Class10 chapter 06 - त्रिभुज (Triangles) | Revision notes | Exercise solved

अध्याय 6: त्रिभुज (Triangles)

नमस्ते छात्र/छात्राओ!

यह नोट्स गणित के अध्याय 6, "त्रिभुज" (Triangles) पर आधारित हैं। इन नोट्स को इस तरह तैयार किया गया है कि आप इसे स्वयं पढ़कर अध्याय की सभी महत्वपूर्ण अवधारणाओं को आसानी से समझ सकें और अपनी बोर्ड परीक्षा की तैयारी कर सकें।

6.1 भूमिका (Introduction)

पिछली कक्षाओं में, आप त्रिभुजों और उनके विभिन्न गुणों से परिचित हुए हैं। कक्षा IX में, आपने त्रिभुजों की सर्वांगसमता (congruence) के बारे में विस्तार से पढ़ा है। याद है ना, दो त्रिभुज सर्वांगसम तब कहे जाते हैं जब उनके आकार (shape) और आमाप (size) समान हों।

इस अध्याय में, हम ऐसी आकृतियों के बारे में पढ़ेंगे जिनके आकार समान हों परंतु उनके आमाप का समान होना आवश्यक नहीं हो। ऐसी दो आकृतियाँ जिनके आकार समान हों (परंतु समान आमाप होना आवश्यक न हो) समरूप आकृतियाँ (similar figures) कहलाती हैं। विशेष रूप से, हम समरूप त्रिभुजों की चर्चा करेंगे।

क्या आप जानते हैं? पर्वतों (जैसे माउंट एवरेस्ट) की ऊँचाइयाँ या चंद्रमा जैसी दूरस्थ वस्तुओं की दूरियाँ कैसे ज्ञात की गईं? क्या उन्हें मापने वाले फीते से सीधा मापा गया? नहीं, वास्तव में इन सभी ऊँचाइयों और दूरियों को अप्रत्यक्ष मापन (indirect measurement) की अवधारणा का उपयोग करके ज्ञात किया गया है, जो आकृतियों की समरूपता के सिद्धांत पर आधारित है।

6.2 समरूप आकृतियाँ (Similar Figures)

कक्षा IX में, आपने देखा था कि समान त्रिज्या वाले सभी वृत्त सर्वांगसम होते हैं, समान लंबाई की भुजा वाले सभी वर्ग सर्वांगसम होते हैं, और समान लंबाई की भुजा वाले सभी समबाहु त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

अब किसी भी दो या अधिक वृत्तों पर विचार कीजिए। क्या ये सर्वांगसम हैं? यदि उनकी त्रिज्या समान नहीं है, तो वे सर्वांगसम नहीं होंगे। लेकिन ध्यान दीजिए, चाहे उनकी त्रिज्या कुछ भी हो, उन सभी के आकार समान हैं। अतः, ये सभी वे आकृतियाँ हैं जिन्हें हम समरूप (similar) कहते हैं।

समरूप आकृतियों के बारे में महत्वपूर्ण बातें:

• दो समरूप आकृतियों के आकार समान होते हैं।
• उनके आमाप समान होने आवश्यक नहीं हैं।
• सभी वृत्त समरूप होते हैं।
• सभी वर्ग समरूप होते हैं।
• सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
• सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं, परंतु सभी समरूप आकृतियों का सर्वांगसम होना आवश्यक नहीं है।

क्या एक वृत्त और एक वर्ग समरूप हो सकते हैं? क्या एक त्रिभुज और एक वर्ग समरूप हो सकते हैं? केवल आकृतियों को देखकर आप बता सकते हैं कि ये आकृतियाँ समरूप नहीं हैं, क्योंकि उनके आकार समान नहीं हैं।

हमें आकृतियों की समरूपता के लिए एक परिभाषा और कुछ नियम ज्ञात करने की आवश्यकता है।

समरूप बहुभुज (Similar Polygons):

भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि: (i) उनके संगत कोण बराबर हों। (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (अर्थात् समानुपाती) हों।

ध्यान दें: बहुभुजों के लिए, संगत भुजाओं के इस एक ही अनुपात को स्केल गुणक (scale factor) या प्रतिनिधित्व भिन्न (Representative Fraction) कहा जाता है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि दो बहुभुजों की समरूपता के लिए उपरोक्त दोनों प्रतिबंधों (i) और (ii) में से किसी एक का ही संतुष्ट होना उनकी समरूपता के लिए पर्याप्त नहीं है। दोनों शर्तों का एक साथ पूरा होना आवश्यक है।

क्रियाकलाप 1 (Activity 1):

एक बल्ब को छत के एक बिंदु O पर लगाइए और ठीक नीचे एक मेज रखिए। एक चतुर्भुज ABCD काटिए और इसे मेज और बल्ब के बीच क्षैतिज रूप से रखिए। मेज पर ABCD की एक छाया (shadow) बनेगी, जिसकी बाहरी रूपरेखा को A'B'C'D' से चिह्नित कीजिए। चतुर्भुज A'B'C'D' चतुर्भुज ABCD का एक आकार परिवर्तन (आवर्धन) है। यह प्रकाश के सीधे चलने के गुण के कारण होता है। चतुर्भुज A'B'C'D' और ABCD समान आकार के हैं, परंतु उनके माप भिन्न-भिन्न हैं। अतः, चतुर्भुज A'B'C'D' चतुर्भुज ABCD के समरूप है।

इस क्रियाकलाप से आप सत्यापित कर सकते हैं कि: (i) $ \angle A = \angle A'$, $\angle B = \angle B'$, $\angle C = \angle C'$, $\angle D = \angle D'$ (ii) $ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{DA}{D'A'} $ यह पुनः स्पष्ट करता है कि समान संख्या वाली भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि उनके सभी संगत कोण बराबर हों और उनकी सभी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों।

6.3 त्रिभुजों की समरूपता (Similarity of Triangles)

चूंकि त्रिभुज भी एक बहुभुज है, इसलिए त्रिभुजों की समरूपता के लिए भी वही प्रतिबंध लागू होते हैं जो बहुभुजों के लिए लागू होते हैं।

दो त्रिभुज समरूप होते हैं, यदि: (i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (अर्थात् समानुपाती) हों।

समानकोणिक त्रिभुज (Equiangular triangles): यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो वे समानकोणिक त्रिभुज कहलाते हैं।

प्रसिद्ध यूनानी गणितज्ञ थेल्स (Thales) ने समानकोणिक त्रिभुजों से संबंधित एक महत्वपूर्ण तथ्य बताया: दो समानकोणिक त्रिभुजों में उनकी संगत भुजाओं का अनुपात सदैव समान रहता है।

माना जाता है कि इसके लिए उन्होंने एक परिणाम का उपयोग किया जिसे आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem), जिसे आजकल थेल्स प्रमेय (Thales Theorem) कहते हैं, कहा जाता है।

प्रमेय 6.1: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem)

कथन: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

उपपत्ति (Proof):

दिया है: त्रिभुज ABC जिसमें भुजा BC के समांतर एक रेखा DE खींची गई है जो अन्य दो भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर काटती है। हमें सिद्ध करना है कि $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $।

1. B को E से और C को D से मिलाइए।
2. $ DM \perp AC $ और $ EN \perp AB $ खींचिए।
3. त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल (ar(ADE)) = $ \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} $।
   • $ \text{ar(ADE)} = \frac{1}{2} \times AD \times EN $
   • $ \text{ar(BDE)} = \frac{1}{2} \times DB \times EN $
   • $ \text{ar(ADE)} = \frac{1}{2} \times AE \times DM $
   • $ \text{ar(DEC)} = \frac{1}{2} \times EC \times DM $
4. $ \frac{\text{ar(ADE)}}{\text{ar(BDE)}} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EN}{\frac{1}{2} \times DB \times EN} = \frac{AD}{DB} $ (समीकरण 1)
5. $ \frac{\text{ar(ADE)}}{\text{ar(DEC)}} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DM}{\frac{1}{2} \times EC \times DM} = \frac{AE}{EC} $ (समीकरण 2)
6. त्रिभुज BDE और त्रिभुज DEC एक ही आधार DE और समांतर रेखाओं BC और DE के बीच बने दो त्रिभुज हैं।
   • इसलिए, $ \text{ar(BDE)} = \text{ar(DEC)} $ (समीकरण 3)
7. समीकरण (1), (2) और (3) से हमें प्राप्त होता है: $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $। इस प्रकार प्रमेय सिद्ध होता है।

क्या इस प्रमेय का विलोम भी सत्य है? हाँ, यह सत्य है।

प्रमेय 6.2: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम (Converse of Basic Proportionality Theorem)

कथन: यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

उपपत्ति (Proof):

दिया है: एक रेखा DE जो त्रिभुज ABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $ हो। हमें सिद्ध करना है कि $ DE \parallel BC $।

मान लीजिए DE भुजा BC के समांतर नहीं है। तो BC के समांतर एक रेखा DE' खींचिए। प्रमेय 6.1 से, क्योंकि $ DE' \parallel BC $ है, इसलिए $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE'}{E'C} $। परंतु हमें दिया गया है कि $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $ है। इसलिए, $ \frac{AE}{EC} = \frac{AE'}{E'C} $। दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर, आप देखेंगे कि E और E' को संपाती होना चाहिए। चूंकि $ DE' \parallel BC $ है और E और E' संपाती हैं, इसलिए $ DE \parallel BC $ होना चाहिए।

उदाहरणों का चरण-दर-चरण हल (Step-by-step solutions of Examples):

उदाहरण 1:

प्रश्न: यदि कोई रेखा एक $ \Delta ABC $ की भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करे तथा भुजा BC के समांतर हो, तो सिद्ध कीजिए कि $ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $ होगा (देखिए आकृति 6-13)।

हल:

1. दिया गया है: $ DE \parallel BC $।
2. प्रमेय 6.1 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) से, क्योंकि $ DE \parallel BC $ है, इसलिए $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $।
3. इस अनुपात को पलट दीजिए: $ \frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE} $।
4. दोनों पक्षों में 1 जोड़िए: $ \frac{DB}{AD} + 1 = \frac{EC}{AE} + 1 $।
5. इसे सरल कीजिए: $ \frac{DB + AD}{AD} = \frac{EC + AE}{AE} $।
6. चित्र से, $ DB + AD = AB $ और $ EC + AE = AC $।
7. इसलिए, $ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} $।
8. इस अनुपात को पुनः पलट दीजिए: $ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $। इस प्रकार यह सिद्ध होता है।

उदाहरण 2:

प्रश्न: ABCD एक समलंब है जिसमें $ AB \parallel DC $ है। असमांतर भुजाओं AD और BC पर क्रमशः बिंदु E और F इस प्रकार स्थित हैं कि EF भुजा AB के समांतर है (देखिए आकृति 6-14)। दर्शाइए कि $ \frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC} $ है।

हल:

1. दिया गया है: ABCD एक समलंब है जिसमें $ AB \parallel DC $।
2. दिया गया है: $ EF \parallel AB $।
3. चूंकि $ EF \parallel AB $ और $ AB \parallel DC $ है, इसलिए $ EF \parallel DC $ (एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ परस्पर समांतर होती हैं)।
4. A और C को मिलाइए, जो EF को G पर प्रतिच्छेद करता है (देखिए आकृति 6-15)।
5. $ \Delta ADC $ में, $ EG \parallel DC $ (क्योंकि $ EF \parallel DC $)।
6. प्रमेय 6.1 से ($ \Delta ADC $ में $ EG \parallel DC $), हमें प्राप्त होता है: $ \frac{AE}{ED} = \frac{AG}{GC} $ (समीकरण 1)।
7. अब $ \Delta CAB $ में, $ GF \parallel AB $ (क्योंकि $ EF \parallel AB $)।
8. प्रमेय 6.1 से ($ \Delta CAB $ में $ GF \parallel AB $), हमें प्राप्त होता है: $ \frac{CG}{AG} = \frac{CF}{BF} $।
9. इस अनुपात को पलट दीजिए: $ \frac{AG}{GC} = \frac{BF}{FC} $ (समीकरण 2)।
10. समीकरण (1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है: $ \frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC} $। इस प्रकार यह सिद्ध होता है।

उदाहरण 3:

प्रश्न: आकृति 6-16 में $ \frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR} $ है तथा $ \angle PST = \angle PRQ $ है। सिद्ध कीजिए कि $ \Delta PQR $ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल:

1. दिया गया है: $ \frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR} $।
2. प्रमेय 6.2 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम) से, क्योंकि $ \frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR} $ है, इसलिए $ ST \parallel QR $।
3. क्योंकि $ ST \parallel QR $ है और PQ एक तिर्यक रेखा है, इसलिए $ \angle PST = \angle PQR $ (संगत कोण) (समीकरण 1)।
4. दिया गया है: $ \angle PST = \angle PRQ $ (समीकरण 2)।
5. समीकरण (1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है: $ \angle PQR = \angle PRQ $।
6. एक त्रिभुज में समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
7. इसलिए, $ PQ = PR $।
8. अतः, $ \Delta PQR $ एक समद्विबाहु त्रिभुज है (क्योंकि इसकी दो भुजाएँ PQ और PR बराबर हैं)। इस प्रकार यह सिद्ध होता है।

6.4 त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटियाँ (Criteria for Similarity of Triangles)

पिछले अनुभाग में, हमने देखा कि दो त्रिभुज समरूप होते हैं यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों। यानी, यदि $ \Delta ABC $ और $ \Delta DEF $ में, $ \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F $ और $ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} $ है, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।

संकेतात्मक रूप से, हम इन त्रिभुजों की समरूपता को '$ \Delta ABC \sim \Delta DEF $' लिखते हैं और इसे 'त्रिभुज ABC समरूप है त्रिभुज DEF के' पढ़ते हैं। संकेत '$ \sim $' 'समरूप' को प्रकट करता है।

त्रिभुजों की समरूपता को संकेतात्मक रूप से व्यक्त करने के लिए, उनके शीर्षों की संगतताओं को सही क्रम में लिखना चाहिए।

दो त्रिभुजों की समरूपता की जाँच के लिए क्या हमें हमेशा उनके संगत कोणों के सभी युग्मों की समानता और उनकी संगत भुजाओं के सभी युग्मों के अनुपातों की समानता पर विचार करना पड़ता है? नहीं। त्रिभुजों की सर्वांगसमता की तरह, यहाँ भी कुछ कसौटियाँ हैं जिनमें संगत भागों के केवल कुछ युग्म ही शामिल होते हैं।

क्रियाकलाप 4 (Activity 4):

विभिन्न लंबाइयों, जैसे 3 cm और 5 cm, वाले दो रेखाखंड BC और EF खींचिए। बिंदु B और C पर क्रमशः 60° और 40° के कोण बनाइए। बिंदु E और F पर भी क्रमशः 60° और 40° के कोण बनाइए। किरण BP और CQ बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती हैं, और किरण ER और FS बिंदु D पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन दोनों त्रिभुजों ABC और DEF में, आप देखेंगे कि $ \angle B = \angle E, \angle C = \angle F $। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म से, $ \angle A = \angle D $ भी होगा। यानी, इन त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं। उनकी संगत भुजाओं BC और EF का अनुपात $ \frac{3}{5} = 0.6 $ है। जब आप AB, DE, CA और FD को मापेंगे, तो आप पाएँगे कि $ \frac{AB}{DE} $ और $ \frac{CA}{FD} $ भी लगभग 0.6 के बराबर हैं। इस प्रकार, $ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} $ है। यह क्रियाकलाप हमें त्रिभुजों की समरूपता की निम्नलिखित कसौटी की ओर ले जाता है:

प्रमेय 6.3: AAA (कोण-कोण-कोण) समरूपता कसौटी (AAA Similarity Criterion)

कथन: यदि दो त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) होती हैं और इसीलिए ये त्रिभुज समरूप होते हैं। इस कसौटी को दो त्रिभुजों की समरूपता की AAA कसौटी कहा जाता है।

टिप्पणी: यदि एक त्रिभुज के दो कोण किसी अन्य त्रिभुज के दो कोणों के क्रमशः बराबर हों, तो त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के कारण, इनके तीसरे कोण भी बराबर होंगे। इसलिए, AAA समरूपता कसौटी को निम्नलिखित रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है: यदि एक त्रिभुज के दो कोण एक अन्य त्रिभुज के क्रमशः दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। इसे दो त्रिभुजों की समरूपता की AA (कोण-कोण) कसौटी कहा जाता है।

क्या इस कथन का विलोम सत्य है? यानी, यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती हों, तो क्या यह सत्य है कि इन त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं? हाँ।

क्रियाकलाप 5 (Activity 5):

दो त्रिभुज ABC और DEF इस प्रकार खींचिए कि AB = 3 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm, DE = 4.5 cm, EF = 9 cm और FD = 12 cm हो। तब, आप प्राप्त करते हैं: $ \frac{AB}{DE} = \frac{3}{4.5} = \frac{30}{45} = \frac{2}{3} $। $ \frac{BC}{EF} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $। $ \frac{CA}{FD} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $। इस प्रकार, $ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} $ (प्रत्येक $ \frac{2}{3} $ के बराबर हैं)। अब, $ \angle A, \angle B, \angle C, \angle D, \angle E $ और $ \angle F $ को मापिए। आप देखेंगे कि $ \angle A = \angle D, \angle B = \angle E $ और $ \angle C = \angle F $ है। यानी, दोनों त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं।

यह क्रियाकलाप हमें त्रिभुजों की समरूपता की निम्नलिखित कसौटी की ओर ले जाता है:

प्रमेय 6.4: SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता कसौटी (SSS Similarity Criterion)

कथन: यदि दो त्रिभुजों में, एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती (अर्थात् एक ही अनुपात में) हों, तो इनके संगत कोण बराबर होते हैं, और इसीलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। इस कसौटी को दो त्रिभुजों की समरूपता की SSS कसौटी कहा जाता है।

टिप्पणी: दो बहुभुजों की समरूपता के लिए, दोनों प्रतिबंधों (i) संगत कोण बराबर हों और (ii) संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, में से केवल किसी एक का ही संतुष्ट होना पर्याप्त नहीं होता है। परंतु त्रिभुजों की समरूपता की स्थिति में, प्रमेय 6.3 और 6.4 के आधार पर, अब आप कह सकते हैं कि इन दोनों प्रतिबंधों की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि एक प्रतिबंध से स्वतः ही दूसरा प्रतिबंध प्राप्त हो जाता है।

क्रियाकलाप 6 (Activity 6):

दो त्रिभुज ABC और DEF इस प्रकार खींचिए कि AB = 2 cm, $ \angle A = 50^\circ $, AC = 4 cm, DE = 3 cm, $ \angle D = 50^\circ $ और DF = 6 cm हो। यहाँ, आप देखेंगे कि $ \frac{AB}{DE} = \frac{2}{3} $। $ \frac{AC}{DF} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $। इसलिए, $ \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} $। साथ ही, $ \angle A $ (भुजाओं AB और AC के अंतर्गत कोण) = $ \angle D $ (भुजाओं DE और DF के अंतर्गत कोण) = $ 50^\circ $ है। यानी, एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर है तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ एक ही अनुपात में हैं। अब, $ \angle B, \angle C, \angle E $ और $ \angle F $ को मापिए। आप पाएँगे कि $ \angle B = \angle E $ और $ \angle C = \angle F $ है। यानी, $ \angle A = \angle D, \angle B = \angle E $ और $ \angle C = \angle F $ है। इसलिए, AAA समरूपता कसौटी से, $ \Delta ABC \sim \Delta DEF $ है।

यह क्रियाकलाप हमें त्रिभुजों की समरूपता की निम्नलिखित कसौटी की ओर ले जाता है:

प्रमेय 6.5: SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी (SAS Similarity Criterion)

कथन: यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। इस कसौटी को दो त्रिभुजों की समरूपता की SAS कसौटी कहा जाता है।

उदाहरणों का चरण-दर-चरण हल (Step-by-step solutions of Examples) - जारी:

उदाहरण 4:

प्रश्न: आकृति 6-29 में, यदि $ PQ \parallel RS $ है, तो सिद्ध कीजिए कि $ \Delta POQ \sim \Delta SOR $ है।

हल:

1. दिया गया है: $ PQ \parallel RS $।
2. चूंकि $ PQ \parallel RS $ है और PS एक तिर्यक रेखा है, इसलिए $ \angle P = \angle S $ (एकांतर कोण)।
3. चूंकि $ PQ \parallel RS $ है और QR एक तिर्यक रेखा है, इसलिए $ \angle Q = \angle R $ (एकांतर कोण)।
4. $ \angle POQ = \angle SOR $ (शीर्षाभिमुख कोण)।
5. इसलिए, $ \Delta POQ \sim \Delta SOR $ (AAA समरूपता कसौटी)। इस प्रकार यह सिद्ध होता है।

उदाहरण 5:

प्रश्न: आकृति 6-30 में $ \angle P $ ज्ञात कीजिए।

हल:

$ \Delta ABC $ और $ \Delta PQR $ में, भुजाओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।

AB = 3.8 cm, BC = 6 cm, CA = $ 3\sqrt{3} $ cm

PQ = 12 cm, QR = 7.6 cm, PR = $ 6\sqrt{3} $ cm

$ \angle A = 80^\circ, \angle B = 60^\circ $

1. अनुपात देखें: $ \frac{AB}{RQ} = \frac{3.8}{7.6} = \frac{38}{76} = \frac{1}{2} $
   $ \frac{BC}{QP} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $
   $ \frac{CA}{PR} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $
2. हमें प्राप्त होता है: $ \frac{AB}{RQ} = \frac{BC}{QP} = \frac{CA}{PR} = \frac{1}{2} $।
3. इसलिए, $ \Delta ABC \sim \Delta RQP $ (SSS समरूपता कसौटी)।
4. समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।
5. इसलिए, $ \angle C = \angle P $।
6. $ \Delta ABC $ में, कोण योग गुणधर्म से, $ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B $।
7. $ \angle C = 180^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ $।
8. चूंकि $ \angle C = \angle P $ है, इसलिए $ \angle P = 40^\circ $।

उदाहरण 6:

प्रश्न: आकृति 6-31 में, $ OA \cdot OB = OC \cdot OD $ है। दर्शाइए कि $ \angle A = \angle C $ और $ \angle B = \angle D $ है।

हल:

1. दिया गया है: $ OA \cdot OB = OC \cdot OD $।
2. इस समीकरण को पुनः व्यवस्थित कीजिए ताकि अनुपात प्राप्त हो: $ \frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB} $ (समीकरण 1)।
3. $ \angle AOD = \angle COB $ (शीर्षाभिमुख कोण) (समीकरण 2)।
4. समीकरण (1) और (2) से, $ \Delta AOD \sim \Delta COB $ (SAS समरूपता कसौटी)।
5. समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।
6. इसलिए, $ \angle A = \angle C $ और $ \angle D = \angle B $। इस प्रकार यह सिद्ध होता है।

उदाहरण 7:

प्रश्न: 90 cm की लंबाई वाली एक लड़की बल्ब लगे एक खंभे के आधार से परे 1.2 m/s की चाल से चल रही है। यदि बल्ब भूमि से 3.6 m की ऊँचाई पर है, तो 4 सेकंड बाद उस लड़की की छाया की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

1. मान लीजिए AB बल्ब लगे खंभे को और CD लड़की द्वारा खंभे के आधार से परे 4 सेकंड चलने के बाद उसकी स्थिति को प्रकट करते हैं (देखिए आकृति 6-32)।
2. लड़की की ऊँचाई CD = 90 cm = $ \frac{90}{100} $ m = 0.9 m है।
3. बल्ब की ऊँचाई AB = 3.6 m है।
4. लड़की की चाल = 1.2 m/s है।
5. 4 सेकंड में लड़की द्वारा चली गई दूरी BD = चाल $ \times $ समय = $ 1.2 \, \text{m/s} \times 4 \, \text{s} = 4.8 \, \text{m} $ है।
6. मान लीजिए लड़की की छाया की लंबाई DE = $x$ m है।
7. $ \Delta ABE $ और $ \Delta CDE $ में ध्यान दीजिए।
8. $ \angle B = \angle D = 90^\circ $ (क्योंकि खंभा और लड़की दोनों भूमि से ऊर्ध्वाधर खड़े हैं)।
9. $ \angle E = \angle E $ (समान कोण)।
10. इसलिए, $ \Delta ABE \sim \Delta CDE $ (AA समरूपता कसौटी)।
11. समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
12. इसलिए, $ \frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} $।
13. चित्र से, BE = BD + DE = $ 4.8 + x $।
14. मान रखिए: $ \frac{4.8 + x}{x} = \frac{3.6}{0.9} $।
15. $ \frac{4.8 + x}{x} = 4 $।
16. $ 4.8 + x = 4x $।
17. $ 4.8 = 4x - x = 3x $।
18. $ x = \frac{4.8}{3} = 1.6 $।
19. अतः, 4 सेकंड चलने के बाद लड़की की छाया की लंबाई 1.6 m है।

उदाहरण 8:

प्रश्न: आकृति 6-33 में CM और RN क्रमशः $ \Delta ABC $ और $ \Delta PQR $ की माध्यिकाएँ हैं। यदि $ \Delta ABC \sim \Delta PQR $ है तो सिद्ध कीजिए कि: (i) $ \Delta AMC \sim \Delta PNR $ (ii) $ \frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ} $ (iii) $ \Delta CMB \sim \Delta RNQ $

हल:

1. दिया गया है: $ \Delta ABC \sim \Delta PQR $।
2. चूंकि $ \Delta ABC \sim \Delta PQR $ है, इसलिए संगत भुजाएँ समानुपाती हैं और संगत कोण बराबर हैं:
   1. $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} $ (समीकरण 1)।
   2. $ \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R $ (समीकरण 2)।
3. CM और RN माध्यिकाएँ हैं, इसलिए M AB का मध्य बिंदु है और N PQ का मध्य बिंदु है। इसलिए, $ AB = 2 AM $ और $ PQ = 2 PN $। $ BC = 2 BM $ और $ QR = 2 QN $।
4. (i) $ \Delta AMC \sim \Delta PNR $ सिद्ध करना है:
   • समीकरण (1) से, $ \frac{AB}{PQ} = \frac{CA}{RP} $।
   • $ \frac{2AM}{2PN} = \frac{CA}{RP} $।
   • $ \frac{AM}{PN} = \frac{CA}{RP} $ (समीकरण 3)।
   • समीकरण (2) से, $ \angle A = \angle P $। हम $ \angle A $ को $ \angle MAC $ लिख सकते हैं और $ \angle P $ को $ \angle NPR $ लिख सकते हैं, इसलिए $ \angle MAC = \angle NPR $ (समीकरण 4)।
   • समीकरण (3) और (4) से, $ \Delta AMC \sim \Delta PNR $ (SAS समरूपता कसौटी)।
5. (ii) $ \frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ} $ सिद्ध करना है:
   • चूंकि $ \Delta AMC \sim \Delta PNR $ (भाग (i) से), इसलिए संगत भुजाएँ समानुपाती हैं: $ \frac{CM}{RN} = \frac{AM}{PN} = \frac{AC}{PR} $ (समीकरण 6)।
   • समीकरण (1) से, $ \frac{AB}{PQ} = \frac{CA}{RP} $।
   • समीकरण (6) और (1) से, $ \frac{CM}{RN} = \frac{CA}{RP} = \frac{AB}{PQ} $।
   • इसलिए, $ \frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ} $ (समीकरण 8)।
6. (iii) $ \Delta CMB \sim \Delta RNQ $ सिद्ध करना है:
   • समीकरण (1) से, $ \frac{BC}{QR} = \frac{AB}{PQ} $।
   • समीकरण (8) से, $ \frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ} $।
   • इसलिए, $ \frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR} $ (समीकरण 9)।
   • साथ ही, $ \frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ} = \frac{2BM}{2QN} = \frac{BM}{QN} $ (समीकरण 10)।
   • समीकरण (9) और (10) से, $ \frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN} $।
   • इसलिए, $ \Delta CMB \sim \Delta RNQ $ (SSS समरूपता कसौटी)।
   • (टिप्पणी: आप इस भाग को SAS कसौटी का उपयोग करके भी सिद्ध कर सकते हैं। हमें $ \angle B = \angle Q $ (समीकरण 2 से) और $ \frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN} = \frac{CM}{RN} $ प्राप्त है।)

अभ्यास प्रश्न (Exercise Questions):

प्रश्नावली 6.1

1. कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए:
   1. सभी वृत्त समरूप होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
   2. सभी वर्ग समरूप होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
   3. सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
   4. भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों। (बराबर, समानुपाती; बराबर, समानुपाती)
2. निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए:
   1. समरूप आकृतियाँ।
      उत्तर: दो वृत्त, दो वर्ग।
      उत्तर: ताजमहल की अलग-अलग आकार की तस्वीरें।
   2. ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
      उत्तर: एक त्रिभुज और एक वर्ग।
      उत्तर: एक वर्ग और एक आयत।
      उत्तर: एक वर्ग और एक समचतुर्भुज (रोम्बस)।
3. बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं: (आकृति 6-8 देखें)

   आकृति 6-8 में एक वर्ग (भुजा 1.5 cm) और एक समचतुर्भुज (भुजा 3 cm) दिखाए गए हैं। वर्ग के सभी कोण $90^\circ$ होते हैं, जबकि समचतुर्भुज के कोण $90^\circ$ नहीं होते हैं। हालाँकि भुजाएँ समानुपाती हैं ($ \frac{1.5}{3} = \frac{1}{2} $), संगत कोण बराबर नहीं हैं।

   उत्तर: ये चतुर्भुज समरूप नहीं हैं।

प्रश्नावली 6.2

1. आकृति 6-17 (i) और (ii) में, $ DE \parallel BC $ है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए:

   अवधारणा: इस प्रश्न में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (प्रमेय 6.1) का प्रयोग होगा।

   हल (i): $ \Delta ABC $ में, $ DE \parallel BC $। प्रमेय 6.1 से, $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $। मान रखने पर, $ \frac{1.5}{3} = \frac{1}{EC} $। $ \frac{1}{2} = \frac{1}{EC} $। इसलिए, $ EC = 2 $ cm।

   हल (ii): $ \Delta ABC $ में, $ DE \parallel BC $। प्रमेय 6.1 से, $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $। मान रखने पर, $ \frac{AD}{7.2} = \frac{1.8}{5.4} $। $ \frac{AD}{7.2} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3} $। $ AD = \frac{7.2}{3} = 2.4 $ cm।

2. किसी $ \Delta PQR $ की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या $ EF \parallel QR $ है:

   अवधारणा: इस प्रश्न में आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम (प्रमेय 6.2) का प्रयोग होगा। हमें जाँच करनी है कि क्या $ \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR} $ है।

   (i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm:
   $ \frac{PE}{EQ} = \frac{3.9}{3} = \frac{39}{30} = \frac{13}{10} = 1.3 $
   $ \frac{PF}{FR} = \frac{3.6}{2.4} = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} = 1.5 $
   क्योंकि $ \frac{PE}{EQ} \neq \frac{PF}{FR} $ है, इसलिए $ EF \parallel QR $ नहीं है।

   (ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm:
   $ \frac{PE}{QE} = \frac{4}{4.5} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9} $
   $ \frac{PF}{RF} = \frac{8}{9} $
   क्योंकि $ \frac{PE}{QE} = \frac{PF}{RF} $ है, इसलिए $ EF \parallel QR $ है।

   (iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm:
   $ EQ = PQ - PE = 1.28 - 0.18 = 1.10 $ cm
   $ FR = PR - PF = 2.56 - 0.36 = 2.20 $ cm
   $ \frac{PE}{EQ} = \frac{0.18}{1.10} = \frac{18}{110} = \frac{9}{55} $
   $ \frac{PF}{FR} = \frac{0.36}{2.20} = \frac{36}{220} = \frac{9}{55} $
   क्योंकि $ \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR} $ है, इसलिए $ EF \parallel QR $ है।

3. आकृति 6-18 में यदि $LM \parallel CB$ और $LN \parallel CD$ हो तो सिद्ध कीजिए कि $ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD} $ है।

   अवधारणा: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करें।

   हल: $ \Delta ABC $ में, $ LM \parallel CB $। प्रमेय 6.1 से, $ \frac{AM}{MB} = \frac{AL}{LC} $ (1)
   $ \Delta ADC $ में, $ LN \parallel CD $। प्रमेय 6.1 से, $ \frac{AN}{ND} = \frac{AL}{LC} $ (2)
   (1) और (2) से, $ \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{ND} $।
   व्युत्क्रम करके 1 जोड़ें: $ \frac{MB}{AM} + 1 = \frac{ND}{AN} + 1 $
   $ \frac{MB+AM}{AM} = \frac{ND+AN}{AN} $
   $ \frac{AB}{AM} = \frac{AD}{AN} $
   अतः, $ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD} $।

4. आकृति 6-19 में $DE \parallel AC$ और $DF \parallel AE$ है। सिद्ध कीजिए कि $ \frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC} $ है।

   अवधारणा: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करें।

   हल: $ \Delta BAC $ में, $ DE \parallel AC $। प्रमेय 6.1 से, $ \frac{BD}{DA} = \frac{BE}{EC} $ (1)
   $ \Delta BAE $ में, $ DF \parallel AE $। प्रमेय 6.1 से, $ \frac{BD}{DA} = \frac{BF}{FE} $ (2)
   (1) और (2) से, $ \frac{BE}{EC} = \frac{BF}{FE} $। अतः, $ \frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC} $।

5. आकृति 6-20 में $DE \parallel OQ$ और $DF \parallel OR$ है। दर्शाइए कि $EF \parallel QR$ है।

   अवधारणा: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय और उसके विलोम का प्रयोग करें।

   हल: $ \Delta POQ $ में, $ DE \parallel OQ $। प्रमेय 6.1 से, $ \frac{PE}{EQ} = \frac{PD}{DO} $ (1)
   $ \Delta POR $ में, $ DF \parallel OR $। प्रमेय 6.1 से, $ \frac{PF}{FR} = \frac{PD}{DO} $ (2)
   (1) और (2) से, $ \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR} $।
   $ \Delta PQR $ में, बिंदु E और F क्रमशः भुजाओं PQ और PR पर स्थित हैं और $ \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR} $ है। प्रमेय 6.2 (विलोम) से, $ EF \parallel QR $।

6. आकृति 6-21 में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि $AB \parallel PQ$ और $AC \parallel PR$ है। दर्शाइए कि $BC \parallel QR$ है।

   अवधारणा: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय और उसके विलोम का प्रयोग करें।

   हल: $ \Delta POQ $ में, $ AB \parallel PQ $। प्रमेय 6.1 से, $ \frac{OA}{AP} = \frac{OB}{BQ} $ (1)
   $ \Delta POR $ में, $ AC \parallel PR $। प्रमेय 6.1 से, $ \frac{OA}{AP} = \frac{OC}{CR} $ (2)
   (1) और (2) से, $ \frac{OB}{BQ} = \frac{OC}{CR} $।
   $ \Delta OQR $ में, बिंदु B और C क्रमशः भुजाओं OQ और OR पर स्थित हैं और $ \frac{OB}{BQ} = \frac{OC}{CR} $ है। प्रमेय 6.2 (विलोम) से, $ BC \parallel QR $।

7. प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)

   अवधारणा: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का प्रयोग करते हुए मध्यबिंदु प्रमेय के एक भाग को सिद्ध करें।

   हल: मान लीजिए $ \Delta ABC $ है। भुजा AB का मध्यबिंदु D है। एक रेखा DE भुजा BC के समांतर बिंदु D से खींची जाती है, जो AC को बिंदु E पर मिलती है। हमें सिद्ध करना है कि E, AC का मध्यबिंदु है, यानी $ AE = EC $ या $ \frac{AE}{EC} = 1 $।
   $ \Delta ABC $ में, $ DE \parallel BC $। प्रमेय 6.1 से, $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $।
   चूंकि D, AB का मध्यबिंदु है, $ AD = DB $। इसलिए, $ \frac{AD}{DB} = 1 $।
   अतः, $ \frac{AE}{EC} = 1 $। इसका अर्थ है $ AE = EC $। इसलिए, E, AC का मध्यबिंदु है।

8. प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं।)

   अवधारणा: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम का प्रयोग करते हुए मध्यबिंदु प्रमेय के दूसरे भाग को सिद्ध करें।

   हल: मान लीजिए $ \Delta ABC $ है। भुजा AB का मध्यबिंदु D है और भुजा AC का मध्यबिंदु E है। DE को मिलाइए। हमें सिद्ध करना है कि $ DE \parallel BC $।
   चूंकि D, AB का मध्यबिंदु है, $ AD = DB $। इसलिए, $ \frac{AD}{DB} = 1 $।
   चूंकि E, AC का मध्यबिंदु है, $ AE = EC $। इसलिए, $ \frac{AE}{EC} = 1 $।
   हमें प्राप्त होता है $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = 1 $।
   $ \Delta ABC $ में, रेखा DE भुजाओं AB और AC को इस प्रकार विभाजित करती है कि $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $ है। प्रमेय 6.2 (विलोम) से, $ DE \parallel BC $।

9. ABCD एक समलंब है जिसमें $AB \parallel DC$ है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $ है।

   अवधारणा: समरूप त्रिभुजों का प्रयोग करें।

   हल: ABCD एक समलंब है जिसमें $ AB \parallel DC $ है। विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
   $ \Delta AOB $ और $ \Delta COD $ पर विचार करें।
   $ \angle OAB = \angle OCD $ (एकांतर कोण, क्योंकि $ AB \parallel DC $ और AC तिर्यक रेखा है)
   $ \angle OBA = \angle ODC $ (एकांतर कोण, क्योंकि $ AB \parallel DC $ और BD तिर्यक रेखा है)
   $ \angle AOB = \angle COD $ (शीर्षाभिमुख कोण)
   इसलिए, $ \Delta AOB \sim \Delta COD $ (AAA समरूपता कसौटी)।
   समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं: $ \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} $।
   इस अनुपात को पुनः व्यवस्थित करें: $ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $। अतः, $ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $ है।

10. एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $ है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।

    अवधारणा: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम का प्रयोग करें, संभवतः समरूप त्रिभुजों की सहायता से।

    हल: दिया गया है: एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं जैसे कि $ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $ है।
    इसे पुनः व्यवस्थित करें: $ \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} $।
    $ \Delta AOB $ और $ \Delta COD $ में, हमारे पास $ \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} $ है।
    और $ \angle AOB = \angle COD $ (शीर्षाभिमुख कोण)।
    तो, $ \Delta AOB \sim \Delta COD $ (SAS समरूपता कसौटी, क्योंकि दो भुजाओं का अनुपात समान है और उनके बीच का कोण बराबर है)।
    समरूप त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं: $ \angle OAB = \angle OCD $ और $ \angle OBA = \angle ODC $।
    $ \angle OAB $ और $ \angle OCD $ एकांतर कोण हैं जो AC तिर्यक रेखा द्वारा रेखाओं AB और DC को प्रतिच्छेद करने पर बनते हैं। चूंकि एकांतर कोण बराबर हैं, $ AB \parallel DC $ है।
    चूंकि भुजाओं का एक युग्म AB और DC समांतर है, इसलिए चतुर्भुज ABCD एक समलंब है।

प्रश्नावली 6.3

1. बताइए कि आकृति 6-34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

   अवधारणा: AAA/AA, SSS, SAS समरूपता कसौटियों का प्रयोग करें।

   उदाहरण हल (i): $ \Delta ABC $ और $ \Delta PQR $ में:
   $ \angle A = 60^\circ, \angle B = 80^\circ, \angle C = 40^\circ $
   $ \angle P = 60^\circ, \angle Q = 80^\circ, \angle R = 40^\circ $
   $ \angle A = \angle P = 60^\circ $
   $ \angle B = \angle Q = 80^\circ $
   $ \angle C = \angle R = 40^\circ $
   सभी संगत कोण बराबर हैं। इसलिए, $ \Delta ABC \sim \Delta PQR $ (AAA समरूपता कसौटी)।

   उदाहरण हल (ii): $ \Delta ABC $ और $ \Delta PQR $ में:
   AB = 2, BC = 2.5, AC = 3
   PQ = 6, QR = 4, PR = 5
   अनुपात देखें:
   $ \frac{AB}{QR} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
   $ \frac{BC}{PR} = \frac{2.5}{5} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2} $
   $ \frac{AC}{PQ} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $
   सभी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं। इसलिए, $ \Delta ABC \sim \Delta QRP $ (SSS समरूपता कसौटी)।

   (अन्य भाग): इसी तरह अन्य युग्मों की जाँच करें कि कौन सी कसौटी लागू होती है।

2. आकृति 6-35 में, $ \Delta ODC \sim \Delta OBA $, $ \angle BOC = 125^\circ $ और $ \angle CDO = 70^\circ $ है। $ \angle DOC, \angle DCO $ और $ \angle OAB $ ज्ञात कीजिए।

   अवधारणा: रैखिक युग्म, त्रिभुज के कोणों का योग, और समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म का प्रयोग करें।

   हल: $ \angle BOC = 125^\circ $ (दिया गया है)।
   $ \angle DOC + \angle BOC = 180^\circ $ (रैखिक युग्म)।
   $ \angle DOC + 125^\circ = 180^\circ $।
   $ \angle DOC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ $।
   $ \Delta DOC $ में, $ \angle CDO = 70^\circ $ (दिया गया है), $ \angle DOC = 55^\circ $।
   $ \angle DCO + \angle CDO + \angle DOC = 180^\circ $ (त्रिभुज के कोणों का योग गुणधर्म)।
   $ \angle DCO + 70^\circ + 55^\circ = 180^\circ $।
   $ \angle DCO + 125^\circ = 180^\circ $।
   $ \angle DCO = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ $।
   दिया गया है $ \Delta ODC \sim \Delta OBA $। समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।
   $ \angle OAB = \angle DCO $ (संगत कोण)।
   इसलिए, $ \angle OAB = 55^\circ $।
   उत्तर: $ \angle DOC = 55^\circ, \angle DCO = 55^\circ, \angle OAB = 55^\circ $।

3. समलंब ABCD, जिसमें $AB \parallel DC$ है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि $ \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} $ है।

   अवधारणा: समरूप त्रिभुजों और उनकी भुजाओं के अनुपात का प्रयोग करें।

   हल: ABCD एक समलंब है जिसमें $ AB \parallel DC $ है। विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
   $ \Delta AOB $ और $ \Delta COD $ पर विचार करें।
   $ \angle OAB = \angle OCD $ (एकांतर कोण, क्योंकि $ AB \parallel DC $ और AC तिर्यक रेखा है)
   $ \angle OBA = \angle ODC $ (एकांतर कोण, क्योंकि $ AB \parallel DC $ और BD तिर्यक रेखा है)
   $ \angle AOB = \angle COD $ (शीर्षाभिमुख कोण)
   इसलिए, $ \Delta AOB \sim \Delta COD $ (AAA समरूपता कसौटी)।
   समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं: $ \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} $।
   अतः, $ \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} $ है।

4. आकृति 6-36 में, $ \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR} $ तथा $ \angle 1 = \angle 2 $ है। दर्शाइए कि $ \Delta PQS \sim \Delta TQR $ है।

   अवधारणा: SAS समरूपता कसौटी का प्रयोग करें।

   हल: $ \angle 1 = \angle 2 $ (दिया गया है)।
   $ \Delta PQR $ में, $ \angle 1 $ के सामने की भुजा PR है और $ \angle 2 $ के सामने की भुजा PQ है। समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए $ PQ = PR $।
   हमें दिया गया है $ \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR} $। PR के स्थान पर PQ रखने पर, हमें मिलता है $ \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ} $।
   इसे पुनः व्यवस्थित करें: $ \frac{PQ}{QT} = \frac{QS}{QR} $।
   अब $ \Delta PQS $ और $ \Delta TQR $ में:
   1. $ \angle PQS = \angle TQR = \angle 1 $ (उभयनिष्ठ कोण)।
   2. संगत भुजाओं का अनुपात: $ \frac{PQ}{TQ} = \frac{QS}{QR} $ (जैसा ऊपर सिद्ध किया)।
   भुजाएँ PQ और QS कोण $ \angle Q $ को $ \Delta PQS $ में अंतर्गत करती हैं, और भुजाएँ TQ और QR कोण $ \angle Q $ को $ \Delta TQR $ में अंतर्गत करती हैं।
   अतः, $ \Delta PQS \sim \Delta TQR $ (SAS समरूपता कसौटी)।

5. $ \Delta PQR $ की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि $ \angle P = \angle RTS $ है। दर्शाइए कि $ \Delta RPQ \sim \Delta RTS $ है।

   अवधारणा: AA समरूपता कसौटी का प्रयोग करें।

   हल: $ \Delta RPQ $ और $ \Delta RTS $ पर विचार करें।
   $ \angle P = \angle RTS $ (दिया गया है)।
   $ \angle R = \angle R $ (उभयनिष्ठ कोण)।
   दो कोण बराबर होने के कारण, तीसरा कोण भी बराबर होगा।
   इसलिए, $ \Delta RPQ \sim \Delta RTS $ (AA समरूपता कसौटी)।

6. आकृति 6-37 में, यदि $ \Delta ABE \cong \Delta ACD $ है, तो दर्शाइए कि $ \Delta ADE \sim \Delta ABC $ है। (नोट: सर्वांगसमता का चिह्न @ के स्थान पर $\cong$ है।)

   अवधारणा: सर्वांगसम त्रिभुजों के गुणधर्म (CPCTC) और समरूप त्रिभुजों (SAS) की कसौटी का प्रयोग करें।

   हल: दिया गया है: $ \Delta ABE \cong \Delta ACD $।
   चूंकि त्रिभुज सर्वांगसम हैं, उनके संगत भाग बराबर होते हैं (CPCTC):
   $ AB = AC $ (1)
   $ AE = AD $ (2)
   ($ \angle BAE = \angle CAD $ भी, लेकिन इसकी यहाँ आवश्यकता नहीं है)।
   अब $ \Delta ADE $ और $ \Delta ABC $ पर विचार करें।
   समीकरण (2) से, $ AD = AE $।
   समीकरण (1) से, $ AB = AC $।
   अनुपात लें: $ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $ (क्योंकि $ AD=AE $ और $ AB=AC $, हम इसे $ \frac{AD}{AB} = \frac{AD}{AB} $ या $ \frac{AE}{AC} = \frac{AE}{AC} $ लिख सकते हैं। दिए गए क्रम में $ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $)।
   $ \angle DAE $ कोण A ही है, और $ \angle BAC $ कोण A ही है।
   $ \angle DAE = \angle BAC $ (उभयनिष्ठ कोण)।
   तो, $ \Delta ADE $ और $ \Delta ABC $ में, $ \angle A $ उभयनिष्ठ है और कोण A को अंतर्गत करने वाली भुजाओं का अनुपात समान है ($ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $)।
   इसलिए, $ \Delta ADE \sim \Delta ABC $ (SAS समरूपता कसौटी)।

7. आकृति 6-38 में, $ \Delta ABC $ के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि: (i) $ \Delta AEP \sim \Delta CDP $ (ii) $ \Delta ABD \sim \Delta CBE $ (iii) $ \Delta AEP \sim \Delta ADB $ (iv) $ \Delta PDC \sim \Delta BEC $

   अवधारणा: AA समरूपता कसौटी का प्रयोग करें (शीर्षलंब $90^\circ$ का कोण बनाते हैं और ऊर्ध्वाधर कोण/उभयनिष्ठ कोण)।

   हल: $ AD \perp BC, CE \perp AB $।
   (i) $ \Delta AEP $ और $ \Delta CDP $ में:
   $ \angle AEP = \angle CDP = 90^\circ $ ($ CE \perp AB, AD \perp BC $)।
   $ \angle APE = \angle CPD $ (शीर्षाभिमुख कोण)।
   इसलिए, $ \Delta AEP \sim \Delta CDP $ (AA समरूपता कसौटी)।
   (ii) $ \Delta ABD $ और $ \Delta CBE $ में:
   $ \angle ADB = \angle CEB = 90^\circ $ ($ AD \perp BC, CE \perp AB $)।
   $ \angle B = \angle B $ (उभयनिष्ठ कोण)।
   इसलिए, $ \Delta ABD \sim \Delta CBE $ (AA समरूपता कसौटी)।
   (iii) $ \Delta AEP $ और $ \Delta ADB $ में:
   $ \angle AEP = \angle ADB = 90^\circ $ ($ CE \perp AB, AD \perp BC $)।
   $ \angle PAE = \angle DAB $ (उभयनिष्ठ कोण $ \angle A $)।
   इसलिए, $ \Delta AEP \sim \Delta ADB $ (AA समरूपता कसौटी)।
   (iv) $ \Delta PDC $ और $ \Delta BEC $ में:
   $ \angle PDC = \angle BEC = 90^\circ $ ($ AD \perp BC, CE \perp AB $)।
   $ \angle PCD = \angle BCE $ (उभयनिष्ठ कोण $ \angle C $)।
   इसलिए, $ \Delta PDC \sim \Delta BEC $ (AA समरूपता कसौटी)।

8. समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि $ \Delta ABE \sim \Delta CFB $ है।

   अवधारणा: समांतर चतुर्भुज के गुणधर्म और AA समरूपता कसौटी का प्रयोग करें।

   हल: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए, $ AD \parallel BC $ और $ AB \parallel DC $। सम्मुख कोण बराबर होते हैं, $ \angle A = \angle C $।
   AD को E तक बढ़ाया गया है। BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करती है।
   $ \Delta ABE $ और $ \Delta CFB $ पर विचार करें।
   1. $ \angle A = \angle C $ (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)। तो $ \angle BAE = \angle BCF $।
   2. चूंकि $ AE \parallel BC $ (क्योंकि AD को E तक बढ़ाया गया है और $ AD \parallel BC $) और BE तिर्यक रेखा है, इसलिए $ \angle AEB = \angle CBF $ (एकांतर अंतः कोण)।
   इसलिए, $ \Delta ABE \sim \Delta CFB $ (AA समरूपता कसौटी)।

9. आकृति 6-39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि: (i) $ \Delta ABC \sim \Delta AMP $ (ii) $ \frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP} $

   अवधारणा: AA समरूपता कसौटी और समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं के अनुपात का प्रयोग करें।

   हल:
   (i) $ \Delta ABC $ और $ \Delta AMP $ में:
   $ \angle ABC = 90^\circ $ (B पर समकोण)।
   $ \angle AMP = 90^\circ $ (M पर समकोण)।
   $ \angle ABC = \angle AMP = 90^\circ $।
   $ \angle A = \angle A $ (उभयनिष्ठ कोण, अर्थात् $ \angle BAC = \angle MAP $)।
   इसलिए, $ \Delta ABC \sim \Delta AMP $ (AA समरूपता कसौटी)।
   (ii) चूंकि $ \Delta ABC \sim \Delta AMP $ है (भाग (i) से), समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
   $ \frac{AB}{AM} = \frac{BC}{MP} = \frac{CA}{PA} $।
   अतः, $ \frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP} $ है।

10. CD और GH क्रमशः $ \angle ACB $ और $ \angle EGF $ के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमशः $ \Delta ABC $ और $ \Delta FEG $ की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि $ \Delta ABC \sim \Delta FEG $ है, तो दर्शाइए कि: (i) $ \frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG} $ (ii) $ \Delta DCB \sim \Delta HGE $ (iii) $ \Delta DCA \sim \Delta HGF $

    अवधारणा: समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म, कोण समद्विभाजक और AA समरूपता कसौटी का प्रयोग करें।

    हल: दिया गया है: $ \Delta ABC \sim \Delta FEG $।
    इसलिए, संगत कोण बराबर हैं: $ \angle A = \angle F, \angle B = \angle E, \angle ACB = \angle FGE $।
    और संगत भुजाएँ समानुपाती हैं: $ \frac{AB}{FE} = \frac{BC}{EG} = \frac{AC}{FG} $।
    CD, $ \angle ACB $ का समद्विभाजक है, इसलिए $ \angle ACD = \angle BCD = \frac{1}{2}\angle ACB $।
    GH, $ \angle FGE $ का समद्विभाजक है, इसलिए $ \angle FGH = \angle EGH = \frac{1}{2}\angle FGE $।
    चूंकि $ \angle ACB = \angle FGE $ है, $ \frac{1}{2}\angle ACB = \frac{1}{2}\angle FGE $।
    इसलिए, $ \angle ACD = \angle FGH $ और $ \angle BCD = \angle EGH $।
    (i) $ \Delta DCA $ और $ \Delta HGF $ पर विचार करें।
    $ \angle A = \angle F $ (समरूप त्रिभुज $ \Delta ABC \sim \Delta FEG $ के संगत कोण)।
    $ \angle ACD = \angle FGH $ (ऊपर सिद्ध किया गया)।
    इसलिए, $ \Delta DCA \sim \Delta HGF $ (AA समरूपता कसौटी)।
    चूंकि त्रिभुज समरूप हैं, संगत भुजाएँ समानुपाती हैं: $ \frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG} = \frac{AD}{HF} $।
    अतः, $ \frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG} $ है।
    (ii) $ \Delta DCB $ और $ \Delta HGE $ पर विचार करें।
    $ \angle B = \angle E $ (समरूप त्रिभुज $ \Delta ABC \sim \Delta FEG $ के संगत कोण)।
    $ \angle BCD = \angle EGH $ (ऊपर सिद्ध किया गया)।
    इसलिए, $ \Delta DCB \sim \Delta HGE $ (AA समरूपता कसौटी)।
    (iii) यह भाग (i) में पहले ही सिद्ध हो चुका है: $ \Delta DCA \sim \Delta HGF $।

11. आकृति 6-40 में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि $ AD \perp BC $ और $ EF \perp AC $ है तो सिद्ध कीजिए कि $ \Delta ABD \sim \Delta ECF $ है।

    अवधारणा: समद्विबाहु त्रिभुज के गुणधर्म (समान भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं) और AA समरूपता कसौटी का प्रयोग करें।

    हल: $ \Delta ABC $ में, $ AB = AC $ (दिया गया है)।
    इसलिए, $ \angle ABC = \angle ACB $ (समान भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं)। इसे $ \angle B = \angle C $ लिखें।
    $ AD \perp BC $ (दिया गया है), इसलिए $ \angle ADB = 90^\circ $।
    $ EF \perp AC $ (दिया गया है), इसलिए $ \angle EFC = 90^\circ $।
    CB को E तक बढ़ाया गया है, इसलिए E, CB रेखा पर स्थित है। $ \angle ACB $ को $ \angle ECF $ भी लिखा जा सकता है।
    $ \Delta ABD $ और $ \Delta ECF $ पर विचार करें।
    1. $ \angle ADB = \angle EFC = 90^\circ $ (शीर्षलंब)।
    2. $ \angle ABD = \angle B $। $ \angle ECF = \angle C $। चूंकि $ \angle B = \angle C $, इसलिए $ \angle ABD = \angle ECF $।
    इसलिए, $ \Delta ABD \sim \Delta ECF $ (AA समरूपता कसौटी)।

12. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD, एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति 6-41)। दर्शाइए कि $ \Delta ABC \sim \Delta PQR $ है।

    अवधारणा: SSS या SAS समरूपता कसौटी का प्रयोग करें, माध्यिका के गुणधर्मों का उपयोग करके।

    हल: दिया गया है: $ \Delta ABC $ और $ \Delta PQR $ में, $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM} $।
    AD माध्यिका है, इसलिए D, BC का मध्यबिंदु है, $ BD = DC = \frac{1}{2}BC \implies BC = 2BD $।
    PM माध्यिका है, इसलिए M, QR का मध्यबिंदु है, $ QM = MR = \frac{1}{2}QR \implies QR = 2QM $।
    दिए गए अनुपात को लिखें: $ \frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{AD}{PM} $।
    $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM} $।
    अब $ \Delta ABD $ और $ \Delta PQM $ पर विचार करें।
    $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM} $।
    $ \Delta ABD $ की तीनों भुजाएँ (AB, BD, AD) $ \Delta PQM $ की संगत भुजाओं (PQ, QM, PM) के समानुपाती हैं।
    इसलिए, $ \Delta ABD \sim \Delta PQM $ (SSS समरूपता कसौटी)।
    चूंकि त्रिभुज समरूप हैं, संगत कोण बराबर होंगे: $ \angle B = \angle Q $।
    अब $ \Delta ABC $ और $ \Delta PQR $ पर विचार करें।
    हमारे पास है $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} $ (यह दिया गया है)।
    और हमने सिद्ध किया है $ \angle B = \angle Q $।
    तो, $ \Delta ABC $ और $ \Delta PQR $ में, एक कोण ($ \angle B = \angle Q $) बराबर है और इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हैं ($ \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} $)।
    इसलिए, $ \Delta ABC \sim \Delta PQR $ (SAS समरूपता कसौटी)।

13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि $ \angle ADC = \angle BAC $ है। दर्शाइए कि $ CA^2 = CB \cdot CD $ है।

    अवधारणा: समरूप त्रिभुजों और उनकी संगत भुजाओं के अनुपात का प्रयोग करें।

    हल: $ \Delta ABC $ और $ \Delta DAC $ पर विचार करें।
    1. $ \angle BAC = \angle ADC $ (दिया गया है)।
    2. $ \angle C = \angle C $ (उभयनिष्ठ कोण, अर्थात् $ \angle BCA = \angle DCA $)।
    इसलिए, $ \Delta ABC \sim \Delta DAC $ (AA समरूपता कसौटी)।
    चूंकि त्रिभुज समरूप हैं, संगत भुजाएँ समानुपाती हैं। संगत शीर्षों को सही क्रम में लिखें: $ \Delta ABC \sim \Delta DAC $।
    संगत भुजाएँ हैं: $ \frac{AB}{DA} = \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} $।
    अंतिम दो अनुपातों को लें: $ \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} $।
    क्रॉस-मल्टीप्लाई करने पर: $ AC \cdot AC = BC \cdot DC $।
    $ CA^2 = CB \cdot CD $। अतः, $ CA^2 = CB \cdot CD $ है।

14. एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD, एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि $ \Delta ABC \sim \Delta PQR $ है।

    अवधारणा: SSS या SAS समरूपता कसौटी का प्रयोग करें, माध्यिका के गुणधर्मों का उपयोग करके, संभवतः एक निर्माण द्वारा।

    हल: दिया गया है: $ \Delta ABC $ और $ \Delta PQR $ में, $ \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM} $।
    AD को E तक इस प्रकार बढ़ाएँ कि $ AD = DE $ हो। C को E से मिलाएँ। तब AE = 2AD.
    PM को N तक इस प्रकार बढ़ाएँ कि $ PM = MN $ हो। R को N से मिलाएँ। तब PN = 2PM.
    चतुर्भुज ABEC में, विकर्ण AE और BC एक दूसरे को D पर समद्विभाजित करते हैं (AD माध्यिका है, तो BD=DC; और AD=DE निर्माण से)। अतः ABEC एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए, $ BE = AC $।
    चतुर्भुज PQNR में, विकर्ण PN और QR एक दूसरे को M पर समद्विभाजित करते हैं (PM माध्यिका है, तो QM=MR; और PM=MN निर्माण से)। अतः PQNR एक समांतर चतुर्भुज है। इसलिए, $ QN = PR $।
    दिए गए अनुपात $ \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM} $ से:
    $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QN} $ (क्योंकि $ AC=BE, PR=QN $)
    और $ \frac{AD}{PM} = \frac{2AD}{2PM} = \frac{AE}{PN} $।
    तो, हमारे पास $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QN} = \frac{AE}{PN} $ है।
    इसलिए, $ \Delta ABE \sim \Delta PQN $ (SSS समरूपता कसौटी)।
    इस समरूपता से, $ \angle BAE = \angle QPN $ (समीकरण 1)।
    इसी प्रकार, चतुर्भुज ABDC' (यदि AD को C' तक बढ़ाया जाए ताकि AD=DC' और BC' को मिलाया जाए) और PQRM' (PM को M' तक बढ़ाया जाए ताकि PM=MM' और QM' को मिलाया जाए) पर विचार करने से हम सिद्ध कर सकते हैं (AB=DC', PQ=RM'):
    $ \frac{AC}{PR} = \frac{DC'}{RM'} = \frac{AD}{PM} $ (पहले जैसा तर्क)।
    इस प्रकार $ \Delta ADC' \sim \Delta PMR' $ (SSS). इससे $ \angle CAD = \angle RPM $ (समीकरण 2).
    (वैकल्पिक: ऊपर वाले तरीके से ही, AD को E तक बढ़ाएँ ताकि AD=DE, और C से E को मिलाएँ। PM को N तक बढ़ाएँ ताकि PM=MN, और R से N को मिलाएँ। चतुर्भुज ABEC में, BE=AC. चतुर्भुज PQNR में, QN=PR.
    दिया है $ \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM} $. इसे $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QN} = \frac{AE/2}{PN/2} = \frac{AE}{PN} $ लिख सकते हैं।
    अतः $ \Delta ABE \sim \Delta PQN $ (SSS). इसलिए $ \angle BAE = \angle QPN $.
    अब चतुर्भुज ACFB' (जहां AD बढ़ाया गया है D से F तक ताकि AD=DF, B' को BF मानें) में, AB=CF.
    और चतुर्भुज PRQG' (PM बढ़ाया गया M से G तक ताकि PM=MG, QG' को QG मानें) में, PQ=RG.
    $ \frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM} $। इससे $ \frac{AC}{PR} = \frac{CF}{RG} = \frac{AF/2}{PG/2} = \frac{AF}{PG} $.
    अतः $ \Delta ACF \sim \Delta PRG $ (SSS). इसलिए $ \angle CAF = \angle RPG $.
    $ \angle BAC = \angle BAE + \angle CAF $ और $ \angle QPR = \angle QPN + \angle RPG $. )
    पुनः: $ \Delta ABE \sim \Delta PQN $ से $ \angle BAE = \angle QPN $ (1).
    इसी प्रकार यदि AD को E' तक बढ़ाएँ ताकि AD=DE' और BE' को मिलाएँ, तथा PM को N' तक बढ़ाएँ ताकि PM=MN' और QN' को मिलाएँ, तो चतुर्भुज ACBE' में CE'=AB. चतुर्भुज PRQN' में RN'=PQ.
    $ \frac{AC}{PR} = \frac{CE'}{RN'} = \frac{AE'}{PN'} $ ($ AE'=2AD, PN'=2PM $).
    अतः $ \Delta ACE' \sim \Delta PRN' $ (SSS). इससे $ \angle CAE' = \angle RPN' $ (2).
    (1) और (2) को जोड़ने पर, $ \angle BAE + \angle CAE' = \angle QPN + \angle RPN' $
    $ \angle BAC = \angle QPR $।
    अब $ \Delta ABC $ और $ \Delta PQR $ में,
    $ \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} $ (दिया गया है)
    $ \angle BAC = \angle QPR $ (सिद्ध किया गया)
    इसलिए, $ \Delta ABC \sim \Delta PQR $ (SAS समरूपता कसौटी)।

15. लंबाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

    अवधारणा: समरूप त्रिभुजों (AA समरूपता) का प्रयोग करें क्योंकि सूर्य का उन्नयन कोण (angle of elevation) उसी समय समान होगा।

    हल: मान लीजिए AB स्तंभ है और BC उसकी छाया है। $ AB = 6 $ m, $ BC = 4 $ m।
    मान लीजिए PQ मीनार है और QR उसकी छाया है। $ PQ = h $ m (ऊँचाई ज्ञात करनी है), $ QR = 28 $ m।
    उसी समय, सूर्य का उन्नयन कोण दोनों मामलों में समान होता है।
    $ \Delta ABC $ और $ \Delta PQR $ पर विचार करें।
    1. $ \angle ABC = \angle PQR = 90^\circ $ (स्तंभ और मीनार ऊर्ध्वाधर खड़े हैं)।
    2. $ \angle BAC = \angle QPR $ (सूर्य का उन्नयन कोण उसी समय समान है)।
    इसलिए, $ \Delta ABC \sim \Delta PQR $ (AA समरूपता कसौटी)।
    समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं: $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} $।
    मान रखने पर: $ \frac{6}{h} = \frac{4}{28} $।
    $ \frac{6}{h} = \frac{1}{7} $।
    क्रॉस-मल्टीप्लाई करने पर: $ h = 6 \times 7 = 42 $।
    अतः, मीनार की ऊँचाई 42 m है।

16. AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि $ \Delta ABC \sim \Delta PQR $ है। सिद्ध कीजिए कि $ \frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM} $ है।

    अवधारणा: समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म (भुजाओं का अनुपात और कोण) और माध्यिका के गुणधर्मों का प्रयोग करें, AA/SAS समरूपता कसौटी का उपयोग करके छोटे त्रिभुजों को समरूप सिद्ध करें।

    हल: दिया गया है: $ \Delta ABC \sim \Delta PQR $।
    इसलिए, संगत भुजाएँ समानुपाती हैं: $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} $ (1)।
    और संगत कोण बराबर हैं: $ \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R $ (2)।
    AD माध्यिका है, इसलिए D, BC का मध्यबिंदु है, $ BD = DC = \frac{1}{2}BC \implies BC=2BD $।
    PM माध्यिका है, इसलिए M, QR का मध्यबिंदु है, $ QM = MR = \frac{1}{2}QR \implies QR=2QM $।
    समीकरण (1) से, $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} $।
    $ \frac{AB}{PQ} = \frac{2BD}{2QM} = \frac{BD}{QM} $।
    अब $ \Delta ABD $ और $ \Delta PQM $ पर विचार करें।
    1. $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} $ (ऊपर सिद्ध किया गया)।
    2. $ \angle B = \angle Q $ (समीकरण 2 से)।
    तो, $ \Delta ABD $ और $ \Delta PQM $ में, कोण B और Q बराबर हैं, और इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ AB, BD और PQ, QM समानुपाती हैं।
    इसलिए, $ \Delta ABD \sim \Delta PQM $ (SAS समरूपता कसौटी)।
    चूंकि त्रिभुज समरूप हैं, संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं: $ \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM} $।
    अतः, $ \frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM} $ है।

अध्याय की अवधारणाओं पर आधारित नये अभ्यास प्रश्न

1. प्रश्न 1: एक त्रिभुज ABC में, बिंदु D और E क्रमशः भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि AD = 2 cm, DB = 6 cm, AE = 3 cm और EC = 9 cm है। दर्शाइए कि $ DE \parallel BC $ है।

   हल: $ \frac{AD}{DB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $। $ \frac{AE}{EC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $। चूंकि $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $ है, आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से, $ DE \parallel BC $ है।

2. प्रश्न 2: $ \Delta PQR $ में, एक रेखा ST खींची गई है जो भुजा PQ को S पर और भुजा PR को T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि $ \frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR} $ है। यदि $ \angle PST = 50^\circ $ है, तो $ \angle PQR $ का मान ज्ञात कीजिए।

   हल: चूंकि $ \frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR} $ है, आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से, $ ST \parallel QR $ है। यदि $ ST \parallel QR $ और PQ एक तिर्यक रेखा है, तो $ \angle PST = \angle PQR $ (संगत कोण)। दिया है $ \angle PST = 50^\circ $, इसलिए $ \angle PQR = 50^\circ $।

3. प्रश्न 3: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 16:25 है। यदि छोटे त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा 8 cm है, तो बड़े त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

   हल: यदि दो त्रिभुज समरूप हैं, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। मान लीजिए छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल $ A_1 $ और बड़े का $ A_2 $ है। छोटी भुजा $ s_1 = 8 $ cm, बड़ी भुजा $ s_2 $।
   $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{s_1^2}{s_2^2} \implies \frac{16}{25} = \frac{8^2}{s_2^2} = \frac{64}{s_2^2} $।
   $ s_2^2 = \frac{64 \times 25}{16} = 4 \times 25 = 100 $।
   $ s_2 = \sqrt{100} = 10 $ cm। बड़े त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा 10 cm है।

4. प्रश्न 4: एक 15 m ऊँचा टावर भूमि पर 20 m लंबी छाया बनाता है। उसी समय, एक टेलीफोन खंभा 16 m लंबी छाया बनाता है। टेलीफोन खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

   हल: मान लीजिए टावर की ऊँचाई $ H_1 = 15 $ m, छाया $ S_1 = 20 $ m। खंभे की ऊँचाई $ H_2 $, छाया $ S_2 = 16 $ m।
   सूर्य के समान उन्नयन कोण के कारण त्रिभुज समरूप होंगे (AA समरूपता)।
   $ \frac{H_1}{S_1} = \frac{H_2}{S_2} \implies \frac{15}{20} = \frac{H_2}{16} $।
   $ H_2 = \frac{15 \times 16}{20} = \frac{15 \times 4}{5} = 3 \times 4 = 12 $ m। टेलीफोन खंभे की ऊँचाई 12 m है।

5. प्रश्न 5: $ \Delta XYZ $ में, $ \angle X = 75^\circ, \angle Y = 55^\circ $ है। $ \Delta LMN $ में, $ \angle L = 75^\circ, \angle N = 50^\circ $ है। क्या $ \Delta XYZ $ और $ \Delta LMN $ समरूप हैं? यदि हाँ, तो किस कसौटी से और समरूपता को सांकेतिक रूप में लिखिए।

   हल: $ \Delta XYZ $ में, $ \angle Z = 180^\circ - (75^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ $।
   $ \Delta LMN $ में, $ \angle M = 180^\circ - (75^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ $।
   $ \Delta XYZ $ और $ \Delta LMN $ में:
   $ \angle X = \angle L = 75^\circ $
   $ \angle Y = \angle M = 55^\circ $
   $ \angle Z = \angle N = 50^\circ $
   हाँ, $ \Delta XYZ \sim \Delta LMN $ (AAA या AA समरूपता कसौटी से)।

6. प्रश्न 6: दो त्रिभुजों ABC और DEF में, $ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} $ है। यदि $ \angle A = 40^\circ $ और $ \angle E = 60^\circ $ है, तो $ \angle C $ का मान ज्ञात कीजिए।

   हल: चूंकि $ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} $ है, $ \Delta ABC \sim \Delta DEF $ (SSS समरूपता कसौटी)।
   समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं: $ \angle A = \angle D = 40^\circ $, $ \angle B = \angle E = 60^\circ $, $ \angle C = \angle F $।
   $ \Delta ABC $ में, $ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (40^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ $।
   अतः $ \angle C = 80^\circ $।

7. प्रश्न 7: $ \Delta PQR $ में, भुजा PQ और PR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि $ \angle PST = \angle PRQ $ है। यदि PS = 3 cm, SQ = 5 cm, PR = 12 cm है, तो PT की लंबाई ज्ञात कीजिए।

   हल: $ \Delta PST $ और $ \Delta PRQ $ में:
   $ \angle PST = \angle PRQ $ (दिया गया है)
   $ \angle P = \angle P $ (उभयनिष्ठ कोण)
   इसलिए, $ \Delta PST \sim \Delta PRQ $ (AA समरूपता कसौटी)।
   संगत भुजाएँ समानुपाती होंगी: $ \frac{PS}{PR} = \frac{PT}{PQ} = \frac{ST}{RQ} $।
   $ PQ = PS + SQ = 3 + 5 = 8 $ cm।
   $ \frac{PS}{PR} = \frac{PT}{PQ} \implies \frac{3}{12} = \frac{PT}{8} $।
   $ \frac{1}{4} = \frac{PT}{8} \implies PT = \frac{8}{4} = 2 $ cm। PT की लंबाई 2 cm है।

8. प्रश्न 8: एक समलंब ABCD में, $ AB \parallel DC $ है। विकर्ण AC और BD एक दूसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AO = (3x-1) cm, CO = (5x-3) cm, BO = (2x+1) cm और DO = (6x-5) cm है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

   हल: समलंब ABCD में $ AB \parallel DC $ होने के कारण, $ \Delta AOB \sim \Delta COD $ (AAA समरूपता)।
   इसलिए, $ \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} $।
   $ \frac{3x-1}{5x-3} = \frac{2x+1}{6x-5} $।
   $ (3x-1)(6x-5) = (2x+1)(5x-3) $
   $ 18x^2 - 15x - 6x + 5 = 10x^2 - 6x + 5x - 3 $
   $ 18x^2 - 21x + 5 = 10x^2 - x - 3 $
   $ 18x^2 - 10x^2 - 21x + x + 5 + 3 = 0 $
   $ 8x^2 - 20x + 8 = 0 $
   $ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $ (4 से विभाजित करने पर)
   $ 2x^2 - 4x - x + 2 = 0 $
   $ 2x(x-2) - 1(x-2) = 0 $
   $ (2x-1)(x-2) = 0 $
   $ x = \frac{1}{2} $ या $ x = 2 $।
   यदि $ x = \frac{1}{2} $, तो $ CO = 5(\frac{1}{2}) - 3 = 2.5 - 3 = -0.5 $, जो संभव नहीं है (लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
   इसलिए $ x = 2 $।
   जाँच: AO = 5, CO = 7, BO = 5, DO = 7. $ \frac{5}{7} = \frac{5}{7} $। यह सही है।
   अतः $ x = 2 $।

बोर्ड परीक्षा से पहले पुनरावृत्ति के लिए संक्षिप्त सारांश

1. समरूप आकृतियाँ: वे आकृतियाँ जिनका आकार समान हो, परंतु आमाप समान होना आवश्यक नहीं है। सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है।
2. समरूप बहुभुज: समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि उनके संगत कोण बराबर हों और उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों।
3. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय): यदि त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो वह उन्हें समान अनुपात में विभाजित करती है। ($ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $)
4. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का विलोम: यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।
5. त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटियाँ:
   • AAA (कोण-कोण-कोण) या AA (कोण-कोण) समरूपता: यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो वे समरूप होते हैं।
   • SSS (भुजा-भुजा-भुजा) समरूपता: यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों, तो वे समरूप होते हैं।
   • SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता: यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
6. RHS समरूपता (विशेष): दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं यदि एक त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा दूसरे त्रिभुज के कर्ण और संगत भुजा के समानुपाती हों। (यह SSS या SAS का एक विशेष मामला है)

मुझे उम्मीद है कि ये नोट्स आपको अध्याय को अच्छे से समझने और अपनी परीक्षा की तैयारी में मदद करेंगे।

शुभकामनाएं!

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