बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म — 25 High-Level VVI Objective Questions Set 2

प्रिय बिहार बोर्ड मैट्रिक परीक्षार्थियों! 🌟
यदि आप बोर्ड परीक्षा 2026 में गणित में 100 में 100 अंक का लक्ष्य रख रहे हैं, तो केवल आसान प्रश्नों का अभ्यास काफी नहीं है। अध्याय 3 "दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म" का यह पार्ट-2 (Set 2) विशेष रूप से कठिन एवं विश्लेषणात्मक प्रश्नों को ध्यान में रखकर तैयार किया गया है। इसमें नाव-धारा, कार्य-समय, चक्रीय चतुर्भुज, भिन्न, चर गुणांक वाले समीकरण तथा आलेखीय रेखाओं से बने त्रिभुज के क्षेत्रफल पर आधारित 25 उच्च-स्तरीय प्रश्न (Hard Difficulty Level) विस्तृत हल सहित शामिल हैं।

🏆 टॉपर बनने का गुप्त नियम (Topper's Secret Rule)

"कठिन प्रश्नों से भागना नहीं, बल्कि उनसे जूझना ही एक औसत छात्र को टॉपर बनाता है।"

• स्टेप-बाय-स्टेप हल करें: कठिन बीजगणितीय समीकरणों में चिह्नों (+/-) एवं पक्षांतरण पर विशेष ध्यान दें।
• चर मानों में रूपांतरण: $\frac{1}{x} = u$ और $\frac{1}{y} = v$ मानकर कठिन समीकरणों को सरल रैखिक रूप में बदलें।
• समय का सही उपयोग: प्रश्नों की व्याख्या को गहराई से समझें ताकि बोर्ड परीक्षा के कठिन से कठिन सेट में भी आप पूरे अंक ला सकें!

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🎯 अध्याय 03: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म — High-Level Practice Set 2

(निर्देश: अपना उत्तर चुनने के बाद विस्तृत गणितीय हल देखने के लिए प्रश्न पर क्लिक करें।)

समीकरण युग्म $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 13$ तथा $\frac{5}{x} - \frac{4}{y} = -2$ को हल करने पर $(x, y)$ का मान क्या प्राप्त होगा?

• $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right)$
• $(2, 3)$
• $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right)$
• $(-2, -3)$

व्याख्या: माना $\frac{1}{x} = u$ तथा $\frac{1}{y} = v$।
समीकरण रूप: $2u + 3v = 13$ (समीकरण 1) तथा $5u - 4v = -2$ (समीकरण 2)
समीकरण 1 को 4 से और 2 को 3 से गुणा कर जोड़ने पर: $8u + 15u = 52 - 6 \implies 23u = 46 \implies u = 2 \implies x = \frac{1}{2}$
$2(2) + 3v = 13 \implies 3v = 9 \implies v = 3 \implies y = \frac{1}{3}$।

एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में $\angle A = (2x + 4)^\circ$, $\angle B = (y + 3)^\circ$, $\angle C = (2y + 10)^\circ$ तथा $\angle D = (4x - 5)^\circ$ है। $x$ और $y$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

• $x = 25, y = 40$
• $x = 33, y = 50$
• $x = 30, y = 45$
• $x = 35, y = 55$

व्याख्या: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
$\angle A + \angle C = 180^\circ \implies (2x + 4) + (2y + 10) = 180 \implies 2x + 2y = 166 \implies x + y = 83$
$\angle B + \angle D = 180^\circ \implies (y + 3) + (4x - 5) = 180 \implies 4x + y = 182$
घटाने पर: $3x = 99 \implies x = 33$ तथा $y = 83 - 33 = 50$।

रेखाओं $x + y = 6$, $x - y = 2$ तथा $y$-अक्ष से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area) कितना होगा?

• $16\text{ sq units}$
• $8\text{ sq units}$
• $12\text{ sq units}$
• $24\text{ sq units}$

व्याख्या: दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु: $2x = 8 \implies x = 4, y = 2 \implies (4, 2)$।
$y$-अक्ष पर रेखा $x + y = 6$ बिंदु $(0, 6)$ पर तथा $x - y = 2$ बिंदु $(0, -2)$ पर मिलती है।
$y$-अक्ष पर आधार की लंबाई $= 6 - (-2) = 8$ इकाई। ऊँचाई $= x\text{-निर्देशांक} = 4$ इकाई।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$ वर्ग इकाई।

समीकरण युग्म $2x + 3y = 7$ तथा $(a - b)x + (a + b)y = 3a + b - 2$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होने के लिए $a$ और $b$ का मान क्या होगा?

• $a = 1, b = 5$
• $a = 3, b = 2$
• $a = 5, b = 1$
• $a = 2, b = 4$

व्याख्या: अनेक हल के लिए: $\frac{2}{a-b} = \frac{3}{a+b} = \frac{7}{3a+b-2}$
प्रथम दो से: $2a + 2b = 3a - 3b \implies a = 5b$
प्रथम और तृतीय से: $6a + 2b - 4 = 7a - 7b \implies a - 9b = -4$
$a = 5b$ रखने पर: $5b - 9b = -4 \implies -4b = -4 \implies b = 1$ तथा $a = 5$।

कथन: आश्रित रैखिक समीकरण युग्म $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के लिए अनुपातों का संबंध सदैव $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ होता है और यह निकाय हमेशा संगत होता है।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: सत्य। आश्रित समीकरण युग्म की रेखाएँ संपाती (Coincident) होती हैं जिसके अनंत हल होते हैं और यह सदैव संगत (Consistent) कहलाता है।

एक नाव $10\text{ घंटे}$ में धारा के प्रतिकूल $30\text{ km}$ तथा धारा के अनुकूल $44\text{ km}$ जाती है। $13\text{ घंटे}$ में वह $40\text{ km}$ प्रतिकूल तथा $55\text{ km}$ अनुकूल जा सकती है। शांत जल में नाव की चाल क्या होगी?

• $3\text{ km/h}$
• $8\text{ km/h}$
• $11\text{ km/h}$
• $6\text{ km/h}$

व्याख्या: माना प्रतिकूल चाल $= u$ तथा अनुकूल चाल $= v$।
$\frac{30}{u} + \frac{44}{v} = 10$ तथा $\frac{40}{u} + \frac{55}{v} = 13$
हल करने पर: $u = 5\text{ km/h}$ और $v = 11\text{ km/h}$।
शांत जल में नाव की चाल $= \frac{u + v}{2} = \frac{5 + 11}{2} = 8\text{ km/h}$।

$k$ के किस मान के लिए समीकरण युग्म $kx + 3y = -(k - 3)$ तथा $12x + ky = -k$ का **कोई हल नहीं** होगा?

• $k = 6$
• $k = -6$
• $k = 0$
• $k = 12$

व्याख्या: शर्त: $\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \neq \frac{k-3}{k}$
$\frac{k}{12} = \frac{3}{k} \implies k^2 = 36 \implies k = \pm 6$
यदि $k = 6$ ले, तो $\frac{6}{12} = \frac{3}{6} = \frac{3}{6}$ (अनेक हल हो जाएँगे)
यदि $k = -6$ ले, तो $\frac{-6}{12} = \frac{3}{-6} \neq \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}$ (सत्य)। अतः $k = -6$।

दो अंकों की एक संख्या का अंकों का गुणनफल $18$ है। जब संख्या में से $63$ घटाया जाता है, तो अंकों के स्थान बदल जाते हैं। वह संख्या क्या है?

• 92
• 29
• 63
• 82

व्याख्या: माना संख्या $10x + y$ है। $x \cdot y = 18$।
$(10x + y) - 63 = 10y + x \implies 9x - 9y = 63 \implies x - y = 7$
सूत्र: $(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = 7^2 + 4(18) = 49 + 72 = 121 \implies x + y = 11$
जोड़ने पर: $2x = 18 \implies x = 9$ तथा $y = 2$। अतः संख्या $= 92$।

$k$ के किस मान के लिए समीकरण निकाय $x + 2y = 5$ तथा $3x + ky + 15 = 0$ का अद्वितीय हल **नहीं** होगा?

• $k = 6$
• $k \neq 6$
• $k = -6$
• $k = 3$

व्याख्या: अद्वितीय हल होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \implies \frac{1}{3} \neq \frac{2}{k} \implies k \neq 6$ होती है।
अतः $k = 6$ होने पर इसका अद्वितीय हल **नहीं** होगा।

समीकरणों $\frac{4}{x} + 3y = 14$ तथा $\frac{3}{x} - 4y = 23$ का हल क्या होगा?

• $x = \frac{1}{5}, y = -2$
• $x = 5, y = -2$
• $x = \frac{1}{2}, y = 3$
• $x = 2, y = -3$

व्याख्या: माना $\frac{1}{x} = u$।
$4u + 3y = 14$ तथा $3u - 4y = 23$
प्रथम को 4 से और द्वितीय को 3 से गुणा कर जोड़ने पर:
$16u + 9u = 56 + 69 \implies 25u = 125 \implies u = 5 \implies x = \frac{1}{5}$
$4(5) + 3y = 14 \implies 3y = -6 \implies y = -2$।

कथन: समीकरण निकाय $3x - y + 8 = 0$ तथा $6x - 2y + 16 = 0$ का ग्राफ दो प्रतिच्छेदी रेखाओं को दर्शाता है।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: असत्य। यहाँ $\frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ है। चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ है, इसलिए ये संपाती रेखाएँ (Coincident lines) हैं, प्रतिच्छेदी नहीं।

एक भिन्न $\frac{9}{11}$ हो जाती है यदि उसके अंश और हर दोनों में $2$ जोड़ दिया जाए। यदि अंश और हर दोनों में $3$ जोड़ दिया जाए, तो वह $\frac{5}{6}$ हो जाती है। वह भिन्न क्या है?

• $\frac{7}{9}$
• $\frac{9}{7}$
• $\frac{5}{7}$
• $\frac{7}{11}$

व्याख्या: माना भिन्न $\frac{x}{y}$ है।
$\frac{x + 2}{y + 2} = \frac{9}{11} \implies 11x - 9y = -4$
$\frac{x + 3}{y + 3} = \frac{5}{6} \implies 6x - 5y = -3$
समीकरणों को हल करने पर $x = 7$ तथा $y = 9$ प्राप्त होता है। अतः अभिप्रायित भिन्न $\frac{7}{9}$ है।

2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ $4\text{ दिन}$ में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको $3\text{ दिन}$ में पूरा कर सकते हैं। 1 अकेले महिला द्वारा इस काम को पूरा करने में कितना समय लगेगा?

• $18\text{ दिन}$
• $36\text{ दिन}$
• $24\text{ दिन}$
• $12\text{ दिन}$

व्याख्या: माना 1 महिला का 1 दिन का काम $= \frac{1}{x}$ तथा 1 पुरुष का $= \frac{1}{y}$।
$\frac{2}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ तथा $\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{3}$
हल करने पर: $\frac{1}{x} = \frac{1}{18} \implies x = 18\text{ दिन}$। (पुरुष को $36\text{ दिन}$ लगेंगे)।

रेखाओं $x = 3$, $y = 4$ तथा $x + y = 0$ से घिरे त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area) क्या होगा?

• $12\text{ sq units}$
• $49\text{ sq units}$
• $24.5\text{ sq units}$
• $12.5\text{ sq units}$

व्याख्या: तीनों रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु:
$x = 3$ और $y = 4$ का प्रतिच्छेद $= (3, 4)$
$x = 3$ और $x + y = 0$ का प्रतिच्छेद $= (3, -3)$
$y = 4$ और $x + y = 0$ का प्रतिच्छेद $= (-4, 4)$
यह $(3, 4)$ पर समकोण त्रिभुज है। आधार $= 3 - (-4) = 7$, ऊँचाई $= 4 - (-3) = 7$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 7 \times 7 = \frac{49}{2} = 24.5$ वर्ग इकाई।

एक छात्रवास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। छात्र A को $20\text{ दिन}$ भोजन के ₹3000 तथा छात्र B को $26\text{ दिन}$ भोजन के ₹3600 देने पड़ते हैं। नियत व्यय (Fixed Charge) क्या है?

• ₹1000
• ₹500
• ₹1200
• ₹800

व्याख्या: माना नियत व्यय $= x$ तथा प्रतिदिन भोजन $= y$।
$x + 20y = 3000$ तथा $x + 26y = 3600$
घटाने पर: $6y = 600 \implies y = 100$ रुपये प्रति दिन।
$x + 20(100) = 3000 \implies x = 3000 - 2000 = ₹1000$।

यदि $ax + by = c$ तथा $bx + ay = 1 + c$ हो ($a + b \neq 0$), तो $x + y$ का मान क्या होगा?

• $\frac{c}{a+b}$
• $\frac{2c + 1}{a + b}$
• $\frac{c+1}{a-b}$
• $a + b + c$

व्याख्या: दोनों समीकरणों को सीधे जोड़ने पर:
$(ax + bx) + (by + ay) = c + (1 + c)$
$(a + b)x + (a + b)y = 2c + 1 \implies (a + b)(x + y) = 2c + 1 \implies x + y = \frac{2c + 1}{a + b}$।

कथन: यदि किसी रैखिक समीकरण युग्म का कम से कम एक हल विद्यमान हो, तो उसे 'संगत' (Consistent) समीकरण युग्म कहा जाता है।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: सत्य। जिस समीकरण निकाय का हल सम्भव हो (चाहे अद्वितीय हल हो या अनंत हल), वह संगत कहलाता है।

राजमार्ग पर दो स्थान A और B $100\text{ km}$ की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी B से एक ही समय चलना प्रारंभ करती हैं। यदि वे एक ही दिशा में चलती हैं तो $5\text{ घंटे}$ में मिलती हैं, और यदि विपरीत दिशा में चलती हैं तो $1\text{ घंटे}$ में मिलती हैं। तेज़ चलने वाली कार की चाल क्या है?

• $60\text{ km/h}$
• $40\text{ km/h}$
• $50\text{ km/h}$
• $70\text{ km/h}$

व्याख्या: माना कारों की चाल क्रमशः $x$ और $y$ है ($x > y$)।
एक ही दिशा (सापेक्ष चाल $x - y$): $5(x - y) = 100 \implies x - y = 20$
विपरीत दिशा (सापेक्ष चाल $x + y$): $1(x + y) = 100 \implies x + y = 100$
जोड़ने पर: $2x = 120 \implies x = 60\text{ km/h}$ (तेज़ कार) तथा $y = 40\text{ km/h}$।

समीकरणों $152x - 378y = -74$ तथा $-378x + 152y = -604$ का हल $(x, y)$ क्या होगा?

• $x = 2, y = 1$
• $x = 1, y = 2$
• $x = -2, y = 1$
• $x = 3, y = 0$

व्याख्या: दोनों को जोड़ने पर: $-226x - 226y = -678 \implies x + y = 3$
समीकरण 1 में से 2 घटाने पर: $530x - 530y = 530 \implies x - y = 1$
अब $x + y = 3$ और $x - y = 1$ को हल करने पर: $x = 2$ तथा $y = 1$।

$a$ के किस मान के लिए समीकरण युग्म $ax + 2y = 2$ तथा $8x + ay = 4$ का **कोई हल नहीं** होगा?

• $a = 4$
• $a = -4$
• $a = 8$
• $a = -8$

व्याख्या: शर्त: $\frac{a}{8} = \frac{2}{a} \neq \frac{2}{4}$
$a^2 = 16 \implies a = \pm 4$
यदि $a = 4 \implies \frac{4}{8} = \frac{2}{4} = \frac{2}{4}$ (अनेक हल हो जाएँगे)
यदि $a = -4 \implies \frac{-4}{8} = \frac{2}{-4} \neq \frac{2}{4}$ (सत्य)। अतः $a = -4$।

पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी की वर्तमान आयु क्या है?

• $50\text{ वर्ष}$
• $20\text{ वर्ष}$
• $40\text{ वर्ष}$
• $60\text{ वर्ष}$

व्याख्या: माना नूरी $= x$ तथा सोनू $= y$।
$x - 5 = 3(y - 5) \implies x - 3y = -10$
$x + 10 = 2(y + 10) \implies x - 2y = 10$
घटाने पर: $-y = -20 \implies y = 20\text{ वर्ष}$ (सोनू)
$x = 2(20) + 10 = 50\text{ वर्ष}$ (नूरी)।

समीकरण युग्म $2x + 3y = 5$ तथा $6x + 9y = 10$ के हलों की संख्या कितनी होगी?

• 1 (अद्वितीय हल)
• अनंत हल
• 0 (कोई हल नहीं)
• 2

व्याख्या: अनुपातों की तुलना:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, अतः रेखाएँ समांतर हैं और हलों की संख्या शून्य ($0$) है।

कथन: रेखाएँ $x = -4$ तथा $y = 5$ एक-दूसरे के समांतर (Parallel) हैं।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: असत्य। $x = -4$ ऊर्ध्वाधर रेखा ($y$-अक्ष के समांतर) है तथा $y = 5$ क्षैतिज रेखा ($x$-अक्ष के समांतर) है। ये दोनों रेखाएँ परस्पर **लंबवत (Perpendicular)** होती हैं, समांतर नहीं।

दो अंकों की एक संख्या और उसके अंकों को उलटने पर बनी संख्या का योग $66$ है। यदि संख्या के अंकों का अंतर $2$ हो, तो ऐसी कितनी संख्याएँ संभव हैं?

• 1
• 2
• 3
• अनंत

व्याख्या: $(10x + y) + (10y + x) = 66 \implies 11(x + y) = 66 \implies x + y = 6$।
अंकों का अंतर $|x - y| = 2$।
स्थिति 1: $x - y = 2 \implies x = 4, y = 2 \implies$ संख्या $42$।
स्थिति 2: $y - x = 2 \implies x = 2, y = 4 \implies$ संख्या $24$।
चूँकि दोनों संख्याएँ ($42$ और $24$) शर्तों को पूरा करती हैं, अतः ऐसी कुल **2** संख्याएँ संभव हैं।

समीकरणों $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 11$ तथा $\frac{x}{2} - \frac{y}{4} = -1$ को हल करने पर $x + y$ का मान क्या होगा?

• 40
• 36
• 28
• 12

व्याख्या: दोनों समीकरणों को सीधे जोड़ने पर:
$\left(\frac{x}{3} + \frac{x}{2}\right) + \left(\frac{y}{4} - \frac{y}{4}\right) = 11 + (-1)$
$\frac{5x}{6} = 10 \implies 5x = 60 \implies x = 12$
$x = 12$ प्रथम में रखने पर: $\frac{12}{3} + \frac{y}{4} = 11 \implies 4 + \frac{y}{4} = 11 \implies \frac{y}{4} = 7 \implies y = 28$
अतः $x + y = 12 + 28 = 40$।

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अगला अध्याय: कक्षा 10 गणित अध्याय 04: **द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)** VVI Objective Practice Set जल्द ही प्रकाशित होगा!

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