बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) — 25 VVI Objective Questions Set 1

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बिहार स्कूल एग्जामिनेशन बोर्ड (BSEB) कक्षा 10वीं गणित परीक्षा में वस्तुनिष्ठ प्रश्नों (MCQs) का योगदान 50% होता है। अध्याय 1 "वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)" बोर्ड परीक्षा के दृष्टिकोण से अत्यंत महत्वपूर्ण और अंकदायी अध्याय है। इस पोस्ट में यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका, अंकगणित की आधारभूत प्रमेय, HCF-LCM संबंध, और अपरिमेय संख्याओं के 25 चुनिंदा प्रश्न विस्तृत व्याख्या के साथ दिए गए हैं।

🔥 बोर्ड परीक्षा में टॉप करने का मूलमंत्र (Inspirational Strategy)

"जीतने वाले कोई अलग काम नहीं करते, वे हर काम को अलग ढंग से करते हैं।"

• नियमित अभ्यास: गणित रटने का विषय नहीं, रोज़ाना 10-15 प्रश्नों के हल का अभ्यास करें।
• सटीक समय प्रबंधन: MCQ सेक्शन में 50 में से 50 का लक्ष्य रखें ताकि थ्योरी में दबाव कम रहे।
• फार्मूला चीटशीट: यूक्लिड प्रमेयिका ($a = bq + r$) और $\text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b$ जैसे सूत्रों को कंठस्थ रखें।
• आत्मविश्वास रखें: आपकी मेहनत ही आपको बिहार का अगला टॉपर बनाएगी!

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🎯 अध्याय 01: वास्तविक संख्याएँ — MCQ Practice Quiz Set 1

(निर्देश: सही विकल्प चुनने के बाद उत्तर और विस्तृत व्याख्या देखने के लिए प्रश्न पर क्लिक करें।)

धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ के लिए, यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका $a = bq + r$ में शेषफल $r$ की सही स्थिति क्या है?

• $1 \le r < b$
• $0 < r \le b$
• $0 \le r < b$
• $0 < r < b$

व्याख्या: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार, दो धनात्मक पूर्णांक $a$ और $b$ दिए रहने पर, ऐसी अद्वितीय पूर्ण संख्याएँ $q$ और $r$ विद्यमान होती हैं कि $a = bq + r$, जहाँ शेषफल $r$ का मान हमेशा $0$ के बराबर या बड़ा होता है, लेकिन भाजक $b$ से छोटा होता है, अर्थात् $0 \le r < b$।

दो धनात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक (HCF) परिकलित करने की तकनीक किस एल्गोरिदम पर आधारित है?

• यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम
• अंकगणित की आधारभूत प्रमेय
• बायस एल्गोरिदम
• पायथागोरस प्रमेय

व्याख्या: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम (Euclid's Division Algorithm) का मुख्य उपयोग दो धनात्मक पूर्णांकों का HCF (महत्तम समापवर्तक) परिकलित करने के लिए किया जाता है।

यदि $a = 3q + r$ एक धनात्मक पूर्णांक है, तो शेषफल $r$ के संभावित मान क्या हो सकते हैं?

• $0, 1, 2, 3$
• $0, 1, 2$
• केवल $1, 2$
• केवल $0, 1$

व्याख्या: यहाँ भाजक $b = 3$ है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से $0 \le r < b$ होता है। इसलिए $r$ के संभावित मान $0, 1$ और $2$ ही हो सकते हैं।

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम का प्रयोग करके 135 और 225 का HCF क्या होगा?

• 15
• 30
• 35
• 45

व्याख्या:
चरण 1: $225 = 135 \times 1 + 90$
चरण 2: $135 = 90 \times 1 + 45$
चरण 3: $90 = 45 \times 2 + 0$
चूँकि शेषफल 0 प्राप्त हो गया है और इस चरण में भाजक 45 है, अतः $\text{HCF}(135, 225) = 45$ होगा।

कथन: प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक $2q$ के रूप का होता है तथा प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक $2q + 1$ के रूप का होता है, जहाँ $q$ एक पूर्णांक है। क्या यह कथन सत्य है?

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: सत्य। माना $a$ कोई धनात्मक पूर्णांक है तथा $b = 2$। यूक्लिड प्रमेयिका से $a = 2q + r$, जहाँ $r = 0, 1$। जब $r = 0$, $a = 2q$ (सम) तथा जब $r = 1$, $a = 2q + 1$ (विषम) होता है।

संख्या 140 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने पर क्या प्राप्त होगा?

• $2 \times 3 \times 5 \times 7$
• $2^2 \times 5 \times 7$
• $2 \times 5^2 \times 7$
• $2^3 \times 5 \times 7$

व्याख्या: 140 का गुणनखंडन करने पर:
$140 = 2 \times 70 = 2 \times 2 \times 35 = 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 2^2 \times 5 \times 7$।

संख्या 156 के अभाज्य गुणनखंडन में संख्या 2 की घातांक (Power) कितनी होगी?

• 2
• 1
• 3
• 4

व्याख्या: $156 = 2 \times 78 = 2 \times 2 \times 39 = 2^2 \times 3 \times 13$। अभाज्य गुणनखंड $2^2$ में 2 की घातांक 2 है।

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic) के अनुसार, प्रत्येक भाज्य संख्या को किस रूप में व्यक्त किया जा सकता है?

• केवल सम संख्याओं के योग के रूप में
• केवल विषम संख्याओं के गुणनफल के रूप में
• अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में
• परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के योग के रूप में

व्याख्या: अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार, "प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में व्यक्त (गुणनखंडित) किया जा सकता है तथा यह गुणनखंडन अभाज्य गुणनखंडों के आने वाले क्रम के बिना अद्वितीय होता है"।

कथन: किसी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए, संख्या $4^n$ अंक शून्य ($0$) पर समाप्त हो सकती है।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: असत्य। यदि $4^n$ शून्य पर समाप्त होती तो यह 5 से विभाज्य होती, अर्थात् $4^n$ के अभाज्य गुणनखंडन में 5 आता। परन्तु $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$ में केवल अभाज्य संख्या 2 ही आती है। अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता के कारण $4^n$ का कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड नहीं है, अतः यह कभी 0 पर समाप्त नहीं हो सकती।

किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए, उनके HCF और LCM में सही संबंध कौन-सा है?

• $\text{HCF}(a,b) \times \text{LCM}(a,b) = a \times b$
• $\text{HCF}(a,b) + \text{LCM}(a,b) = a \times b$
• $\text{HCF}(a,b) \div \text{LCM}(a,b) = a + b$
• $\text{HCF}(a,b) \times a = \text{LCM}(a,b) \times b$

व्याख्या: दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए, उनके HCF और LCM का गुणनफल उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है: $\text{HCF}(a,b) \times \text{LCM}(a,b) = a \times b$।

यदि $\text{HCF}(306, 657) = 9$ दिया है, तो $\text{LCM}(306, 657)$ का मान क्या होगा?

• 22383
• 22238
• 22338
• 23328

व्याख्या: सूत्र: $\text{LCM}(a,b) = \frac{a \times b}{\text{HCF}(a,b)}$
$\text{LCM}(306, 657) = \frac{306 \times 657}{9} = 34 \times 657 = 22338$

अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा 6 और 20 का HCF और LCM क्रमशः क्या होगा?

• HCF = 6, LCM = 20
• HCF = 4, LCM = 40
• HCF = 1, LCM = 120
• HCF = 2, LCM = 60

व्याख्या: $6 = 2^1 \times 3^1$ तथा $20 = 2^2 \times 5^1$।
$\text{HCF}(6, 20) = 2^1 = 2$ (सबसे छोटी उभयनिष्ठ घात)।
$\text{LCM}(6, 20) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$ (प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात)।

कथन: किन्हीं तीन धनात्मक पूर्णांकों $p, q, r$ के लिए हमेशा $\text{HCF}(p,q,r) \times \text{LCM}(p,q,r) = p \times q \times r$ होता है।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: असत्य। यह संबंध केवल दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए लागू होता है। तीन या तीन से अधिक संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर नहीं होता है ($\text{HCF}(p,q,r) \times \text{LCM}(p,q,r) \ne p \times q \times r$)।

सबसे छोटी अभाज्य संख्या (Smallest Prime Number) और सबसे छोटी भाज्य संख्या (Smallest Composite Number) का HCF क्या होगा?

• 2
• 1
• 4
• 8

व्याख्या: सबसे छोटी अभाज्य संख्या = 2, सबसे छोटी भाज्य संख्या = 4।
$2 = 2^1$, $4 = 2^2$।
अतः $\text{HCF}(2, 4) = 2^1 = 2$।

यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है और $p, a^2$ को विभाजित करता है (जहाँ $a$ धनात्मक पूर्णांक है), तो सिद्धान्त के अनुसार $p$ किसे अवश्य विभाजित करेगा?

• $a^3$ को नहीं
• $a$ को
• केवल $a + 2$ को
• $\sqrt{a}$ को

व्याख्या: प्रमेय 1.2 के अनुसार, यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है और $p, a^2$ को विभाजित करता है, तो $p, a$ को भी विभाजित करेगा, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है।

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) है?

• $\sqrt{9}$
• $\frac{2}{3}$
• $\sqrt{5}$
• $0.25$

व्याख्या: $\sqrt{9} = 3$ (परिमेय), $\frac{2}{3}$ (परिमेय) और $0.25 = \frac{1}{4}$ (परिमेय)। जबकि $\sqrt{5}$ को $p/q$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता और यह एक अपरिमेय संख्या है।

एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग या अंतर हमेशा क्या होता है?

• अपरिमेय संख्या
• परिमेय संख्या
• पूर्णांक संख्या
• प्राकृतिक संख्या

व्याख्या: नियम के अनुसार, एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग या अंतर सदैव एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) होता है।

संख्या $(3 + \sqrt{23}) - \sqrt{23}$ को सरल करने पर कौन-सी संख्या प्राप्त होती है?

• अपरिमेय संख्या
• अभाज्य संख्या
• विषम अपरिमेय
• परिमेय संख्या

व्याख्या: सरल करने पर: $(3 + \sqrt{23}) - \sqrt{23} = 3 + \sqrt{23} - \sqrt{23} = 3$
चूँकि 3 को $\frac{3}{1}$ (p/q) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

कथन: सिद्ध कीजिए/मानिए कि $\sqrt{2}$ और $\sqrt{3}$ अपरिमेय संख्याएँ हैं। क्या यह कथन गणितीय रूप से सत्य है?

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: सत्य। विरोधाभास द्वारा उपपत्ति (Proof by Contradiction) से यह सिद्ध होता है कि $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ इत्यादि अपरिमेय संख्याएँ हैं।

यदि $\frac{p}{q}$ एक परिमेय संख्या है जहाँ $q \ne 0$, तो इसके दशमलव प्रसार के शांत (Terminating) होने के लिए $q$ के अभाज्य गुणनखंड किस रूप के होने चाहिए?

• $3^n \cdot 5^m$
• $2^n \cdot 5^m$ ($n, m$ ऋणेत्तर पूर्णांक)
• $2^n \cdot 3^m$
• $7^n \cdot 5^m$

व्याख्या: किसी परिमेय संख्या $\frac{p}{q}$ का दशमलव प्रसार शांत होता है यदि हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड केवल $2^n \cdot 5^m$ के रूप के हों, जहाँ $n$ और $m$ ऋणेत्तर पूर्णांक हैं।

परिमेय संख्या $\frac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार कैसा होगा?

• असांत आवर्ती
• असांत अनावर्ती
• शांत (Terminating)
• इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: यहाँ हर $q = 8 = 2^3 = 2^3 \times 5^0$ है। चूँकि हर का अभाज्य गुणनखंड $2^n \cdot 5^m$ के रूप का है, अतः इसका दशमलव प्रसार शांत (Terminating) होगा।

निम्नलिखित में से किस भिन्न का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती (Non-terminating Repeating) होगा?

• $\frac{29}{343}$
• $\frac{13}{3125}$
• $\frac{7}{80}$
• $\frac{15}{1600}$

व्याख्या: $\frac{29}{343}$ में हर $343 = 7^3$ है। चूँकि हर के अभाज्य गुणनखंड में 2 या 5 के अलावा 7 आ रहा है, इसलिए इसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा। (अन्य विकल्पों में हर के गुणनखंड में केवल 2 और 5 हैं)।

दो सह-अभाज्य (Co-prime) संख्याओं $a$ और $b$ का HCF कितना होता है?

• 0
• 2
• $a \times b$
• 1

व्याख्या: दो संख्याएँ सह-अभाज्य (Co-prime) तब कहलाती हैं जब उनमें 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो। अतः उनका HCF हमेशा 1 होता है।

कथन: संख्या $\pi$ (Pi) एक परिमेय संख्या है। क्या यह कथन सत्य है?

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: असत्य। $\pi$ एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती (Non-terminating Non-repeating) होता है। (जबकि $\frac{22}{7}$ इसका केवल एक व्यावहारिक मान है जो परिमेय है)।

वृत्ताकार पथ पर तीन धावक एक ही स्थान से दौड़ना प्रारंभ करते हैं। एक चक्कर लगाने में उन्हें क्रमशः 3 घंटे, 4 घंटे और 8 घंटे लगते हैं। तीनों पुनः प्रारंभिक बिंदु पर कितने घंटे बाद मिलेंगे?

• 12 घंटे
• 24 घंटे
• 16 घंटे
• 48 घंटे

व्याख्या: पुनः प्रारंभिक बिंदु पर मिलने का समय = 3, 4 और 8 का LCM।
$3 = 3^1$
$4 = 2^2$
$8 = 2^3$
$\text{LCM}(3, 4, 8) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24$ घंटे।
अतः वे तीनों 24 घंटे बाद पुनः एक साथ मिलेंगे।

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अगला भाग: अध्याय 01: वास्तविक संख्याएँ (Part 2 — 25 Questions Set) जल्द ही लाइव होगा!

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