बिहार बोर्ड कक्षा 10 गणित अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) — 25 VVI Objective Questions Set 2

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वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) के **पार्ट-1** की अपार सफलता के बाद, यह **पार्ट-2 (Set 2)** विशेष रूप से आपके लिए तैयार किया गया है। इसमें अभाज्य गुणनखंडन, शांत-असांत दशमलव प्रसार, HCF-LCM के कठिन अनुप्रयोग और अपरिमेयता सिद्ध करने पर आधारित **25 चुनिंदा VVI प्रश्न** शामिल हैं।

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"सफलता का कोई शॉर्टकट नहीं होता, इसके लिए हर दिन निरंतर प्रयास और अभ्यास की आवश्यकता होती है।"

• स्मार्ट रिवीजन: प्रश्नों के हल के साथ दी गई व्याख्या को ध्यान से पढ़ें ताकि कॉन्सेप्ट पूरी तरह स्पष्ट हो सके।
• गलतियों से सीखें: जो प्रश्न पहली बार में गलत हों, उन्हें अपनी नोटबुक में नोट करें और पुनः हल करें।
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🎯 अध्याय 01: वास्तविक संख्याएँ — MCQ Practice Quiz Set 2

(निर्देश: अपना उत्तर चुनने के बाद विस्तृत व्याख्या देखने के लिए विकल्प पर क्लिक करें।)

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम का प्रयोग करके 867 और 255 का महत्तम समापवर्तक (HCF) क्या होगा?

• 102
• 35
• 51
• 17

व्याख्या:
चरण 1: $867 = 255 \times 3 + 102$
चरण 2: $255 = 102 \times 2 + 51$
चरण 3: $102 = 51 \times 2 + 0$
अंतिम भाजक $51$ है, अतः $\text{HCF}(867, 255) = 51$।

दो लगातार प्राकृतिक संख्याओं (Consecutive Natural Numbers) का HCF हमेशा कितना होता है?

• 1
• 2
• 0
• अनंत

व्याख्या: किन्हीं भी दो लगातार प्राकृतिक संख्याओं (जैसे 4 और 5, या 14 और 15) में 1 के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है। अतः उनका HCF सदैव 1 होता है।

दो लगातार सम संख्याओं (Consecutive Even Numbers) का महत्तम समापवर्तक (HCF) क्या होगा?

• 1
• 2
• 4
• 0

व्याख्या: दो लगातार सम संख्याएँ $2n$ और $2n+2$ के रूप की होती हैं। दोनों में संख्या 2 हमेशा उभयनिष्ठ होती है। उदाहरण: $\text{HCF}(6, 8) = 2$।

दो लगातार विषम संख्याओं (Consecutive Odd Numbers) का HCF क्या होता है?

• 1
• 2
• 3
• संख्याओं के गुणनफल के बराबर

व्याख्या: दो लगातार विषम संख्याएँ (जैसे 7 और 9, या 11 और 13) आपस में सह-अभाज्य (Co-prime) होती हैं। इसलिए इनका HCF सदैव 1 होता है।

कथन: यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है, तो $\sqrt{p}$ हमेशा एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) होती है।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: सत्य। गणितीय नियम के अनुसार, किसी भी अभाज्य संख्या ($2, 3, 5, 7, 11...$) का वर्गमूल $\sqrt{p}$ सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है।

संख्या 3825 को अभाज्य गुणनखंडों की घातांकों के गुणनफल के रूप में कैसे लिखा जाएगा?

• $3 \times 5^2 \times 17$
• $3^2 \times 5 \times 17^2$
• $3^2 \times 5^2 \times 17$
• $3^3 \times 5 \times 17$

व्याख्या: अभाज्य गुणनखंडन करने पर:
$3825 = 3 \times 1275 = 3 \times 3 \times 425 = 3^2 \times 5 \times 85 = 3^2 \times 5^2 \times 17$।

संख्या 3125 के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्या 5 की अधिकतम घातांक (Exponent) क्या होगी?

• 3
• 4
• 6
• 5

व्याख्या: $3125 = 5 \times 625 = 5 \times 5 \times 125 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5$। अतः 5 की घातांक 5 है।

यदि किन्हीं दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए $\text{HCF}(a,b) = 12$ तथा उनका गुणनफल $a \times b = 1800$ है, तो $\text{LCM}(a,b)$ ज्ञात कीजिए।

• 120
• 150
• 200
• 180

व्याख्या: सूत्र: $\text{LCM}(a,b) = \frac{a \times b}{\text{HCF}(a,b)}$
$\text{LCM}(a,b) = \frac{1800}{12} = 150$।

कथन: एक शून्येतर परिमेय संख्या (Non-zero Rational Number) और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल सदैव अपरिमेय होता है।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: सत्य। किसी भी शून्येतर परिमेय संख्या (जैसे 2) और अपरिमेय संख्या (जैसे $\sqrt{3}$) का गुणनफल $2\sqrt{3}$ हमेशा अपरिमेय ही होता है।

परिमेय संख्या $\frac{14587}{1250}$ का दशमलव प्रसार दशमलव के कितने स्थानों के बाद शांत हो जाएगा?

• 2 स्थानों के बाद
• 3 स्थानों के बाद
• 4 स्थानों के बाद
• 5 स्थानों के बाद

व्याख्या: हर $1250 = 2^1 \times 5^4$ है। यहाँ 2 और 5 में से अधिकतम घात 4 है। अतः इसका दशमलव प्रसार दशमलव के 4 स्थानों के बाद शांत हो जाएगा ($\frac{14587}{1250} = 11.6696$)।

संख्या $(3 + 2\sqrt{5})$ किस प्रकार की संख्या है?

• परिमेय संख्या
• अपरिमेय संख्या
• प्राकृत संख्या
• पूर्णांक संख्या

व्याख्या: चूँकि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है, इसलिए $2\sqrt{5}$ भी अपरिमेय होगी। एक परिमेय संख्या (3) और अपरिमेय संख्या ($2\sqrt{5}$) का योग सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है।

असांत आवर्ती दशमलव $0.\overline{6}$ को सरलतम परिमेय रूप $\frac{p}{q}$ में व्यक्त करने पर क्या प्राप्त होगा?

• $\frac{2}{3}$
• $\frac{3}{5}$
• $\frac{1}{3}$
• $\frac{6}{10}$

व्याख्या: माना $x = 0.666...$
$10x = 6.666...$
घटाने पर: $9x = 6 \implies x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$।

संख्याओं 18 और 45 का HCF क्या होगा?

• 3
• 6
• 18
• 9

व्याख्या:
$18 = 2 \times 3^2$
$45 = 3^2 \times 5$
$\text{HCF}(18, 45) = 3^2 = 9$।

कथन: यदि $p$ और $q$ दो अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers) हैं, तो उनका LCM हमेशा $p \times q$ होता है।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: सत्य। दो अभाज्य संख्याओं में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता, अतः उनका HCF = 1 होता है और उनका LCM सीधे उनका गुणनफल ($p \times q$) होता है।

परिमेय संख्या $\frac{23}{2^3 \cdot 5^2}$ का दशमलव प्रसार किस रूप का होगा?

• असांत आवर्ती
• असांत अनावर्ती
• शांत (Terminating)
• इनमें से कोई नहीं

व्याख्या: हर के अभाज्य गुणनखंड $2^3 \cdot 5^2$ के रूप के हैं, जो $2^n \cdot 5^m$ के रूप का है। अतः इसका दशमलव प्रसार शांत होगा ($\frac{23 \times 5}{2^3 \cdot 5^3} = \frac{115}{1000} = 0.115$)।

यदि $p$ और $q$ दो सह-अभाज्य (Co-prime) संख्याएँ हैं, तो $p^2$ और $q^2$ क्या होंगी?

• भाज्य संख्याएँ
• सह-अभाज्य (Co-prime)
• सम संख्याएँ
• अपरिमेय संख्याएँ

व्याख्या: यदि दो संख्याओं में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, तो उनके वर्गों ($p^2$ और $q^2$) में भी कोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं होगा। अतः वे भी सदैव सह-अभाज्य ही होंगी।

सबसे छोटी भाज्य संख्या (4) और सबसे छोटी अभाज्य संख्या (2) का LCM क्या होगा?

• 4
• 2
• 8
• 1

व्याख्या: सबसे छोटी अभाज्य संख्या = 2, सबसे छोटी भाज्य संख्या = 4।
$\text{LCM}(2, 4) = 4$।

शांत दशमलव संख्या $0.375$ को $\frac{p}{q}$ के सरलतम रूप में बदलने पर हर $q$ के अभाज्य गुणनखंड में कौन-सी संख्या होगी?

• केवल 5
• 3 और 5
• केवल 2
• 2 और 3

व्याख्या: $0.375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$ (सरलतम रूप में)।
यहाँ हर $q = 8 = 2^3$ है, अतः हर के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 है।

कथन: व्यंजक $\frac{2\sqrt{45} + 3\sqrt{20}}{2\sqrt{5}}$ को सरल करने पर एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: सत्य। अंश को हल करने पर:
$2\sqrt{9 \times 5} + 3\sqrt{4 \times 5} = 2(3\sqrt{5}) + 3(2\sqrt{5}) = 6\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$
अब $\frac{12\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = 6$, जो एक परिमेय संख्या है।

यदि $a = 2^3 \cdot 3$, $b = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $c = 3^n \cdot 5$ तथा $\text{LCM}(a, b, c) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ हो, तो $n$ का मान क्या होगा?

• 1
• 3
• 0
• 2

व्याख्या: LCM में अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातांक ली जाती है। चूँकि LCM में 3 की घातांक $3^2$ है और $a$ तथा $b$ दोनों में 3 की घातांक 1 है, अतः $c = 3^n \cdot 5$ में $n = 2$ होना चाहिए।

संख्याओं 510 और 92 का HCF कितना होगा?

• 4
• 2
• 1
• 23

व्याख्या: अभाज्य गुणनखंडन करने पर:
$510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17$
$92 = 2^2 \times 23$
$\text{HCF}(510, 92) = 2^1 = 2$।

संख्या 196 के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य गुणनखंडों की घातांकों का योग (Sum of Exponents) कितना होगा?

• 4
• 5
• 2
• 6

व्याख्या: $196 = 2 \times 2 \times 7 \times 7 = 2^2 \times 7^2$।
घातांकों का योग = $2 + 2 = 4$।

कथन: प्रत्येक वास्तविक संख्या (Real Number) एक परिमेय संख्या होती है।

• सत्य (True)
• असत्य (False)

व्याख्या: असत्य। वास्तविक संख्याओं के समूह में परिमेय और अपरिमेय दोनों प्रकार की संख्याएँ शामिल होती हैं। इसलिए प्रत्येक वास्तविक संख्या परिमेय नहीं होती (वह अपरिमेय भी हो सकती है)।

सोनिया और रवि एक वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से दौड़ना शुरू करते हैं। सोनिया को एक चक्कर लगाने में 18 मिनट तथा रवि को 12 मिनट लगते हैं। वे दोनों पुनः प्रारंभिक बिंदु पर कितने समय बाद मिलेंगे?

• 24 मिनट
• 48 मिनट
• 36 मिनट
• 72 मिनट

व्याख्या: मिलने का न्यूनतम समय = 18 और 12 का LCM।
$18 = 2 \times 3^2$
$12 = 2^2 \times 3$
$\text{LCM}(18, 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ मिनट।

संख्या $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$ का मान किस प्रकार की संख्या है?

• अपरिमेय संख्या
• अभाज्य संख्या
• सम अपरिमेय संख्या
• परिमेय संख्या

व्याख्या: सूत्र $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ का प्रयोग करने पर:
$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = (2)^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$
चूँकि $1$ एक पूर्णांक है, अतः यह एक परिमेय संख्या है।

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अगला अध्याय: कक्षा 10 गणित अध्याय 02: **बहुपद (Polynomials)** VVI Objective Practice Set जल्द ही प्रकाशित होगा!

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