB = CD = h\)। सड़क की चौड़ाई \(BD = 80 \text{ m}\)। सड़क पर बिंदु P। मान लीजिए \(BP = x\), तो \(PD = 80 - x\)। \(\angle APB = 60^\circ\) और \(\angle CPD = 30^\circ\)। \(\triangle APB\) में: \(\tan 60^\circ = \frac{AB}{BP} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3}\) (समीकरण 1)। \(\triangle CPD\) में: \(\tan 30^\circ = \frac{CD}{PD} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{80-x} \Rightarrow h\sqrt{3} = 80-x\) (समीकरण 2)। समीकरण 1 से \(h\) का मान समीकरण 2 में रखने पर: \((x\sqrt{3})\sqrt{3} = 80-x \Rightarrow 3x = 80-x \Rightarrow 4x = 80 \Rightarrow x = 20 \text{ m}\)। तो, \(BP = 20 \text{ m}\) और \(PD = 80 - 20 = 60 \text{ m}\)। ऊँचाई \(h = x\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ m}\)।

उत्तर: खंभों की ऊँचाई \(20\sqrt{3} \text{ m}\) है। बिंदु की खंभों से दूरी \(20 \text{ m}\) और \(60 \text{ m}\) है।

प्रश्न 11:

प्रश्न: एक नहर के एक तट पर एक टीवी टावर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टावर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण \(60^\circ\) है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 m दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण \(30^\circ\) है (देखिए आकृति 9.12)। टावर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल:

टावर AB (ऊँचाई \(h\))। नहर की चौड़ाई BC (\(x\))। बिंदु C से \(\angle ACB = 60^\circ\)। बिंदु D (C से 20m दूर, CD = 20m) से \(\angle ADB = 30^\circ\)। BD = \(x+20\)। \(\triangle ABC\) में: \(\tan 60^\circ = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3}\) (समीकरण 1)। \(\triangle ABD\) में: \(\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+20} \Rightarrow h\sqrt{3} = x+20\) (समीकरण 2)। समीकरण 1 से \(h\) का मान समीकरण 2 में रखने पर: \((x\sqrt{3})\sqrt{3} = x+20 \Rightarrow 3x = x+20 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10 \text{ m}\)। ऊँचाई \(h = x\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \text{ m}\)।

उत्तर: टावर की ऊँचाई \(10\sqrt{3} \text{ m}\) है और नहर की चौड़ाई \(10 \text{ m}\) है।

प्रश्न 12:

प्रश्न: 7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण \(60^\circ\) है और इसके पाद का अवनमन कोण \(45^\circ\) है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

भवन AB (ऊँचाई \(7 \text{ m}\))। केबल टावर CD (ऊँचाई \(H\))। भवन के शिखर A से क्षैतिज रेखा AE (E, CD पर एक बिंदु है)। \(AE = BC\) (दूरी)। A से टावर के शिखर D का उन्नयन कोण \(\angle DAE = 60^\circ\)। A से टावर के पाद C का अवनमन कोण \(\angle EAC' = 45^\circ\) (C' नीचे) \(\Rightarrow \angle ACB = 45^\circ\) (एकांतर कोण) या \(\angle CAE = 45^\circ\) (अगर C के स्थान पर E मानते हैं पाद के लिए)। प्रश्न के अनुसार, A से टावर के पाद C का अवनमन कोण \(45^\circ\) है, तो \(\triangle ABC\) में (A भवन का शिखर, B भवन का पाद, C टावर का पाद), \(\angle BAC = 45^\circ\) (यह गलत व्याख्या है, क्षैतिज से अवनमन कोण है)। सही व्याख्या: A से क्षैतिज रेखा AE खींचे। टावर का पाद C है। \(\angle EAC = 45^\circ\) (अवनमन कोण)। \(\triangle AEC\) में (E पर समकोण): \(AE = BC\), \(CE = AB = 7 \text{ m}\)। \(\tan 45^\circ = \frac{CE}{AE} = \frac{7}{AE} \Rightarrow 1 = \frac{7}{AE} \Rightarrow AE = 7 \text{ m}\)। तो, \(BC = 7 \text{ m}\)। \(\triangle ADE\) में (E पर समकोण): \(DE = CD - CE = H - 7\)। \(\tan 60^\circ = \frac{DE}{AE} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{H-7}{7} \Rightarrow 7\sqrt{3} = H-7 \Rightarrow H = 7\sqrt{3} + 7 = 7(\sqrt{3} + 1) \text{ m}\)।

उत्तर: टावर की ऊँचाई \(7(\sqrt{3} + 1) \text{ m}\) है।

प्रश्न 13:

प्रश्न: समुद्र-तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण \(30^\circ\) और \(45^\circ\) हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दोनों जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

लाइट हाउस AB (ऊँचाई \(75 \text{ m}\))। दो जहाज C और D (C निकट, D दूर)। A से C का अवनमन कोण \(45^\circ \Rightarrow \angle ACB = 45^\circ\)। A से D का अवनमन कोण \(30^\circ \Rightarrow \angle ADB = 30^\circ\)। \(\triangle ABC\) में: \(\tan 45^\circ = \frac{AB}{BC} \Rightarrow 1 = \frac{75}{BC} \Rightarrow BC = 75 \text{ m}\)। \(\triangle ABD\) में: \(\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{75}{BD} \Rightarrow BD = 75\sqrt{3} \text{ m}\)। दोनों जहाजों के बीच की दूरी \(CD = BD - BC = 75\sqrt{3} - 75 = 75(\sqrt{3} - 1) \text{ m}\)।

उत्तर: दोनों जहाजों के बीच की दूरी \(75(\sqrt{3} - 1) \text{ m}\) है।

प्रश्न 14:

प्रश्न: 1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण \(60^\circ\) है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर \(30^\circ\) हो जाता है (देखिए आकृति 9.13)। इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

गुब्बारे की भूमि से ऊँचाई \(H_G = 88.2 \text{ m}\)। लड़की की ऊँचाई \(h_L = 1.2 \text{ m}\)। लड़की की आँख से गुब्बारे की प्रभावी ऊँचाई \(h' = H_G - h_L = 88.2 - 1.2 = 87 \text{ m}\)। प्रारंभिक स्थिति P पर उन्नयन कोण \(60^\circ\)। क्षैतिज दूरी \(x_1\)। \(\tan 60^\circ = \frac{h'}{x_1} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{87}{x_1} \Rightarrow x_1 = \frac{87}{\sqrt{3}} \text{ m}\)। अंतिम स्थिति Q पर उन्नयन कोण \(30^\circ\)। क्षैतिज दूरी \(x_2\)। \(\tan 30^\circ = \frac{h'}{x_2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{87}{x_2} \Rightarrow x_2 = 87\sqrt{3} \text{ m}\)। गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी \(d = x_2 - x_1 = 87\sqrt{3} - \frac{87}{\sqrt{3}} = 87\left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) \(d = 87 \left(\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right) = 87 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{174}{\sqrt{3}} = \frac{174\sqrt{3}}{3} = 58\sqrt{3} \text{ m}\)

उत्तर: गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी \(58\sqrt{3} \text{ m}\) है।

प्रश्न 15:

प्रश्न: एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को \(30^\circ\) के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छह सेकंड बाद कार का अवनमन कोण \(60^\circ\) हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

हल:

मीनार AB (ऊँचाई \(h\))। कार की प्रारंभिक स्थिति C, अंतिम स्थिति D। मीनार का पाद B। A से C का अवनमन कोण \(30^\circ \Rightarrow \angle ACB = 30^\circ\)। A से D का अवनमन कोण \(60^\circ \Rightarrow \angle ADB = 60^\circ\)। C से D तक जाने में लगा समय = 6 सेकंड। \(\triangle ABD\) में: \(\tan 60^\circ = \frac{AB}{BD} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{BD} \Rightarrow BD = \frac{h}{\sqrt{3}}\)। \(\triangle ABC\) में: \(\tan 30^\circ = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{BC} \Rightarrow BC = h\sqrt{3}\)। दूरी \(CD = BC - BD = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h\left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = h\left(\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}\)। मान लीजिए कार की चाल \(v\) है। \(v = \frac{\text{दूरी } CD}{\text{समय}} = \frac{2h/\sqrt{3}}{6} = \frac{2h}{6\sqrt{3}} = \frac{h}{3\sqrt{3}}\)। D से B तक पहुँचने में लगा समय \(t\)? दूरी \(BD = v \times t \Rightarrow \frac{h}{\sqrt{3}} = \left(\frac{h}{3\sqrt{3}}\right) \times t\)। \(h\) और \(\sqrt{3}\) कट जाएंगे: \(1 = \frac{t}{3} \Rightarrow t = 3\) सेकंड।

उत्तर: इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय \(3\) सेकंड है।

5. अध्याय की अवधारणाओं पर आधारित नये अभ्यास प्रश्न

अभ्यास के लिए कुछ नए प्रश्न:

1. एक पतंग भूमि से 50 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रही है। यदि पतंग की डोरी क्षैतिज से \(45^\circ\) का कोण बनाती है, तो डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि डोरी में कोई ढील नहीं है।
2. एक पेड़ के शिखर का भूमि पर स्थित एक बिंदु से उन्नयन कोण \(30^\circ\) है। यदि बिंदु से पेड़ के पाद की दूरी 25 मीटर है, तो पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
3. एक नदी के किनारे पर एक व्यक्ति खड़ा है और वह दूसरे किनारे पर एक पेड़ को देखता है। पेड़ के शिखर का उन्नयन कोण \(60^\circ\) है। जब वह किनारे से 10 मीटर पीछे हट जाता है, तो उन्नयन कोण \(30^\circ\) हो जाता है। पेड़ की ऊँचाई और नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
4. एक 15 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक बिजली के खंभे के शिखर का उन्नयन कोण \(30^\circ\) है और खंभे के पाद का अवनमन कोण \(60^\circ\) है। बिजली के खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
5. एक मीनार के शिखर से सड़क पर खड़ी एक कार का अवनमन कोण \(45^\circ\) है। यदि कार मीनार के पाद से 50 मीटर दूर है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

(ध्यान दें: ये प्रश्न स्रोत में सीधे तौर पर नहीं दिए गए हैं, लेकिन अध्याय की अवधारणाओं पर आधारित हैं। आप इन्हें हल करके अपने ज्ञान का परीक्षण कर सकते हैं।)

6. अध्याय के अंत में बोर्ड परीक्षा से पहले पुनरावृत्ति के लिए संक्षिप्त सारांश

इस अध्याय में, हमने त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों का अध्ययन किया है। मुख्य बिंदु ये हैं:

• दृष्टि रेखा: प्रेक्षक की आँख को वस्तु से मिलाने वाली रेखा।
• उन्नयन कोण: जब वस्तु क्षैतिज स्तर से ऊपर हो, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बना कोण, जिसे देखने के लिए सिर उठाना पड़ता है।
• अवनमन कोण: जब वस्तु क्षैतिज स्तर से नीचे हो, तो दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बना कोण, जिसे देखने के लिए सिर झुकाना पड़ता है।
• अनुप्रयोग: समकोण त्रिभुजों और त्रिकोणमितीय अनुपातों (\(\sin, \cos, \tan\), आदि) का उपयोग करके ऊँचाई (जैसे मीनार, भवन) और दूरी (जैसे नदी की चौड़ाई, दो वस्तुओं के बीच की दूरी) ज्ञात की जा सकती है।
• समस्याओं को हल करने के लिए हमेशा एक स्पष्ट चित्र बनाना सहायक होता है।
• सही त्रिकोणमितीय अनुपात का चयन दी गई और पूछी गई भुजाओं पर निर्भर करता है।

मुझे उम्मीद है कि ये विस्तृत नोट्स आपको अध्याय को अच्छी तरह से समझने और अपनी परीक्षा की तैयारी करने में मदद करेंगे! शुभकामनाएँ!

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