द्विघात समीकरण (Class 10): हल करने की 3 विधियाँ - गुणनखंडन, पूर्ण वर्ग और द्विघाती सूत्र | बिहार बोर्ड प्रैक्टिस-03

बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित: द्विघात समीकरण MCQ प्रैक्टिस टेस्ट-03 | द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ (गुणखंडन, पूर्ण वर्ग बनाना, द्विघाती सूत्र)

कक्षा 10 गणित के अध्याय 4 (द्विघात समीकरण) के लिए अपनी तैयारी जाँचें! बिहार बोर्ड पाठ्यक्रम पर आधारित यह महत्वपूर्ण MCQ प्रश्न (बहुविकल्पीय प्रश्न) द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ (गुणखंडन, पूर्ण वर्ग बनाना, द्विघाती सूत्र) की आपकी समझ का परीक्षण करेगा। DigitalBiharBoard.com पर अभ्यास करें।

1. द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने की वह विधि जिसमें बहुपद के गुणनखंड करके प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखा जाता है, क्या कहलाती है?

   • A. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि
   • B. द्विघाती सूत्र विधि
   • C. गुणनखंडन विधि
   • D. प्रतिस्थापन विधि
   Answer: C. गुणनखंडन विधि
   Explanation: बहुपद को दो रैखिक गुणनखंडों में विभाजित कर के मूल ज्ञात करने की विधि को गुणनखंडन विधि कहते हैं।

2. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग करके समीकरण \(x^2 + 4x - 5 = 0\) को किस रूप में लिखा जा सकता है?

   • A. \((x + 4)^2 - 5 = 0\)
   • B. \((x + 2)^2 - 9 = 0\)
   • C. \((x - 2)^2 - 9 = 0\)
   • D. \((x + 4)^2 - 9 = 0\)
   Answer: B. \((x + 2)^2 - 9 = 0\)
   Explanation: \(x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4\), तो पूरा समीकरण \((x + 2)^2 - 9 = 0\) बनेगा।

3. द्विघात समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \ne 0\)) के मूल, यदि वे वास्तविक हैं, किस सूत्र द्वारा दिए जाते हैं?

   • A. \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}\)
   • B. \(x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
   • C. \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{a}\)
   • D. \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
   Answer: D. \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
   Explanation: द्विघात सूत्र के अनुसार यह मूल निकालने का मानक रूप है, जब \(b^2 - 4ac \geq 0\) हो।

4. द्विघाती सूत्र, पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से द्विघात समीकरण को हल करने पर प्राप्त हुआ था। किस गणितज्ञ ने इस सूत्र को प्रतिपादित किया था?

   • A. ब्रह्मगुप्त
   • B. श्रीधराचार्य
   • C. भास्कर II
   • D. अल-ख्वारिज्मी
   Answer: B. श्रीधराचार्य
   Explanation: श्रीधराचार्य ने यह सूत्र प्रतिपादित किया था जो अब द्विघात समीकरण के हल के लिए उपयोग होता है।

5. समीकरण \((x + 2)^2 = 9\) को हल करते समय, वर्गमूल लेने पर \(x + 2\) का मान क्या होगा?

   • A. \(3\)
   • B. \(-3\)
   • C. \(\pm3\)
   • D. \(9\)
   Answer: C. \(\pm3\)
   Explanation: \((x + 2)^2 = 9\) ⟹ \(x + 2 = \pm\sqrt{9} = \pm3\)

6. उपरोक्त समीकरण (प्रश्न 5 देखें) के मूल क्या हैं?

   • A. \(x = 1\) और \(x = 5\)
   • B. \(x = 1\) और \(x = -5\)
   • C. \(x = -1\) और \(x = 5\)
   • D. \(x = -1\) और \(x = -5\)
   Answer: B. \(x = 1\) और \(x = -5\)
   Explanation: \(x + 2 = 3\) ⟹ \(x = 1\), और \(x + 2 = -3\) ⟹ \(x = -5\)

7. समीकरण \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करने के लिए, सबसे पहले समीकरण को किससे गुणा किया गया है ताकि \(x^2\) का गुणांक एक पूर्ण वर्ग बन जाए?

   • A. \(3\)
   • B. \(9\)
   • C. \(2\)
   • D. \(6\)
   Answer: A. \(3\)
   Explanation: \(x^2\) का गुणांक \(3\) को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए समीकरण को \(3\) से गुणा किया गया जिससे \(9x^2\) प्राप्त हो।

8. द्विघात समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा हल प्राप्त करने के लिए, सभी पदों को 'a' से भाग देने पर क्या प्राप्त होता है?

   • A. \(x^2 + bx + c = 0\)
   • B. \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)
   • C. \(x^2 + ax + b = 0\)
   • D. \(ax^2 + bx + \frac{c}{a} = 0\)
   Answer: B. \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)
   Explanation: पूर्ण वर्ग विधि के अनुसार, पहले सभी पदों को 'a' से भाग दिया जाता है ताकि \(x^2\) का गुणांक 1 हो जाए।

9. द्विघाती सूत्र में पद \(b^2 - 4ac\) क्या कहलाता है?

   • A. मूल
   • B. गुणांक
   • C. विविक्तकर (Discriminant)
   • D. चर
   Answer: C. विविक्तकर (Discriminant)
   Explanation: \(b^2 - 4ac\) को द्विघात समीकरण का विविक्तकर कहा जाता है जो मूलों की प्रकृति को दर्शाता है।

10. द्विघाती सूत्र का उपयोग करके समीकरण \(2x^2 + x - 528 = 0\) को हल करने पर, \(x\) का मान क्या प्राप्त होता है? (विविक्तकर = 4225)

    • A. \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{2}\)
    • B. \(x = \frac{1 \pm \sqrt{4225}}{4}\)
    • C. \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4}\)
    • D. \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{2}\)
    Answer: C. \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4}\)
    Explanation: \(a = 2, b = 1, c = -528\) रखने पर, \(x = \frac{-1 \pm \sqrt{4225}}{4}\) मिलता है।

11. उपरोक्त समीकरण (प्रश्न 10 देखें) के लिए \(\sqrt{4225} = 65\) है। \(x\) के मान क्या हैं?

    • A. \(x = \frac{64}{4}\) या \(x = \frac{-66}{4}\)
    • B. \(x = \frac{64}{4}\) या \(x = \frac{66}{4}\)
    • C. \(x = \frac{-64}{4}\) या \(x = \frac{-66}{4}\)
    • D. \(x = \frac{-64}{4}\) या \(x = \frac{66}{4}\)
    Answer: A. \(x = \frac{64}{4}\) या \(x = \frac{-66}{4}\)
    Explanation: \((-1 \pm 65)/4\) देने पर दो मान मिलते हैं: \(64/4 = 16\), \(-66/4 = -16.5\)

12. द्विघाती सूत्र द्वारा द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए क्या शर्त है?

    • A. \(b^2 - 4ac > 0\)
    • B. \(b^2 - 4ac < 0\)
    • C. \(b^2 - 4ac = 0\)
    • D. \(b^2 - 4ac \geq 0\)
    Answer: D. \(b^2 - 4ac \geq 0\)
    Explanation: यदि विविक्तकर \(b^2 - 4ac \geq 0\) हो, तभी वास्तविक मूल संभव होते हैं।

13. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उद्देश्य क्या होता है?

    • A. समीकरण को सरल करना
    • B. चर \(x\) को पूर्ण वर्ग के अंदर लाना
    • C. गुणांकों को पूर्णांक बनाना
    • D. समीकरण को रैखिक बनाना
    Answer: B. चर \(x\) को पूर्ण वर्ग के अंदर लाना
    Explanation: पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उद्देश्य समीकरण को \((x + a)^2 - b^2 = 0\) के रूप में लाना होता है।

14. समीकरण \(x^2 - 9 = 0\) को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करना कितना आसान है?

    • A. बहुत मुश्किल
    • B. मुश्किल
    • C. बहुत आसान
    • D. असंभव
    Answer: C. बहुत आसान
    Explanation: \(x^2 - 9 = 0\) को \((x - 3)(x + 3) = 0\) या \(x = \pm3\) द्वारा सरलता से हल किया जा सकता है।

15. द्विघात समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा हल करने के लिए, यदि \(a = 1\) है, तो समीकरण किस रूप में होती है?

    • A. \(x^2 + bx + c = 0\)
    • B. \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)
    • C. \(bx^2 + cx + a = 0\)
    • D. \(x^2 = -bx - c\)
    Answer: A. \(x^2 + bx + c = 0\)
    Explanation: यदि \(a = 1\) है, तो कोई विभाजन आवश्यक नहीं होता और समीकरण पहले से ही इस रूप में होता है।

16. द्विघाती सूत्र द्वारा मूलों की गणना में, वर्गमूल के अंदर का मान क्या होता है?

    • A. \(b^2 + 4ac\)
    • B. \(4ac - b^2\)
    • C. \(b^2 - 4ac\)
    • D. \(b^2\)
    Answer: C. \(b^2 - 4ac\)
    Explanation: द्विघाती सूत्र में वर्गमूल के भीतर का पद \(b^2 - 4ac\) होता है, जिसे विविक्तकर कहते हैं।

17. किस विधि में, द्विघात समीकरण \(ax^2 + bx + c = 0\) को \((x + a)^2 - b^2 = 0\) के रूप में लाने का प्रयास किया जाता है?

    • A. गुणनखंडन विधि
    • B. द्विघाती सूत्र विधि
    • C. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि
    • D. प्रतिस्थापन विधि
    Answer: C. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि
    Explanation: इस विधि का उद्देश्य समीकरण को \((x + a)^2 - b^2 = 0\) के रूप में लाकर वर्गमूल द्वारा हल करना होता है।

18. समीकरण \(5x^2 - 6x - 2 = 0\) को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल करने के लिए, सभी पदों को 5 से गुणा करने पर क्या प्राप्त होता है?

    • A. \(25x^2 - 30x - 10 = 0\)
    • B. \(x^2 - \frac{6}{5}x - \frac{2}{5} = 0\)
    • C. \(25x^2 - 6x - 2 = 0\)
    • D. \(5x^2 - 30x - 10 = 0\)
    Answer: A. \(25x^2 - 30x - 10 = 0\)
    Explanation: \(5x^2 - 6x - 2 = 0\) को 5 से गुणा करने पर \(25x^2 - 30x - 10 = 0\) प्राप्त होता है।

19. यदि पूर्ण वर्ग बनाने की विधि में समीकरण को \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\) के रूप में लिखा गया है, तो \(\frac{b}{a}x\) वाले पद को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए \((\frac{b}{2a})^2\) जोड़ा और घटाया जाता है?

    • A. हाँ
    • B. नहीं
    • C. केवल कभी-कभी
    • D. यह आवश्यक नहीं है
    Answer: A. हाँ
    Explanation: \((\frac{b}{2a})^2\) जोड़ने व घटाने से वह पद पूर्ण वर्ग बनता है: \((x + \frac{b}{2a})^2\)

20. द्विघाती सूत्र का उपयोग करके समीकरण \(3x^2 - 5x + 2 = 0\) के मूल क्या हैं? (विविक्तकर = 1)

    • A. \(x = \frac{5 \pm 1}{6}\)
    • B. \(x = \frac{-5 \pm 1}{6}\)
    • C. \(x = \frac{5 \pm 1}{3}\)
    • D. \(x = \frac{-5 \pm 1}{3}\)
    Answer: A. \(x = \frac{5 \pm 1}{6}\)
    Explanation: \(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \times 3} = \frac{5 \pm 1}{6}\)