बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म — 25 VVI Objective Questions Set 1

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बिहार स्कूल एग्जामिनेशन बोर्ड (BSEB) कक्षा 10वीं गणित परीक्षा में 50% अंक वस्तुनिष्ठ प्रश्नों (Objective MCQs) से आते हैं। गणित का तृतीय अध्याय "दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)" बोर्ड परीक्षा के दृष्टिकोण से अत्यंत महत्वपूर्ण और अंकदायी अध्याय है। इस अभ्यास सेट (Set 1) में अनुपातों की तुलना ($\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}, \frac{c_1}{c_2}$), प्रतिच्छेदी/समांतर/संपाती रेखाएँ, प्रतिस्थापन और विलोपन विधि तथा व्यावहारिक समस्याओं पर आधारित 25 चुनिंदा VVI प्रश्न विस्तृत हल के साथ दिए गए हैं।

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"सफलता की कोई गुप्त कुंजी नहीं है, यह केवल तैयारी, कड़ी मेहनत और असफलताओं से सीखने का परिणाम है।"

• अनुपातों की स्थिति याद रखें: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (अद्वितीय हल), $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (अनंत हल), $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (कोई हल नहीं)।
• विलोपन व प्रतिस्थापन का अभ्यास: समीकरणों को हल करते समय चिह्नों (+/-) का विशेष ध्यान रखें।
• 50 में 50 का लक्ष्य: व्याख्या को समझकर हल करें ताकि परीक्षा में समय की बचत हो और 100% सटीकता मिले!

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🎯 अध्याय 03: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म — MCQ Practice Quiz Set 1

(निर्देश: सही विकल्प का चयन करने के बाद विस्तृत हल और व्याख्या देखने के लिए प्रश्न पर क्लिक करें।)

दो चर वाले किसी एक रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ के कितने वास्तविक हल हो सकते हैं?

• 1
• 2
• अपरिमित रूप से अनेक (अनंत)
• कोई नहीं

व्याख्या: दो चर वाले केवल एक रैखिक समीकरण $ax + by + c = 0$ का आलेख एक सीधी रेखा होती है, जिस पर स्थित प्रत्येक बिंदु समीकरण का हल होता है। अतः इसके अपरिमित रूप से अनेक (अनंत) हल होते हैं।

रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ तथा $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ का एक अद्वितीय हल (Unique Solution) होने की शर्त क्या है?

• $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$
• $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
• $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
• $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

व्याख्या: जब $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ होता है, तो दोनों रेखाएँ केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और समीकरण युग्म का केवल एक (अद्वितीय/अविरोधी) हल होता है।

यदि समीकरण युग्म के अनुपातों में $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ हो, तो उनके द्वारा निरूपित रेखाएँ कैसी होंगी?

• प्रतिच्छेदी रेखाएँ
• संपाती रेखाएँ
• समांतर रेखाएँ
• लंबवत रेखाएँ

व्याख्या: जब $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ हो, तो दोनों रेखाएँ परस्पर **समांतर (Parallel)** होती हैं और समीकरण निकाय का कोई हल नहीं होता (असंगत समीकरण युग्म)।

समीकरण युग्म $x + 2y = 3$ तथा $5x + ky = 15$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए $k$ का मान क्या होगा?

• 5
• 10
• 15
• 20

व्याख्या: अनेक हल के लिए: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
$\implies \frac{1}{5} = \frac{2}{k} = \frac{3}{15} \implies k = 2 \times 5 = 10$।

कथन: जिस रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होता, उसे 'असंगत' (Inconsistent) समीकरण युग्म कहते हैं। क्या यह कथन सत्य है?

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: सत्य। जिस रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होता (अर्थात् समांतर रेखाएँ), उसे असंगत (Inconsistent) समीकरण युग्म कहा जाता है।

समीकरणों $x + y = 14$ तथा $x - y = 4$ का हल $(x, y)$ क्या होगा?

• $x = 9, y = 5$
• $x = 5, y = 9$
• $x = 10, y = 4$
• $x = 8, y = 6$

व्याख्या: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(x + y) + (x - y) = 14 + 4 \implies 2x = 18 \implies x = 9$
$x = 9$ मान समीकरण 1 में रखने पर: $9 + y = 14 \implies y = 5$। अतः हल $(9, 5)$ है।

समीकरण युग्म $2x + 3y = 11$ और $2x - 4y = -24$ को हल करने पर $x$ और $y$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

• $x = 2, y = 4$
• $x = -2, y = 5$
• $x = -3, y = 4$
• $x = 3, y = 5$

व्याख्या: समीकरण 1 में से समीकरण 2 घटाने पर:
$(2x + 3y) - (2x - 4y) = 11 - (-24) \implies 7y = 35 \implies y = 5$
$y = 5$ रखने पर: $2x + 3(5) = 11 \implies 2x = 11 - 15 = -4 \implies x = -2$।

यदि $2x + 3y = 11$ तथा $2x - 4y = -24$ का हल $x = -2, y = 5$ है, तो समीकरण $y = mx + 3$ में $m$ का मान क्या होगा?

• 1
• -1
• 2
• -2

व्याख्या: $x = -2$ तथा $y = 5$ का मान $y = mx + 3$ में रखने पर:
$5 = m(-2) + 3 \implies 5 - 3 = -2m \implies 2 = -2m \implies m = -1$।

समीकरणों $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ तथा $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के संपाती (Coincident) होने की क्या शर्त है?

• $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
• $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
• $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
• $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$

व्याख्या: जब तीनों अनुपातों का मान समान होता है ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$), तो दोनों रेखाएँ संपाती (एक के ऊपर एक) होती हैं और अपरिमित रूप से अनेक हल प्राप्त होते हैं।

$k$ के किस मान के लिए समीकरण निकाय $kx - y = 2$ तथा $6x - 2y = 3$ का एक अद्वितीय हल होगा?

• $k = 3$
• $k \neq 3$
• $k = 6$
• $k \neq 6$

व्याख्या: अद्वितीय हल की शर्त: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$
$\frac{k}{6} \neq \frac{-1}{-2} \implies \frac{k}{6} \neq \frac{1}{2} \implies k \neq 3$।

दो संख्याओं का अंतर $26$ है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।

• 39
• 13
• 26
• 52

व्याख्या: माना संख्याएँ $x$ और $y$ हैं ($x > y$)।
$x - y = 26$ तथा $x = 3y$।
$3y - y = 26 \implies 2y = 26 \implies y = 13$।
अतः बड़ी संख्या $x = 3(13) = 39$ होगी।

दो संपूरक कोणों (Supplementary Angles) में बड़ा कोण छोटे कोण से $18^\circ$ अधिक है। छोटा कोण क्या होगा?

• $99^\circ$
• $81^\circ$
• $72^\circ$
• $108^\circ$

व्याख्या: संपूरक कोणों का योग $x + y = 180^\circ$ तथा $x - y = 18^\circ$।
घटाने पर: $2y = 162^\circ \implies y = 81^\circ$ (छोटा कोण) तथा $x = 99^\circ$ (बड़ा कोण)।

कथन: यदि दो रेखाएँ परस्पर एक ही बिंदु पर काटती हैं, तो उस समीकरण युग्म को 'आश्रित' (Dependent) समीकरण युग्म कहा जाता है।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: असत्य। यदि दो रेखाएँ एक ही बिंदु पर काटती हैं, तो उन्हें 'अविरोधी' (Consistent) कहा जाता है। 'आश्रित' (Dependent) समीकरण युग्म वे होते हैं जिनकी रेखाएँ संपाती (अनेक हल) होती हैं।

समीकरण युग्म $x + 2y - 4 = 0$ तथा $2x + 4y - 12 = 0$ द्वारा निरूपित रेखाएँ किस प्रकार की होंगी?

• प्रतिच्छेदी रेखाएँ
• समांतर रेखाएँ
• संपाती रेखाएँ
• लंबवत रेखाएँ

व्याख्या: अनुपातों की तुलना करने पर:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, अतः रेखाएँ समांतर (Parallel) होंगी।

5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल का मूल्य क्या होगा?

• ₹3
• ₹5
• ₹4
• ₹2

व्याख्या: माना पेंसिल का मूल्य ₹$x$ तथा कलम का मूल्य ₹$y$ है।
$5x + 7y = 50$ (समीकरण 1) तथा $7x + 5y = 46$ (समीकरण 2)
समीकरण 1 को 7 से तथा समीकरण 2 को 5 से गुणा करके घटाने पर: $24y = 120 \implies y = 5$ (कलम)
$5x + 35 = 50 \implies 5x = 15 \implies x = 3$ (पेंसिल)।

समीकरण निकाय $px + 2y = 5$ तथा $3x + y = 1$ का कोई हल न होने के लिए $p$ का मान क्या होना चाहिए?

• $p = 6$
• $p \neq 6$
• $p = 3$
• $p = 15$

व्याख्या: कोई हल नहीं होने की शर्त: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
$\frac{p}{3} = \frac{2}{1} \implies p = 6$।

समीकरण युग्म $2x - 3y = 8$ तथा $4x - 6y = 9$ के कितने हल होंगे?

• केवल एक हल
• दो हल
• कोई हल नहीं
• अनंत हल

व्याख्या: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{9}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, अतः इसका कोई हल नहीं (असंगत) होगा।

एक आयताकार बाग जिसकी लंबाई, चौड़ाई से $4\text{ m}$ अधिक है, का अर्धपरिमाप $36\text{ m}$ है। बाग की लंबाई क्या होगी?

• $20\text{ m}$
• $16\text{ m}$
• $24\text{ m}$
• $18\text{ m}$

व्याख्या: माना लंबाई $x$ तथा चौड़ाई $y$ है।
$x - y = 4$ तथा अर्धपरिमाप $x + y = 36$।
जोड़ने पर: $2x = 40 \implies x = 20\text{ m}$ (लंबाई) तथा $y = 16\text{ m}$ (चौड़ाई)।

समीकरण $x - y = 0$ का आलेख निम्नलिखित में से किस बिंदु से होकर गुजरता है?

• $(0, 5)$
• $(2, 0)$
• $(3, 3)$
• $(0, -3)$

व्याख्या: $x - y = 0 \implies x = y$। ऐसा बिंदु जिसका $x$ और $y$ निर्देशांक समान हो, वही इस रेखा पर स्थित होगा। बिंदु $(3, 3)$ में $x = 3, y = 3$ है।

कथन: प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method) में एक चर का मान दूसरे चर के पदों में व्यक्त करके समीकरण हल किया जाता है।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: सत्य। प्रतिस्थापन विधि में किसी एक समीकरण से एक चर (जैसे $x$) का मान दूसरे चर ($y$) के पदों में निकालकर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है।

दो अंकों की संख्या के अंकों का योग $9$ है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या क्या है?

• 18
• 81
• 27
• 36

व्याख्या: माना दहाई $x$ तथा इकाई $y$ है। संख्या $= 10x + y$।
$x + y = 9$
शर्त: $9(10x + y) = 2(10y + x) \implies 90x + 9y = 20y + 2x \implies 88x = 11y \implies y = 8x$
$x + 8x = 9 \implies 9x = 9 \implies x = 1, y = 8$।
अतः संख्या $= 10(1) + 8 = 18$।

यदि $3x + 4y = 10$ और $2x - 2y = 2$ हो, तो $x$ और $y$ का मान क्रमशः क्या होगा?

• $x = 2, y = 1$
• $x = 1, y = 2$
• $x = 3, y = 0$
• $x = -2, y = 1$

व्याख्या: समीकरण 2 को 2 से गुणा करने पर: $4x - 4y = 4$।
समीकरण 1 ($3x + 4y = 10$) में जोड़ने पर: $7x = 14 \implies x = 2$।
$x = 2$ मान रखने पर: $2(2) - 2y = 2 \implies 4 - 2y = 2 \implies 2y = 2 \implies y = 1$।

आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, "7 वर्ष पूर्व मैं तुमसे 7 गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल 3 गुनी आयु का रह जाऊँगा।" आफ़ताब की वर्तमान आयु क्या है?

• 42 वर्ष
• 12 वर्ष
• 35 वर्ष
• 40 वर्ष

व्याख्या: माना आफ़ताब की आयु $x$ तथा पुत्री की आयु $y$ वर्ष है।
$x - 7 = 7(y - 7) \implies x - 7y = -42$
$x + 3 = 3(y + 3) \implies x - 3y = 6$
घटाने पर: $-4y = -48 \implies y = 12$ वर्ष (पुत्री)
$x = 3(12) + 6 = 42$ वर्ष (आफ़ताब)।

समीकरण $x = 0$ तथा $y = 0$ का प्रतिच्छेद बिंदु कौन-सा होता है?

• $(1, 1)$
• $(0, 0)$ (मूल बिंदु)
• $(0, 1)$
• $(1, 0)$

व्याख्या: $x = 0$ ($y$-अक्ष की समीकरण) और $y = 0$ ($x$-अक्ष की समीकरण) का प्रतिच्छेद बिंदु **मूल बिंदु (Origin)** होता है, जिसके निर्देशांक $(0, 0)$ होते हैं।

कथन: विलोपन विधि (Elimination Method) में किसी एक चर के गुणांकों को समान बनाकर उस चर को विलुप्त (eliminate) किया जाता है। क्या यह कथन सत्य है?

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: सत्य। विलोपन विधि में उपयुक्त संख्या से गुणा करके एक चर के गुणांक समान किए जाते हैं और फिर समीकरणों को जोड़कर या घटाकर उस चर को विलुप्त कर दिया जाता है।

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अगला भाग: अध्याय 03: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म — Set 2 (पार्ट 2) जल्द ही प्रकाशित होगा!

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